七年级数学竞赛讲座：第七讲 含绝对值的方程及不等式
第七讲含绝对值的方程及不等式
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：
含绝对值的不等式的性质：
(2)｜a｜－｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；
(3)｜a｜－｜b｜≤｜a－b｜≤｜a｜+｜b｜．
由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
例1解方程｜x－2｜+｜2x+1｜=7．
分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零
掉绝对值符号再求解．
解(1)当x≥2时，原方程化为
(x－2)+(2x+1)=7，
－(x－2)+(2x+1)=7．
应舍去．
－(x－2)－(2x+1)=7．
说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．
例2求方程｜x－｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．
为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．
｜x－(2x+1)｜=3，
即｜1+x｜=3，
所以x=2或x=－4．
｜x+(2x+1)｜=3，
即｜3x+1｜=3，
的个数为2．
例3若关于x的方程｜｜x－2｜－1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？
解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知
｜x－2｜－1=±a，
所以｜x－2｜=1±a．
(1)若a＞1，则｜x－2｜=1－a＜0，无解．｜x－2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a 和x=1－a．
(2)若0≤a≤1，则由｜x－2｜=1+a，求得
x=1－a或x=3+a；
由｜x－2｜=1－a，求得
x=1+a或x=3－a．
原方程的解为x=3+a，3－a，1+a，1－a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．
综上可知，a=1．
例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．
解设x为方程的负根，则－x=ax+1，即
所以应有a＞－1．反之，a＞－1时，原方程有负根．
设方程有正根x，则x=ax＋1，即
所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．
综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．
例5设
求x+y．
分析从绝对值的意义知
两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．解由题设有
把③代入①得
解之得y=－3，所以x=4．故有
x+y=4－3=1．例6解方程组
分析与解由①得x－y=1或x－y=－1，即
x=y+1或x=y－1．与②结合有下面两个方程组
解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得
｜y+1｜+2｜y｜=3．
组(Ⅰ)的解为
同理，解(Ⅱ)有
故原方程组的解为
例7解方程组
解由①得
x+y=｜x－y｜+2．
因为｜x－y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③
把③代入②有
x+y=x+2，
所以y=2．将之代入①有｜x－2｜=x，所以
x－2=x，④
或x－2=－x．⑤
④无解，所以只有解⑤得x=1．故
为原方程组的解．
说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和－(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．
例8解不等式｜x－5｜－｜2x+3｜＜1．
＜x≤5，x＞5．
－(x－5)－[－(2x+3)]＜1，
－(x－5)－(2x+3)＜1，
(3)当x＞5时，原不等式化为
x－5－(2x+3)＜1，
解之得x＞－9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
的解．例9解不等式1≤｜3x－5｜≤2．
谈谈如何解含绝对值的方程
谈谈如何解含绝对值的方程 施静忠 绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。 一. 运用基本公式：若，则解方程 例1. 解方程 解：去掉第一重绝对值符号，得 移项，得或 所以 所以原方程的解为： 例2. 解方程 解：因为 所以 即 或 解方程（1），得 解方程（2），得 又因为，所以 所以原方程的解为
二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4或4以上 解：方程可化为 所以 所以方程的解有无数个，故选（D）。 三. 运用绝对值的非负性解方程 例4. 方程的图像是（） A. 三条直线： B. 两条直线： C. 一点和一条直线：（0，0）， D. 两个点：（0，1），（-1，0） 解：因为 而 所以 所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0） 故选（D）。
四. 运用绝对值的几何意义解方程 例5. 解方程 解：设，由绝对值的几何意义知 所以 又因为 所以 从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。 五. 运用方程的图象研究方程的解 例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直 线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。故选（B）。 图1 同时，我们还可以得到以下几个结论： （1）当时，方程没有解； （2）当或时，方程有两个解； （3）当时，方程有4个解。
含参数的一元一次方程.含绝对值的一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程 一． 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题 2. 两个一元一次方程同解问题 3. 已知方程解的情况求参数 4. 一元一次方程解的情况（分类讨论） 二： 解含有绝对值的一元一次方程 一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法） 例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 119x k =- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =- ⑵ 【中】 关于x 的方程()2 (1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ; (2)若此方程的根为整数,求整数=____m 答案：(1)1,1≠=; (2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31 x m = - ∵此方程的根为整数.
∴31 m -为整数 又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =- 测一测1： 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( ) A.2 B.3 C.1或2 D.2或3 答案：D 方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得4 2--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a 测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即:179x k = -,x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61 x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m = 2. 两个一元一次方程同解问题 例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________ 【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =
含绝对值的不等式解法练习题及答案
含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件．
例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)
含绝对值的一元一次方程解 法
含绝对值的一元一次方程解法 一、绝对值的代数和几何意义。 值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 用字母表示为 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数 的绝对值是非负 数。 1、求下列方程的解： （1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3； （5）| 3x | = 9. 解： 二、根据绝对值的意义，我们可以得到： 当 > 0时 x =± | x | =当 = 0时 x = 0 当 < 0时方程无解. （三） 例1：解方程： （1） 19 – | x | = 100 – 10 | x | （2） 解：（1） 例2、思考：如何解 | x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把 x – 1 看成一个字母y，则原方 程变为： | y | = 2，这个方程的解为 y = ±2，即 x – 1 = ±2，解得 x = 3或x = –
1. 解： 例3：解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0 解方程： 解： 三：形如的绝对值的一元一次方程可变形为：且才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1：解方程： 练习：（1）解方程： （2）解方程：
四：“零点分段法”解含多个绝对值的代数问题 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。 例1：化简下列各式 1、 2、 练习：化简： 例2：解下列方程 1、 2、 练习： 1、 2、
高考含绝对值不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ，
所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 含绝对值的一元一次方程解法 形如| x | = a（a≥0）方程的解法（2课时） 一、教学目的： 1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法； 2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。 二、教学重点与难点： 教学重点：解形如| x | = a（a≥0）和| x – a | = b（b≥0）的方程。 教学难点：解含绝对值方程时如何去掉绝对值。 （一） 1、绝对值的代数和几何意义。 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。 a （a > 0） 用字母表示为| a | = 0 （a = 0） – a （a < 0） 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负 数。 2、求下列方程的解： （1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9. 解：（1）x =±7； （2）x = ±2； （3）x = 0； （4）方程无解； （5）x = ±3. （二）根据绝对值的意义，我们可以得到： 当a > 0时x =± a | x | = a当a = 0时x = 0 当a < 0时方程无解. （三） 例1：解方程： （1）19 – | x | = 100 – 10 | x | （2）2||3 3|| 4 x x + =- 解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x | 9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3 | x | = 9 6 | x | = 9 x = ±9 | x | = 1.5 x = ±1.5 例2、思考：如何解| x – 1 | = 2 分析：用换元（整体思想）法去解决，把x – 1 看成一个字母y，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为y = ±2，即x – 1 = ±2，解得x = 3或x = – 1. 解：x – 1 = 2 或x – 1 = – 2 x = 3 x = – 1 例题小结： 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()m i n a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立 ()m a x a f x ?>。 ()f x a ≥有解()m a x a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立 ()min a f x ?≤。 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 含绝对值的一元一次方程 我们把绝对值内含有未知数的方程，叫做含有绝对值的方程， 1．解方程：||1|1|3x x +-=． 2．解方程：|1||3|5x x -+-=． 解：方程可化为： ①1,135,x x x ??-+-=?由①得1,1,x x x+1 构造函数图形如下：从而求解 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 \ 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． ' 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| · B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 ： B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ? 123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 、 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 第八章一元一次方程 一一元一次方程的解法 8.3 形如| x | = a（a≥0）方程的解法（2课时） 一、教学目的： 1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法； 2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。 二、教学重点与难点： 教学重点：解形如| x | = a（a≥0）和| x – a | = b（b≥0）的方程。 教学难点：解含绝对值方程时如何去掉绝对值。 三、教学过程： （一）复习提问： 1、绝对值的代数和几何意义。 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值 是零。 a （a > 0） 用字母表示为| a | = 0 （a = 0） – a （a < 0） 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负 数。 2、求下列方程的解： （1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；（3）| x | = 0；（4）| x | = – 3；（5）| 3x | = 9. 解：（1）x =±7； （2）x = ±2； （3）x = 0； （4）方程无解； （5）x = ±3. （二）导入新课： 根据绝对值的意义，我们可以得到： 当a > 0时x =± a | x | = a当a = 0时x = 0 当a < 0时方程无解. （三）新课讲解： 例1：解方程： （1）19 – | x | = 100 – 10 | x | （2）2||3 3|| 4 x x + =- 解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x | 9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3 | x | = 9 6 | x | = 9 x = ±9 | x | = 1.5 x = ±1.5 练习：书P11/1，2 例2、思考：如何解| x – 1 | = 2 含绝对值的不等式解法 一、选择题 1.已知a ＜-6，化简26a -得() +6 2.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是() A. C.{(1,-1)} D.? ?????38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是() 4.设A ={x ||x -2|＜3}，B ={x ||x -1|≥1}，则A ∩B 等于() A.{x |-1＜x ＜5} B.{x |x ≤０或x ≥2} C.{x |-1＜x ≤0} D.{x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5} 5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A Y 中的元素个数是() 6.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （） A.{4-≥y y }B.{51≤≤-y y }C.{14-≤≤-y y }D. 7.语句3≤x 或5>x 的否定是（） 53<≥x x 或53≤>x x 或53<≥x x 且53≤>x x 且二、填空题 1.不等式｜x +2｜＜3的解集是，不等式｜2x -1｜≥3的解集是. 2.不等式12 11<- x 的解集是_________________. 三、解答题 1.解不等式1.02122<--x x 2.解不等式x 2-2｜x ｜-3＞0 3.已知全集U =R ,A ={x ｜x 2-2x -8＞0},B ={x ｜｜x +3｜＜2},求： (1)A ∪B ,C u （A ∪B ）(2)C u A ,C u B ,（C u A ）∩（C u B ） 4.解不等式3≤|x －2|＜97.解不等式|3x －4|＞1+2x . 5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式|x +1|+|x －2|<4. 绝对值不等式|||||| a b a b +≤+，|||||| a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式2|55|1 x x -+<． ［题根4］解不等式2|55|1 x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复 习用--可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－ x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)word版本
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