高等数学知识点归纳

第一讲: 极限与连续

一. 数列函数: 1. 类型:

(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:

(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0

()(),

x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y =

(6)参式(数一,二): ()

()x x t y y t =??=?

(7)变限积分函数: ()(,)x

a

F x f x t dt =

?

(8)级数和函数(数一,三): 0

(),n

n n S x a x

x ∞

==∈Ω∑

2. 特征(几何):

(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: 1

1()()()y f x x f y y f x --=?=?=

二. 极限性质:

1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞

(含x →±∞); *0

lim ()x x f x →(含0x x ±

→)

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型:

000,,1,,0,0,0∞

∞∞-∞?∞∞∞

4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:

11n n →1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n

n

n n

a b c a b c ++→, ()00!

n

a a n >→

1(0)x x

→→∞, 0lim 1x

x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0

lim ln 0n

x x x +

→=, 0,

x

x e x →-∞

?→?+∞→+∞

? 四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当()0u x →时,

sin ()()u x u x ;tan ()()u x u x ; 2

11cos ()

()2

u x u x -;()1()u x e u x -; ln(1())

()

u x u x +(1())1()

u x u x αα+-arcsin ()()

u x u x

arctan ()()u x u x

2. 泰勒公式:

(1)2211()2!x

e x x o x =++

+; (2)221

ln(1)()2x x x o x +=-+; (3)341sin ()3!x x x o x =-+; (4)245

11cos 1()2!4!

x x x o x =-++;

(5)22(1)(1)1()2!

x x x o x α

ααα-+=+++.

五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,

,1,0M α∞

∞∞

(其它如:00,0,0,∞-∞?∞∞);

(2)变量代换(如:

1t x =) 1. 抓大弃小()∞

∞

, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α?) (注:1sin 1,x x

≤→∞) 3. 1∞

处理(其它如:000,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):

(1)1(0)x x

→; (2)()x

e x →∞; 1

(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则

(1)先”处理”,后法则(00

最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x

x →-)

(2)幂指型处理: ()

()ln ()

()

v x v x u x u x e

=(如: 111111

1(1)x x x x x

e

e e e

-++-=-)

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞

=(?分段函数)

六. 非常手段 1. 收敛准则:

(1)()lim ()n x a f n f x →+∞

=?

(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →

(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >

2. 导数定义(洛必达?): 00lim

'()x f

f x x

→=

3. 积分和: 10112lim [()()()]()n n

f f f f x dx n n n n

→∞+++=?,

4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞

→+∞

+-=

5. 级数和(数一三):

(1)1

n n a ∞

=∑收敛lim 0n n a →∞

?=, (如2!

lim n n n n n →∞)

(2)121

lim()n n n n a a a a ∞

→∞

=++

+=∑,

(3){}n a 与

11

()n

n n a

a ∞

-=-∑同敛散

七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →

(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====?()()!!

n

n n

a a f x x x x n n α=

+ (2)

()x

x

n f t dt

kt dt ?

?

2. 渐近线(含斜):

(1)()

lim

,lim[()]x x f x a b f x ax x

→∞→∞==-()

f x ax b α?++

(2)()f x ax b α=++,(1

0x

→)

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性)

八. [,]a b 上连续函数性质

1. 连通性:

([,])[,]f a b m M = (注:01λ?<<, “平均”

值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=) 2. 介值定理: (附: 达布定理)

(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ?=(根的个数); (2)()0(

())'0x

a

f x f x dx =?=?

.

第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

一. 基本概念:

1. 差商与导数: '()f x =

()()

lim

x f x x f x x

→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--

(1)

()(0)'(0)lim

x f x f f x

→-=(注:0()

lim (x f x A f x →=连续)(0)0,'(0)f f A ?==)

(2)左右导: '

'

00(),()f x f x -+; (3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导)

2. 微分与导数:

()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+?=

(1)可微?可导; (2)比较,f df ?与"0"的大小比较(图示);

二. 求导准备:

1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )

2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则

(3)反函数

1

'

dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):

1. 定义导:(1)'()f a 与'()x a f x =;(2)分段函数左右导; (3)0

()()

lim

h f x h f x h h

→+--

(注: 0

0()(),

x x F x f x x x a

≠?=?

=?, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):

(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题);

(2)()()x

a

F x f t dt =?

求'()F x 注: ((,))',((,))',(())'x b b

a

a

a

f x t dt f x t dt f t dt ???)

(3)010

2(),()x x f x y x x f x

≥?,求''

00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)

3. 隐式((,)0f x y =)导:

22,dy d y

dx dx

(1)存在定理;

(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.

4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =??=?

, 求:22,dy d y

dx dx 5. 高阶导()

()n f

x 公式:

()

()

ax n n ax

e a e =; ()1

1!

()()

n n n b n a bx a bx +=--; ()

(sin )

sin()2

n n ax a ax n π

=+

?; ()(cos )cos()2

n n ax a ax n π

=+

?

()()1(1)2(2)

()'"n n n n n n uv u v C u

v C u v --=+++注:

()(0)n f 与泰勒展式:

2012()n

n f x a a x a x a x =+++

++

()(0)

!

n n f a n ?=

四. 各类应用:

1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)

2. 物理: (相对)变化率-速度;

3. 曲率(数一二):

ρ=

(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)

4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥?; '()0()

f x f x ≤?;

(2)分段函数的单调性

(3)'()0f x >?零点唯一; "()0f x >?驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:

(1)表格('()f x 变号); (由0

002'()'()''()

lim 0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x

→→→≠≠≠?=的特点)

(2)二阶导(0'()0f x =)

注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);

(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

3. 不等式证明(()0f x ≥)

(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与

[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞?

(2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥

*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤?=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值

六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ?表格; (0"()0f x =)

2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)

1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=?==

2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ?()()x

a

F x f t dt =

?

(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=?= (3)()

'()()()'()0()()

f x f

g f g F x g x ξξξξ-=?= (4)'()()()0f f ξλξξ+=?()()()x dx

F x e f x λ?

=;

3. ()

()0()n f

f x ξ=?有1n +个零点(1)()n f x -?有2个零点

4. 特例: 证明()

()n f a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点

(()n P x 待定)

5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)

6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ?∈,[,]a b ξ?∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理

1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ??ξ?ξ)

2. 估计:

'()f f x ξ=

九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1.

结

论

:

2300000011

()()'()()"()()"'()()2!3!

f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+

-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计

十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学

一. 基本概念: 1. 原函数()F x :

(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)

()()f x dx F x c =+?

注(1)()()x

a

F x f t dt =?

(连续不一定可导);

(2)

()()()()x

x a

a

x t f t dt f t dt f x -???

? (()f x 连续)

2. 不定积分性质:

(1)(())'()f x dx f x =?; (())()d f x dx f x dx =?

(2)

'()()f x dx f x c =+?; ()()df x f x c =+?

二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式

2. 基本方法: 拆(线性性)

1

2

1

2(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+???

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(2

2

1sin cos x x =+) 如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x

=

+=

=2=

(1ln )(ln )x dx d x x =+=

4. 变量代换:

(1)常用

(三角代换,根式代换,倒代换):

1sin ,,

,x t t t t x

====

(2)作用与引伸(化简):

x t =

5. 分部积分(巧用):

(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,

()x

a

x x f t dt ?

);

(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax n

x e dx x xdx ??

(3)特别:

()xf x dx ? (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)

6. 特例: (1)

11sin cos sin cos a x b x

dx a x b x ++?; (2)

(),()sin kx

p x e

dx p x axdx ??

快速法;

(3)()

()

n

v x dx u x ? 三. 定积分: 1. 概念性质:

(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)

*20

(0)8

a a π

>=

?

; *()02

b

a

a b

x dx +-

=? (3)附:

()()b

a

f x dx M b a ≤-?

,

()()()b

b

a

a

f x

g x dx M g x dx ≤?

?)

(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分()()x

a

x f t dt Φ=

?

的处理(重点)

(1)f 可积?Φ连续, f 连续?Φ可导 (2)

(())'

x

a

f t dt ?()

f x =;

(()())'()x x

a

a

x t f t dt f t dt

-=??; ()()()x

a

f x dt x a f x =-?

(3)由函数()()x

a

F x f t dt =

?

参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

3. N L -公式:

()()()b

a

f x dx F b F a =-?

(()F x 在[,]a b 上必须连续!)

注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性

(2)有理式, 三角式, 根式 (3)含

()b

a

f t dt ?

的方程.

4. 变量代换: ()(())'()b

a

f x dx f u t u t dt β

α

=?

?

(1)0

()()()a

a f x dx f a x dx x a t =-=-?

?,

(2)

()()()[()()]a

a a

a

a

f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-?

??

(如:

4

41

1sin dx x π

π

-+?)

(3)220

1

sin n n n n I xdx I n

π

--=

=

?

, (4)220

0(sin )(cos )f x dx f x dx π

π

=?

?;

20

(sin )2(sin )f x dx f x dx π

π

=?

?,

(5)

(sin )(sin )2xf x dx f x dx π

π

π

=

?

?

,

5. 分部积分

(1)准备时“凑常数”

(2)已知'()f x 或()x

a

f x =

?

时, 求

()b

a

f x dx ?

6. 附: 三角函数系的正交性:

22200

sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx π

ππ

===???

2200

sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m π

π

=≠=??

222

20

sin cos nxdx nxdx π

π

π==?

?

四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),

(),

()a

a f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

-∞

-∞

??

?

(()f x 连续) (2)

()b

a

f x dx ?

: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间

断)

2. 敛散;

3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)

4. 特例: (1)

1

1

p

dx x +∞

?

; (2)101p dx x ?

五. 应用: (柱体侧面积除外)

1. 面积, (1)[()()];b

a

S f x g x dx =

-?

(2)1()d

c

S f y dy -=?;

(3)21()2S r d βα

θθ=?; (4)侧面积

:2(b a S f x π=?

2. 体积: (1)22

[()()]b

x a

V f x g x dx π

=-?

; (2)12

[()]2()d

b

y c

a

V f y dy xf x dx ππ-==??

(3)0x x V =与0y y V =

3. 弧长

: ds = (1)(),[,]y f x x a b =∈

a

s =?

(2)12()

,[,]()

x x t t t t y y t =?∈?

=?

21

t t s =?

(3)(),

[,]r r θθαβ=∈:

s β

α

θ=?

4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

5. 平均值(中值定理):

(1)1[,]()b

a

f a b f x dx b a =

-?;

(2)0

()[0)lim

x x f t dt f x

→+∞

+∞=?, (f 以T 为周期:0

()T

f t dt f

T

=

?)

第四讲: 微分方程

一. 基本概念

1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)

2. 变换方程:

(1)令()'""x x t y Dy =?=(如欧拉方程)

(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =?=?(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:

1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =

2. 变量分离型: '()()y f x g y =

(1)解法:

()()()()dy

f x dx G y F x C

g y =?=+??

(2)“偏”微分方程:

(,)z

f x y x

?=?; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=

(1)解法(积分因子法): 00

()01

()[()()]()x

x p x dx

x x M x e

y M x q x dx y M x ?=?=

+?

(2)变化: '()()x p y x q y +=;

(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α

+= 4. 齐次方程: '()y y x

=Φ

(1)解法: '(),

()y

du dx

u u xu u x u u x =?+=Φ=Φ-??

(2)特例: 111

222

a x

b y

c dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N M

x y

??=?? dU Mdx Ndy U C =+?=

6. 一阶差分方程(数三): 1*

()()x x x x x n x

x y ca y ay b p x y x Q x b

+=?-=??=? 三. 二阶降阶方程

1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++

2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp

y p x y f x p dx

=?=

= 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp

y p y y p

f y p dy

=?== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:

(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+

(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；

，其中?'''=++?=+'+''式的通解：

出的不同情况，按下表写、根据(*),3

r r 二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

3. 欧拉方程(数一): 2

"'()ax y bxy cy f x ++=, 令

2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =?=-=

五. 应用(注意初始条件):

1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距

2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设

()(),()0x

a

f x dx F x F a ==?

3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程

4. 变化率(速度)

5. 22

dv d x

F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一):

Q P

x y

??=?? 7. 级数与方程:

(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解

法:2

01201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++

==

8. 弹性问题(数三)

第五讲: 多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ?=++?=+?=+ (2)lim ,lim

,lim y x x y f f

f f f x y

???==??

(3),lim

x y f x f y

df + (判别可微性)

注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 0

0(,0)(0,0)(0,)(0,0)

(0,0)lim

,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y

→→--==

2. 特例:

(1)22

(0,0)(,)0,(0,0)xy

x y

f x y ?≠?+=??=?

: (0,0)点处可导不连续;

(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==?

: (0,0)点处连续可导不可微;

二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)y

x 型; (2)00(,)

x

x y z ; (3)含变限积分

2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =

熟练掌握记号''"""

12111222,,,,f f f f f 的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0

(,,)0

F x y z

G x y z =??

=? (存在定理)

(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导)

(3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入

(4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);

1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ?=⊕=, (或: 多条件)

(2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).

(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ?=⊕∈=≤

(2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作): (1)

D

d σ??,

(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;

(3)“分块”积分: *1

2D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶

2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 2

2

()f x y +

附: 222

:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b

+≤;

双纽线222222

()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:

(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型1

2

()D

k x k y dxdy +??, 且已知D 的面积D

S

与重

心(,)x y

5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():

;;;;f M d D L σΩ

?ΩΩΓ∑?):

1. “尺寸”: (1)

D

D

d S

σ???; (2)曲面面积(除柱体侧面);

2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 无穷级数(数一,三)

一. 级数概念

1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =++

+; (3)lim n n S →∞

(如1

(1)!n n

n ∞

=+∑

)

注: (1)lim n n a →∞

; (2)

n q ∑(或1

n

a ∑

); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ?收敛.

2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞

=;

(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→;

二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n

S ; (3)收敛n S M ?≤(有界)

2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n n α∑, (3)1

ln k n n

∑

3. 审敛方法: (注:2

2

2ab a b ≤+,ln ln b

a

a b

=)

(1)比较法(原理):n

p k

a n

(估计), 如1

0()n f x dx ?; ()

()P n Q n ∑

(2)比值与根值: *1lim n n n

u

u +→∞

*n (应用: 幂级数收敛半径计算)

三. 交错级数(含一般项):

1

(1)

n n a +-∑(0n a >)

1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?

注: 若1lim 1n n n

a

a ρ+→∞=>,则n u ∑发散

2. 标准级数: (1)

1

1(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)1

1(1)ln n p n

+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:

n

a

∑发散; (2)条件: ,0n

n a a →; (3)结论:

1

(1)

n n a +-∑条

件收敛.

4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→.

5. 注意事项: 对比 n

a

∑;

(1)n n

a

-∑;

n

a

∑;

2n

a

∑之间的敛散关系

四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)

n

n

a x

∑, (2)

()

n

n

a x x -∑, (3)

20

()

n

n

a x x -∑

2. 阿贝尔定理:

(1)结论: *

x x =敛*0R x x ?≥-; *

x x =散*0R x x ?≤-

(2)注: 当*

x x =条件收敛时*R x x ?=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n

n n a na x x n

∑∑

与n n a x ∑同收敛半径 (2)

n

n

a x

∑与

20

()

n

n

a x x -∑之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

23

111,2!3!

x

e x x x R =++

++Ω= 24

111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω=

35

111(),23!5!

x x e e x x x R --=+++Ω=

35

11sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=

2411

cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;

21

1,(1,1)

1x x x x =+++∈--;

21

1,(1,1)1x x x x

=-+-∈-+

23

11ln(1),(1,1]23x x x x x +=-

+-∈- 23

11ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-

35

11arctan ,[1,1]35

x x x x x =-+-∈-

(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 02

1

,x x ax bx c

=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0

()()(0)x

f x

g x dx f ?=+?

(4)考察原函数: 0

()

()x

g x f x dx ?

()'()f x g x ?=

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =

+∑∑

(2)'()S x =,(注意首项变化)

(3)()(

)'S x =∑,

(4)()"()"S x S x ?的微分方程 (5)应用:

()(1)n n

n n a

a x S x a S ?=?=∑∑∑.

6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利: (1)n

A p +; (2)现值: (1)n

A p -+

五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)

1. 傅氏级数(三角级数): 01

()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞

==

++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ?(和函数)

(2)1

()[()()]2

S x f x f x =

-++ 3. 系数公式: 01()cos 1

(),,1,2,3,

1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ

π

π

π

ππππ--

-?=??=

=??=??

??

?

4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=

∈-(分段表示)

(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈

(3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =

6. 附产品: ()f x ?01

()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞

==

++∑

00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=?=++∑001

[()()]2

f x f x =-++

第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)

一. 向量基本运算

1. 12k a k b +; (平行b a λ?=)

2. a ; (单位向量(方向余弦) 0

1(cos ,cos ,cos )a a a

αβγ=

)

3. a b ?; (投影:()a a b b a

?=

; 垂直:0a b a b ⊥??=; 夹角:(,)a b a b a b

?=

)

4. a b ?; (法向:,n a b a b =?⊥; 面积:S a b =?) 二. 平面与直线 1.平面∏

(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕= (2)方程(点法式):

000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=?+++=

(3)其它: *截距式1x y z

a b c

++=; *三点式

2.直线L

(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000

:

x x y y z z L m n p

---== (3)一般方程(交面式): 111122220

A x

B y

C z

D A x B y C z D +++=??

+++=?

(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表

示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t

=+-??

=+-∈??=+-?

) 3. 实用方法:

(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++=

(2)距离公式: 如点0

00(,)M x y 到平面的距离d =

(3)对称问题;

(4)投影问题.

三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面

(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=? (或(,1)x y n z z =--)

2. 曲线

(1)形式()

:()()

x x t y y t z z t =??

Γ=??=?

, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?;

(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =?)

3. 应用

(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面

1. 圆柱面: 2

2

2

x y R += 2. 球面: 2

2

2

2

x y z R ++=

变形: 2

2

2

2

x y R z +=-,

z =

,

222

2x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=

3. 锥面

: z =

变形: 2

2

2

x y z +=,

z a = 4. 抛物面: 2

2

z x y =+,

变形: 2

2

x y z +=, 2

2

()z a x y =-+ 5. 双曲面: 222

1x y z +=± 6. 马鞍面: 2

2

z x y =-, 或z xy =

五. 偏导几何应用 1. 曲面 (1)

法

向

:

(,,)0(,,)

x y z F x y z n F F F =?=, 注:

(,)(,1)x y z f x y n f f =?=-

(2)切平面与法线:

2. 曲线

(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===?= (2)切线与法平面 3. 综合: :Γ0

0F G =??

=?

, 12s n n =?

六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):

(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=? (2)计算(充分条件:可微):

cos cos cos x y z u

u u u l

αβγ?=++? 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y z

f f l

θθ??

=+? (3)附: 222

2cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f l

θθθθ?=++?

2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G : (1)计算:

()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =?==;

()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =?==

(2)结论

()

a u

l

??0G l =?; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值. 第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

一. 三重积分(

fdV Ω

???)

1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):

(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征: (1)单变量

()f z , (2)

22()f x y +, (3)222()f x y z ++,

(4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *

dv Ω

???; *利用对称性(重点)

(2)截面法(旋转体): ()

b

a

D z I dz

fdxdy =

?

??

(细腰或中空, ()f z , 22

()f x y +)

(3)投影法(直柱体): 21(,)

(,)

xy

z x y z x y D I dxdy fdz =

???

(4)球坐标(球或锥体): 220

sin ()R

I d d f d π

αθ??ρρ=

????

??,

(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:

(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式 二. 第一类线积分(L

fds ?)

1. “积”前准备:

(1)L

ds L =?

; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式

2. 计算公式:

()

[,]((),(()b a

L

x x t t a b fds f x t y t y y t =?∈?=?=???

3. 补充说明: (1)重心法:

()()L

ax by c ds ax by c L ++=++?;

(2)与第二类互换:

L

L

A ds A dr τ?=???

4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积

(),L

z x y ds ?

三. 第一类面积分(

fdS ∑

??)

1. “积”前工作(重点): (1)

dS ∑

=∑??; (代入:(,,)0F x y z ∑=)

(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:

(1)(,),(,)(,,(,xy

xy D z z x y x y D I f x y z x y =∈?=??

(2)与第二类互换:

A ndS A d S ∑

∑

?=?????

四: 第二类曲线积分(1):

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +? (其中L 有向)

1. 直接计算: ()

()x x t y y t =??=?

,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →?=+?

常见(1)水平线与垂直线; (2)22

1x y += 2. Green 公式: (1)

(

)L

D

Q P

Pdx Qdy dxdy x y

??+=-???

??; (2)()

L A B →?

: *

P Q y y ??=???换路径; *P Q y y

??≠???围路径 (3)

L

?

(x y Q P =但D 内有奇点)

*

L

L =??

(变形)

3. 推广(路径无关性):P Q y y

??=?? (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()

B

A L A

B u →?

=?

(道路变形原理)

(2)(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +?

与路径无关(f 待定): 微分方程.

4. 应用

功(环流量):I F dr Γ

=??

(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)

五. 第二类曲面积分 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑

++??, 或(,,)R x y z dxdy ∑

?? (其中∑含侧)

2. 计算:

(1)定向投影(单项):

(,,)R x y z dxdy ∑

??, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);

注: 垂直侧面, 双层分隔

(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =--

[()()]x y Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑

∑

?++=-+-+????

(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=

(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑

∑

?++=++????

3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R

div A x y z

???=

++??? (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点

Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑

Ω

++=?????

(3)注: *补充“盖”平面:0

∑

∑+????

; *封闭曲面变形

∑

??

(含奇点)

4. 通量与积分: A d S ∑

Φ=??? (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)

六: 第二类曲线积分(2):

(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ

++?

1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)

注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ

=??

2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (

,,)(,,)R A P Q R x y z

???

=??=???? (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0

0F G =???=?

同侧法向{,,}x y z n F F F =或

{,,}x y z G G G ;

(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ

∑

?=??????

(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑

++??; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑

??; (c )化为fdS ∑

??

·和差化积公式：

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

·一些初等函数： ·两个重要极限：

·三角函数的有理式积分：

2

22212211cos 12sin u du

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　

·半角公式： α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

2

cos 12cos 2cos 12

sin

-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·两个常用积分公式

是偶数。

是奇数。n 4

43......231sin 32

54.......231sin 2

/0

n 2

/0

????--?-=????--?-=?

?π

ππn n n n dx x n n n n n xdx n

x

x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x

x

x -+=

-+±=++=+-=

=+=

-=----11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1

sin lim

0==+=∞→→e x

x

x

x x x

·导数公式

·基本积分表

a

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x

tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2

2=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+

=±+=+=+=

+-=?+=?+-==

+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a

a dx a C

x ctgxdx x C

x dx tgx x C

ctgx xdx x

dx

C tgx xdx x dx

x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc

sin

sec cos 222

22

2

2

2

C

a x

x a dx C x

a x

a a x a dx C

a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=?

???????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

22

2222

2

?

?

???++-=

-+-+--=

-+++++=

+-===

-C

x a x a x

dx x a C

a x x a a x x

dx a x C

a x x a a x x

dx a x I n

n xdx xdx I n n

n

n arcsin ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

222222

2

2

22

2

2

2

π

π