数学模型概述

数学模型概述

2006年12月19日星期二下午 02:23

数学模型概述

数学是一切科学和技术的基础。数学教育改革关系到数学乃至科学的未来，努力使我国的数学教育面向21世纪，适应现代化建设的需要，已成为刻不容缓而又意义深远的任务。目前，数学的应用向着各个领域渗透，各行各业日益依赖于数学，甚至可以说当今的社会正日益数学化。从科学技术的角度来看，不少新的分支（交叉）学科出现了，特别是与数学相结合而产生的学科，例如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学心理学、数理语言学、数学社会科学等。我国著名科学家钱学森教授也多次强调数学科学的重要性，并论述了他对“数学技术”的理解。而且象财务、会计专用软件包等都是大量应用了现有的相关的数学知识，开发数学模型以及应用数学技巧、方法的结果。然而多数人只是见到外在表现而没认识到所以能有这种外在表现的内在原因。因而人们对当今这个时代的日益数学化这一特点远没有取得共识。相反我们却看到一种矛盾的现象，一方面很容易“论证”数学的重要性，因为从小学一年级到大学一年级（甚至高年级、研究生阶段）每学期都要学习数学而且都是必修课，而任何其他学科都没有这么长的学习时间，因而“数学最重要”不是很显然了吗？然而认真地看一下对数学科研的资助在削弱，选学数学作为终身职业的学生数目锐减，甚至要求大量削减数学教学学时的“呼声”经常出现。不少有远见的科学家已经注意到这一问题的严重性。例如著名的Dvaid（美国数学界的权威）的报告中就指出“一方面，数学及数学的应用在科学、技术、商业和日常生活中所起的作用愈来愈大；在另一方面，一般公众甚至科学界对数学研究可以说是一无所知。”James G. Glimm在《数学科学，技术，经济竞争力》中指出“作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的极其重要性也未被认识到”，E.E.David Jr.在《 Notice of American Mathematical Society 》中肯定地指出“数学的重要性不是不言自明的，何况许多对此看法游移不定的人并没有认真地思考过（数学的重要性问题）。”他告诫数学界要作出更多的主动努力使人们更了解数学。众所周知，21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的主要阵地，实施素质教育势在必行。

一、数学素质教育1、对数学地位和作用的再认识数学不仅是一切科学和技术的基础，而且是学习和攀登科学技术高峰的钥匙和先决条件。在信息社会里，由于计算机的广泛应用，加速了现代社会的“数学化”进程，因为越来越多的问题首先需要归结或表示为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高，目前，人们把科学计算与理论研究、科学实验并列为科学研究的三种基本方法。在日常的经济与行政管理工作中，严谨的逻辑思维与定量思维是衡量一个人文化素质是否全面发展的一个重要标志。德国著名数学家H.G.Grassmann曾说过：“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能”。而James在《数学科学·技术·经济竞争力》中指出：“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供了方法，以至于当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的，并且是可以传播的知识。分析、设计、建模、模拟（仿真）及其具体实施就可能变成高效加结构良好的活动。”因此，“在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术”。

但是，众所周知，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立模型，不会设计适当的方法，也不会自行编程序软件。计算机所擅长的只是按照人们编制的软件快速进行数学计算和符号演算。在这个意义是容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展越需要数学修养高的人。计算机正是借助于数学才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。

综上所述，数学素质是素质的重要组成部分，实施以大学生数学素质教育为核心的数学教学改革势在必行。

2、高等院校数学教育的任务由于以计算机和通讯为代表的信息技术的迅猛发展，当前的数学教育面临两大问题：其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改革才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的哪些困难。一个不争的事实是：计算机革命的冲击力

如此迅猛，是因为人脑的延伸，它正以惊人的速度深刻地改变着人们的工作方式、生活方式与思维方式。70年代，美国的未来学家针对计算机的普遍使用，作了一个就业展望，结果令人吃惊：一半以上的职业将不复存在，其余大多数也将从根本上受到影响！这就是说现在正在为未来的就业而学习的面临一种危机，即在他们一开始走向社会时，原来要从事的职业可能已不存在了。这就是我们所处的时代：一个迅猛变化而充满竞争的时代。面向21世纪培养素质型的人才是世纪之交我国高等教育改革的核心内容。为了主动适应社会主义市场经济和高等教育发展的需要，培养学生的综合素质，提高学生的实际应用能力，首先应使学生系统掌握本专业及与专业相关的基础理论、基础知识和基本技能，受到良好的科学思维和科学方法的基本训练。在知识结构上，达到以本专业知识为主，拓宽相关专业知识；在能力结构上，达到专业技能、职业技能和初等研究能力的复合。

从这个意义上讲，高等院校数学教育的任务应包括三方面的内容，即基本知识的传授、自学能力和创造性思维能力的培养以及应用数学思想和方法解决实际问题能力的培养。基本知识的传授是数学教育的基础，自学能力和创造性思维能力的培养是核心，数学应用是数学教育的目的。3、加强基础，提高大学生数学素质素质是知识和能力的综合体现，数学素质是指人们认识和处理数形规律、理解和运用逻辑关系、领会和研究抽象事物的能力，也是一种思维模式和思维习惯，其外在表现就是人们对事物从量的方面进行观察和研究的能力、思维的逻辑性和严谨性及应用数学方法解决实际问题的能力。高等院校数学素质教育的内涵就是通过教学活动让学生学习、掌握数学的思想、方法和技巧，培养学生论证运算能力、逻辑思维能力，特别是运用数学的立场、观点和方法分析、解决实际问题的能力，初步具备自学所需的更深入的数学新知的能力。因此，高等院校大学生的数学素质应由以下三方面能力组成：1）语言模型能力：初步具备分析问题、简化问题的能力以及用严谨且有逻辑层次的精练、准确的语言描述问题的能力；2）处理问题能力：初步具备查阅应用文献资料的能力，初步具备运用适当的数学思想、方法和技巧解决所遇到的实际问题，初步具备一定的计算机通用软件运用能力等；3）综合创新能力：初步具备一定的创造能力，科学论文的写作能力，与他人分开合作能力等。

二、数学模型及其建立1．一个简单的数学模型航行问题：甲乙两地相距90km，船从甲地到乙地顺水而行需3h，从乙地到甲地逆水而行需5h。问船速、水速各为多少？解：设船速、水速分别为x km/h，y km/h，根据题意，得：解之得：关于此问题求解过程的疑问：

众所周知，“距离=时间×速度”是描述匀速直线运动的方程，在此问题中，船在90km的航行中何以保证其运动的匀速、直线运动？倘否，何以可用匀速直线运动规律来求解该问题？问题的回答应建立在对数学模型建立的理解上。2．数学模型概念模型是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。数学模型并不是什么新东西（尽管过去很长时间这一术语用的很少），可以说，有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，而这种刻划的数学表达就是一个数学模型，其过程就是数学建模。或者也可以进一步说，所谓数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个对问题近似刻划的数学结构，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。如上述航行问题中的一元二次线性方程组即是该问题的数学模型。

3）模型构造的两种学派在模型构造的指导思想上有两种不同的学派：一派主张尽可能地反映各种可能的影响因素，建立比较复杂的数学模型，以求得对现实情况更为精细的模拟，然后用计算机去求得结果；另一派主张选择其主要因素，建立相对比较简单的数学模型，以便更容易地通过数学推理和分析去揭示其本质的特性，而不被一些次要因素所困惑。

事实上，建立数学模型的目的是为了了解、掌握系统发展的规律，并对未来的发展作出预测预报，为决策者提供决策依据。因此，后一种方法更为可取。

4）建立数学模型的过程上述框图可形象地描述数学建模的全部思想及建立的全过程。其大致可以分为以下几步：

①模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模所需的各种信息（如现象、数据等），尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型；

②模型假设：根据研究对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设。一般地，一个实际问题如果不经过简化假设很难“翻译”成数学问题，即使可能，也很难甚至于不可能求解。值得注意的是，由于考虑问题的视点不同，所作的简化假设不同，因而对同一问题会得到不同的数学模型。通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据、现象的分析，或者是二者的结合。作假设时要充分利用各方面综合信息，要充分发挥想象力、洞察力和判断力，要分清问题中的主要因素、次要因素。但有一点要特别注意，模型的假设作得不合理或过于简单，会导致模型失败或部分失败；假设作得过于详细，则可能把问题复杂化，很难甚至无法继续进行下去。

由于模型简化假设的重要性及其本身的困难性，这就需要我们经常对一些感兴趣的问题多思多想多练，逐渐体会其中的奥秘。一般地，对问题的简化假设可逐渐由易到难的过程，逐步取得希望得到的结果。

③模型构成：根据所做的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（常量和变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。

④模型求解：可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。尤其是各种数学软件的使用，如Maple、Mathematica、Matlab、SPSS等，当然不是要精通每一个数学软件，熟练掌握其中一个软件即可。近年，Maple软件以其功能强大、界面友好、简单易学而深得人们喜爱。

⑤模型分析：对模型求解进行数学上的分析，主要是进行误差分析、稳定性分析及灵敏性分析等。

⑥模型检验：把数学上的分析结果“翻译”回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。这是建模成败的关键。模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，应该对模型简化假设部分再做进一步的修改、补充，重新建立模型。

⑦模型应用：建立模型的主要目的是对实际生产进行预测、预报并提供相应的决策、控制，所以任何没有应用价值的完善的数学模型都是没有任何意义的。

实际上，数学建模是一个多次迭代过程，每一次迭代大体上包括：实际问题的抽象、简化、假设，明确参数和变量；形成明确的数学问题并建立相应的每一简化层次上的数学模型；解析地或数值地求解该数学模型；对结果进行解释、分析、验证；如果符合实际则交付使用，否则，进行下一次迭代，如此循环，直至得到满意结果为止。

三、数学实验

随着计算机科学与技术的迅猛发展，人类已经进入以计算机、网络、数码、光纤、多媒体为主要标志的信息时代。人们越来越意识到，在工业时代，人类要解放的是自己的双手，而在信息时代要解放的则是自己的大脑。

计算机特别是数学软件的迅速发展对数学科学也产生了巨大的冲击，对数学研究的观念及研究方法都产生了深刻的影响，甚而可以说这种影响是一场革命性的影响。引发这场冲击波的最主要的数学事件是“四色定理”的证明。1976年，美国Illinois大学的两名年轻数学家利用计算机成功地解决了困扰数学界长达近两百年之久的著名的四色定理（即：地图是可四面着色的），这一成果震惊了整个数学界。众所周知，数学问题只能是通过严格的数学逻辑推理才能得到证明，但四色定理的结果则是借助计算机技术并运用穷举法而得，因而在当时有一大批数学家不承认这是一个证明。经过长时间的争论，这一结果最终还是被数学界接受了，并由此引发了数学家们的思考，从而产生了“数学实验”这一新的数学研究方法。在此后的数十年，数学科学中的一个新的具有极大生命力的分支——实验数学得到了人们广泛关注并有了长足的发展。

由于上述原因，数学实验在数学教育特别是数学素质教育中的重要地位被愈来愈多的人所认识。我们有理由相信，数学实验这一新的数学学习及研究方法定会被越来越多的学生所接受，并会在大学生数学素质的形成过程中具有不可低估的重要性。

1．计算机数学实验与计算机代数系统

所谓数学实验，简单地说，就是用计算机代替笔和纸以及人的部分脑力劳动进行科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理等。

科学计算包括两类：一类是纯数值的计算，例如求函数值、方程的数值解等；另一类是符号计算，又称代数运算，这是一种智能化的计算，处理的是符号，符号可以代表整数、有理数、实数和复数，也可以代表多项式、函数，还可以代表数学结构如集合、群等。我们在数学的教学和研究中通常用笔和纸进行的数学运算多为符号运算。

数值计算常常是一项非常繁琐的工作，事实上，人类很早就意识到在解决实际问题时对于数学特别是“计算”（包括数值计算、逻辑运算、符号计算、图形计算等）的极端重要性，并致力于“计算”的机械化及计算机械的发明创造（如算盘、对数计算器、计算尺、加法机、Leibnitz演算机、差分机，等等）。直到计算机的出现和发展才逐步解决了数值计算中的困难。从计算机发明到现在五十多年间，用计算机进行的科学计算主要是数值计算，如天气预报、油藏模拟、航天等。

而用计算机进行符号和代数运算是数学和计算机领域的一个新的发展方向。长期以来，数学家和计算机科学家梦想用计算机代替人脑进行代数符号运算以及数学的各种处理，使数学走向“机械化”的道路，从而也使计算机本身更加智能化。我国著名数学家吴文俊院士首先提出的“吴氏消元法”为数学处理在计算机上的实现奠定了理论基础，并在几何定理机械证明、方程组求解、微分几何、理论物理、机器人学、计算机图形学等数学和高科技领域相继获得了广泛的应用。

20世纪80年代以来，用计算机进行代数运算的研究在国外发展非常迅速，涉及的数学领域不断地扩大，出现了多种符号运算方法、计算程序和系统，如符号运算（symbolic computation）、符号和代数运算（symbolic and algebra computation）、符号处理（symbolic manipulation）、计算机代数（computer algebra）等等。这是一个以构造性数学为核心，以计算机实现为目标，以实用的算法为研究内容，以实用程序或软件为成果的研究领域，这个领域被称为计算机数学。计算机数学的发展逐步产生了一些独立的计算机程序库，称为计算机代数系统。一部分计算机代数系统发展成为完整的专用或通用的计算机数学软件，如美国的Mathematica、Matlab，加拿大的Maple等。

根据计算机代数系统的用途，将其分为两类：专用系统和通用系统。专用系统主要是为解决物理和数学某些分支中的特殊问题而设计的，专用系统在符号和数据结构上都适用于相应的领域而且多数是用低级语言编写的，因此专业人员使用很方便，计算速度也较快，它们在专业问题的研究中起着重要的作用；通用系统具有多种数据结构和丰富的数学函数，应用领域广泛。

总之，计算机数学是数学研究领域的新方向，计算机数学的产品——数学软件在不断地发展、提高和完善。数学软件为数学的教学、研究和应用开辟了新天地，既使数学实验成为可能，又使数学成果直接为实际服务以及使数学的大众化成为可能。

2．数学实验数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物，是数学教学体系、教学内容和教学方法改革的一项尝试。几年前，设置数学实验课的构想一出现，立即在数学教育界引起反响。2000年，在教育部高教司主持编纂出版的“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革报告”的《高等数学改革研究报告》中，把“数学实验”列为高校理科类专业的基础课之一，并明确指出了数学实验在数学教学体系中的作用和地位等。

1）数学实验课程开设的必要性当前传统的数学教育面临巨大的困难。从教学内容看，几十年不变，内容较为陈旧；从教学方法看，大部分数学课堂没有摆脱以教师传授为主的注入式，数学课难以唤起学生的积极性；从教学对象看，数学教育并没有做到面向全体学生，真正的“因材施教”至今还难以实现；从教学目标看，决大部分精力还放在应付考试的单纯解题训练上，数学知识的形成过程被淹没了，数学与实际的生动联系不见了；从教学模式看，基本上还是教师讲学生听的“一刀切”的班级授课，学生被动学习的局面没有改变，缺少必要的“个别化”教学与学生彼此之间的交流，学生的课堂参与是极其有限的；从教学评估看，大部分是凭经验“摸着石头过河”，难于及时准确地了解教学信息，因而我们的教学策略难以保证有很强的针对性；从教学手段看，没有摆脱“粉笔+黑板”的束缚，计算与画图还是传统的手工方式，教师的工作基本上还属于个体的手工业劳动。数学不仅是学生的沉重负担，也是教师的沉重负担。

因此，传统的数学教育已远远不能满足数学化时代的需求，而把计算机技术引入教育将带来深刻而广泛的影响，它不单会影响到教学内容的变化，而且将引发教学方法、教学模式、教学观念等等一系列的变

革。特别是计算机强大的文字、图形、动画和声音功能，能够激发学生的兴趣，增强学习的积极性；能给学生提供更多动手的机会，特别是计算机的人机交互功能，为实现教学的“个别化”创设了理想的环境。2）数学实验的主要功能①帮助学生认知数学概念数学概念是数学的基础，是数学的灵魂，但因其高度的抽象性使学生往往难以理解，更有甚者，部分学生因此而失去数学学习的兴趣。如极限是数学教学的一个难点，在传统的一支笔、一块黑板、一张嘴的教学模式下，很难把随n的不断变化而趋向某个常数或不趋向于某个常数的动态过程显露出来，更不能有一个学生参与的认知环境。一段时间下来，一些学生对极限的概念还是不理解，“意义建构”并未完成。而运用计算机教学工具，可以把数列的通项随n变化的过程动态的显示出来，学生可以亲自参与，反复实践，反复体验何谓“无限逼近”。在这样的认知环境下，加上教师的启发来完成概念的形成过程。

②帮助学生做数学实验在传统的教学模式中，教学过程中的一切几乎都是由教师决定的，学生很少有参与实践的机会。而在交互式计算机的学习环境中，学生不仅可以接受教师的安排而且还可以有自己的设想，可以自己做“数学实验”。在这样的认知环境及教学模式下，学生积极主动，观察能力、归纳能力、思维能力都得到了很好的训练、培养，素质也会得到提高。③帮助学生实现“数学的发现”多媒体计算机在教学中的运用，给学生以“数学发现”的机会。学生不仅获取了知识、培养了能力、增长了才干，也使他们的丰富的想象力与创造力得到充分的发挥。传统的教学中，学生的想象力很难发挥出来，甚至可以说被扼杀。而在数学实验室，可很容易地使知识间的联系立即建立，所学的难以理解的概念瞬间可以得到应用。数学学习的兴趣还需要“激发”？！

④用计算机进行数学辅导课堂的局限性很大，学生课后需要复习，希望课堂的再现，需要课外辅导。传统的教学中许多学生一直在“听老师讲”还是“记好课堂笔记”之间举棋不定。利用计算机教学软件可以很方便的解决这个问题。上课时学生不必记笔记，大量的时间用在老师指导下的教学活动中（“协商”、“会话”，也不仅仅是“听讲”）。课后，学生可以根据自己的需要再现课堂教学的任一部分内容，或者再反复地实验、琢磨。在网络状态下，学生在自己家里也可以向老师提出问题，求得解答，课后的辅导变得随时随地。

⑤用计算机做数学练习传统的数学练习只能暴露几个学生的解题结果，代表性不强。在网络教室中，教师可以根据需要调阅任一个学生的学习效果，及时发现他们的进度、难处，以便及时地加以纠正。好的方法、典型的问题、典型的错误可以再展示在大屏幕上或板演到黑板上，或者指示其他同学调阅学习伙伴的学习情况。同学之间也可以利用网络进行讨论。

⑥帮助学生应用计算机解决实际问大学生数学素质教育的核心内容就是应用数学的思想、方法和技巧解决实际问题。问题的解决首先应是数学模型的建立（数学建模课程教学基本可以达到这一目的），而模型的求解则必须依赖于数学软件等软件的使用，这恰是数学实验室的主要任务之一，即数学软件的系统学习与实验。譬如线性规划问题求解，通常应用单纯形法求解一个简单的问题都需要较长的时间，而在数学软件中只需要几分钟就可求出最优解。

由于数学软件的方便、快捷及不易出错的特点，学生不再需要花费大量的时间在计算上，而可把更多的时间用在数学思想、方法和技巧的理解及应用上。如此形成一个良性循环，数学素质教育的目的才能实现，高素质的数学应用人才才能得以培养。

四、数学建模素质培养众所周知，人才的培养是关键。今天，在技术（科学）中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。从某种意义上讲，数学建模已经发展成一个相对独立的数学分支，而且不断地向应用数学和纯粹数学提供着大量的挑战性问题，从而推进着数学科学的发展（特别是近年来正在迅速发展的工业数学（Industrial Mathematics））。由于计算机及通讯手段的迅速发展，近三十年来数学建模的研究取得了前所未有的蓬勃发展，数学建模已成为数学科学向一切领域渗透的主要媒介。愈来愈多的人认识到，一个有竞争能力的科技人员必须具备一定的数学建模知识和能力，为此，作为人才培养主要阵地的大学开设数学建模课程就显得十分必要。实践证明，数学建模在培养具有创新精神的人才方面起到了积极的作用，是数学教学改革特别是数学素质教育的切入点和生长点。简单地说，下述几方面能力的培养则显得重要而有意义。

1．培养“翻译”的能力：即把经过一定抽象、简化的问题用数学语言表达出来形成数学模型，对应用数学的方法进行推演或计算得到的结果，能用“常人”能懂的语言“翻译”（表达）出来；2．应用已

学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，并能学习一些新的数学知识（若需要），并能理解合理的抽

象和简化，特别是进行数学分析的重要性；3．发展联想能力：因为对于不少完全不同的实际问题，在

一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的，这正是数学的应用广泛性的表现。这就要求培养

学生有广泛的兴趣，多思多想多练，通过熟能生巧而逐步达到触类旁通的境界；4．逐渐发展形成一种

洞察能力，通俗地讲就是一眼能抓住或部分抓住问题要点的能力；5．熟练使用技术手段，特别是计算

机技术，尤其是数学软件，这将帮助你节省时间，在一定阶段能得到直观形象的结果。另外，还应具

备与他人分工合作能力及一定的文字表达能力等等。

五、结束语a）21世纪是人才竞争的时代，人才竞争的关键是人才的培养，大学作为人才培养的

主要阵地，实施素质教育势在必行。素质教育立足于人的潜能的开发和综合品质的提高，其目的在于提高

受教育者的素质。数学素质是素质的重要组成部分。b）《数学模型和数学实验》作为数学素质教育

的核心课程，其主要内容是“数学建模、数值计算、数据处理”，通过学习，使学生初步具备下述三方面

能力①语言模型能力：初步具备分析问题、简化问题的能力以及用严谨且有逻辑层次的精练、准确的语言

描述问题的能力；②处理问题能力：初步具备查阅应用文献资料的能力，具备运用适当的数学思想、方

法和技巧解决所遇到的实际问题，具备一定的计算机通用软件运用能力等；③综合创新能力：初步具备

一定的创造能力，科学论文的写作能力以及与他人分开合作能力等。c）尽管《数学模型和数学

实验》是数学素质教育的核心内容，但我们必须清醒地认识到，《数学模型和数学实验》绝不能取代其它

数学课程教学，它是数学教学的一个重要而不可缺少的有机组成部分。

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