中国人口增长模型

中国人口增长预测

张远四，徐云龙，石玉文

中国矿业大学理学院数学系，江苏徐州 (221008)

E-mail: whoareyouis@https://www.360docs.net/doc/947742349.html,

摘 要：中国人口的增长对国家带来各种各样的影响，对于人口增长的预测很有实际影响，对于求解问题，我们首先想到了Malthus 模型。该模型对条件的要求较严格，由此我们同时还采用了Logistic 模型对人口进行预测，该模型对Malthus 模型的缺陷作了适当的弥补，现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型然后进行预测。采用拟合方法得到的结果和用贝努利方程的初值问题公式得到的结果进行比较。

关键词：Malthus 模型；Logistic 模型；贝努利方程的初值问题；费尔哈斯模型；最小二乘法 中图分类号：O175

1. 模型的假设

1）．假设人口增长不受环境最大承受量的限制；

2）．将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化；

3）．记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记

)](,),(),([)(21t n t n t n t n m L =

第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =?假设,i i b d 不随时间变化；

4）．不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响；

5）．生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。

2. 符号说明

表1 符号的统一说明

r —人口增长率；

x —人口数量；

m x —最大人口容量；

()r x —单位时间内人口数量的增长量与当时人口数量x 的比，且()r x r sx =?，,0r s >；)(t P —预测年t 人口数；

M —区域人口上限；

a —一次的常系数； )(λ

b —二次的常系数；

L 矩阵—女性人口的年龄结构向量矩阵；

(,)m E x r —非线性模型最小值

3. 模型的建立与求解

我们采用人口增长模型和Leslie 人口模型来解决关于人口增长的预测问题。

3.1 人口指数增长模型

人口总数增长是指数增长模型[4]，当人口总数非常大时，自然资源，环境条件等因素对人口的增长起着越来越大的阻滞作用。要预测未来人口数量，最重要的影响因素是当前的人口数量，今后一段时间内人口的增长状况和环境因素。由于随着人口数量的增加到一定程度以来人口在有限的生存空间里进行竞争，人口的增长状况随着人口的数量的增加而减少，而且在有限的生存空间里人口也不可能无限的增长，所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，也是对Malthus 模型的基本假设进行修改而得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。假设只能达到某一固定的数量值m x ，称为最大人口容量。又假设单位时间内人口数量的增长量与当时人口数量x 的比记为r (x )=r-sx ，r ，s >0，其中r 相当于x =0的增长率称为固有增长率，将r 表示为x 的函数r (x )则它应是减函数。设t 时刻的人口数量为x (t )，设初始时刻(t =0)人口为x 0，单位时间内x (t )的增量等于r 乘以x (t )。考虑到t 到t+t ?时间内人口增量，显然有：

t t x x r t x t t x ?=??+)()()()( ()※

令得0→?t 得到微分方程：

0)0(,)(x x x x r dt

dx == (1) 又 ()r x r sx =?，,0r s > (2)

当m x x =时，人口不再增长，即()0m r x =代入（2）式得m r s x =

,于是（2）式变为 1()(m

x x r x r ?= (3) (3)的另一种解释是增长率()r x 与人口尚未实现部分的比例m m x x x /)(?成正比，比例系数为r ，将（3）代入(1)得

0)0(),1(x x x x rx dt dx m

=?= (4) 方程（4）右端的因子rx 体现人口自身的增长趋势，因子)/1(m x x ?则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，显然x 越大前一个因子越大，后一个因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。

对方程（4）用分离变量法求解得：

rt

m m

e x x x t x ??+=)1(1)(0 (5)

可知道人口总数有如下规律：

（1） 当t →∞时，()m x t x →结论是不管其初值如何，人口总数最终将趋向于极限值m x .

（2） 当m x x <<00时

0)1(>?=m

x x rx dt dx 即()x t 是时间t 的单调递增函数。又

))(2(2222x x x x x r dt dx x rx dt dx r dt

x d m m m ??=?= 显然，当2m x x <时，022>dt

x d ，人口总数达到其极限值一半以前的时间是加速增长的时间；当2m x x >时，022

x d 时期是减速增长的时期，它的曲线形状称为S 形曲线 为此我们再引进一个Verhulst Model (费尔哈斯模型)，它是在对马尔萨斯（Malthusian ）模型修正的基础上，增加了一个二次项。生长和发展的增长受制于环境约束：

2

)]([)()(t P b t aP dt t dP ?=

或)]()[()('t P M t P t P ?=λ （6）

式中：)(t P 为预测年t 人口数；a ,)(λb 分别为一次、二次的常系数；M 为区域人口上限，a M =。

00)(P t P =时的费式模型的解析解为：

)

(00)1(1)(t t M e P M

t P ????+=λ （7）

要应用费氏模型进行人口预测，首先必须确定常系数a 、b 。我们采取最小二乘法求解，最小二乘法是利用历史数据拟合参数使估计的误差最小化。由于（7）式为非线性解，利用历史数据来拟合常数项a 和b 方法如下：

首先把（7）式作一变换，即

0()00

1()a t t P t a bP b e a aP ??=?+? （8） 令00a bP c aP ?=，b d a =，0

1c d P +=，0T t t =? 其次对()P t 进行倒数处理，即

1aT t d c e P ?=+?

右端第二项0()a t t e

??无法利用回归方法，因而还必须进行线性化，我们知道x e ?的级数展开，

即

23

1()2!3!

x x x e x x ?Θ=?+?+?∞<<+∞L 232231()2!3!

a c a c d c acT T T P t ∴=+?+?+L 232230

11()2!3!a c a c acT T T P t P ∴?=?+?+L 令 (1)!n n

n a c b n =?；011()()P t P t P ?=? 1()i i

i P t bT +∞=∴?=∑

由上式可知，i b 是a 和c 的函数，当1i =时，无法确定a 和c ；当2i =时，以唯一确定a 和c ；当2i >时，a 和c 也难以确定，并且i b 将是相互关联。因此，取二阶展开作为线性回归方程，即

2

12()P t bT b T ?=+

（9） 由上式可知： 212b a b ?=；2122b c b =；21010

2b a b ac b p b p =?+=? （10） 本方法经上述一系列的转换和变换，式（4）可以直接用统计分析工具得到1b 和2b ，进而获得费氏模型的参数a 和b 。并且本方法利用了全部的历史数据，能够较好的反映人口的增长变化过程和趋势。

利用（4）式进行回归运算，二次回归结果为：

81021.0856857210 2.2684510Y X X ??=?×+× （11） 式中：200511t Y P P =?；2005X t =?。（以2005年为基准年）

3.2 阻滞增长模型中参数的确定

我们前面已经选用阻滞增长模型来预测。而前面已提到，预测未来人口数量最重要的影响因素是当前的人口数量，所以需用我国的五次人口普查数据作依据[3]，再利用阻滞增长模型。根据（5）式的模型就必须要确定m a 和r ，给出前五次普查人口数据，如下表：

表2 历次普查总人口 普查年份

1953 1964 1982 1990 2000 总人口（亿） 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95

（5）式是非线性函数模型，也是经典的生物种群增长模型，但模型中参数m x 和r 在通常情况下是不确定的，我们可以利用已知的人口普查数据来初步确定它们。对已有数据

(,)i i t y ，1,2,3,4,5i =时，其中i t 为年份，i y 为相应人口数，结合模型，用以确定参数m x 和r 。为了寻找到最佳的参数，考虑（5）式模型是非线性的，要对m x 和r 做参数估计，才能找出合理的估计值。为此我们要对人口增长过程进行拟合，使数据点到曲线模型的的垂直距离的平方和（即残差平方和）是最小值，即达到最佳拟合，使误差平方和尽可能小，从而使估计的参数误差最小。也就是用所给数据点拟合（5）式的非线性模型，得出m x 和r ，。我们采用非线性最小二乘法求下式的最小值：

25

0))1/(1(),(i i rt m m m y e x x x r x E i ??+=∑?

将(,)m E x r 对m x ，r 分别求偏导数r

E x E m ????,，并令它们的偏导数为零，简化后，可得正规方程。由于式子对未知数m x 和r 是非线性的，Matlab 软件里有求多变量函数最小值的子程序，可直接 用来求解(,)m E x r 的最小值，因此利用Matlab 中的非线性最小二乘拟合语句lsqnonlin 来求解。它的标准形式为：

2)()(min x f x f i

i ∑=

也即是非线性最小二乘拟合求出残差平方和的最小值。用Matlab 计算可得,最大人口容量2914.23=m x （亿），人口增长率0273.0=r 。我们还可以看到把参数代入（5）中的模型与原始数据比较的拟合情况[1]：

图1 参数值拟合

原始数据标以‘o’，直线连接原始数据，虚线是拟合的曲线。从对比图可以说明，参数的确定效果是比较理想的，因此利用所求参数值结合（5）可以方便的进行人口预测。

3.3未来人口的预测

我们可预报2010年的人口，下面我们将从两方面来预测,分别是根据上一节的参数m x 和r 结合模型（5）和直接对已知数据进行拟合两个方面进行预测[5]：

（1）利用阻滞增长模型进行预测

以1953年为初始时刻时，1953年到2010年的时间增量是57，根据确定的参数

m x 和

r 代入（5）式得预测数据：

49.144851.14)57(≈=x （亿）

即第六次普查人口总数预计为14.49亿，它的残差平方和计算得0.0969。根据前面分析知人口总数增长所具有的规律，它的曲线是S 型曲线。由于预测人口最大容量为23.2914亿，而目前人口已有13亿，说明我国的人口增长已进入减速增长阶段，即已超过人口容量的一半。所以预测这段时期的人口增长率较小是吻合的。

（2）数据分析的预测

现在，我们来讨论另一种方法，即对一组数据,,...,2,1),,(n i y x i i =对于两变量之间的关系一无所知的情况下，通常是首先画出散点图，以便估计其中的关系。如今是在已有我国前五次人口普查的统计数据的情况下，可先作出散点图，经分析图形特点，找出近似地能反映图形特点的函数y 与x 的关系。为确定函数的表示，可以利用曲线拟合，通常采用线性最小二乘法估计函数关系中的未知参数，即进行线性最小二乘数据拟合，求出参数，从而得到拟合函数。为了解拟合的函数与原始数据点的拟合程度，用Matlab 作出函数拟合图形与原始数据的接近情况[2]，并用残差平方和来刻划数据点与拟合函数的偏差程度，以达到较准确预测人口的目的。首先，由前面给出的我国前五次人口普查数据，有数据：i x =[0,11，29,37,47],i y =[6.0,7.2,10.3,11.3,12.95],,5,4,3,2,1=i 作出散点图如下：

图2 散点图

从散点图的特点分析，我们可以先作多项式拟合，其中包括线性拟合和高次拟合。先给出相对比较粗糙的线性拟合，其相应的线性模型为：

b mx y +=

其高次多项式模型选择是：

c bx ax y ++=2和

d cx bx ax y +++=23

我们还观察到，人口总数开始增长缓慢，接着变快，最后又变慢，这是S 曲线的特点，所以，我们还可以利用S 曲线：

Ax

ce L y +=

1 来表示人口总数y 与年数x 之间的关系。其中L 为常数。 首先来讨论线性模型，用Matlab 进行拟合，选用拟合基底(,1)x 得到一次拟合函数：

8168.51505.0+=x y

拟合函数与原始数据点比较图形是：

图3 拟合与原始比较（1）

图形说明：原始数据标以‘o’，直线连接原始数据，虚线是拟合的曲线。从图形看，拟合效果不错。

选择二次多项式拟合基底是（x 2,x ,1），得到二次拟合函数：

8972.5135.00003.02+

+=x x y

拟合函数与原始数据点比较图形是：

图4 拟合与原始比较（2）

图形说明同图三的图形说明，拟合效果也可以。

三次多项式拟合基底是（x 3,x 2,x ,1），得到三次拟合函数：

9783.50897.00029.0023+++=x x x y

拟合函数与原始数据点比较图形是：

图5 拟合与原始比较（3）

图形说明同图三的图形说明。从图形看，拟合效果理想度没有上两次好。

下面来比较三者的拟合程度，应求他们的最小残差平方和为最小。通过用Matlab 计算，一次拟合函数模型求得的残差平方和是0.1327，二次拟合函数的为0.1158。三次拟合函数的为17.7251，通过残差平方和大小的比较得知，二次拟合效果最优。当企图进行更高次的拟合时，效果并不是越来越好。所以选用二次拟合函数来预测我国2010年人口数量。即：

5669.142010=y （亿）

现在来看S 形曲线模型拟合，拟合基底是,1Ax L x y ce ?

?=??+??

，我们要用数据拟合来求出参数A c ,，其中L 为常数。因S 形曲线模型是非线性模型，我们先把曲线模型做线性代换，再利用线性最小二乘法对数据进行拟合，估计参数A c ,。先做线性代换，取：

,),1ln(//x x y

L y =?= 得到线性表达式：

c Ax y ln //+=

通过线性变换，要计算出/

/,y x ，就可以利用线性最小二乘法估计参数。为此，须确定常数L 的值。

当取10=L 时，运用Matlab 计算可知，预测的人口总数为6.9807 + 0.4157i ，拟合失效。 当取20=L 时，同样运用Matlab 计算，得到线性函数： 8756.00313.0//+?=x y

进一步得出参数4003.2,0313.08756.0==?=e c A ，于是有当20=L 时的拟合函数：

x

e L y 0313.04003.21?+= 拟合函数与原始数据点比较图形如下：

图6 拟合与原始比较（4）

图形说明同图三的图形说明，拟合效果较好。

当30=L 时， 用Matlab 计算得线性函数：

3911.10241.0//+?=x y

进而得出参数0193.4,0241.03911.1==?=e

c A ，于是得当30=L 时的拟合函数：

x

e L y 0241.00193.41?+=， 拟合函数与原始数据点比较图形如下：

图7 拟合与原始比较（5）

图形说明同图三的图形说明。观察得到，曲线与拟合函数图形接近良好。

计算当20=L 时预测人口总数为14.2539亿。其残差平方和为0.0891，当30=L 时，预测人口总数为14.8695亿，其残差平方和为0.1244。从预测数据看，当L 增大时，人口总

数有上升的趋势，残差平方和要增大，拟合误差相应更大。再来拟合当L =40时的拟合图形：

图8 拟合与原始比较（6）

显然，通过图形可以直观了解到，曲线与原始数据差距很大，拟合不上。所以，利用S 型曲线取20=L 时拟合效果最好，此时预测我国第六次人口总数是：

2539.142010=y （亿）

预测我国第六次人口普查总数预计为2010年的总数，经采用经典的人口增长模型，利用散点图进行多项式拟合和S 型曲线拟合的方法，预测得出的人口总数分别是14.49亿，14.56亿，14.25亿。三组预测数据较相近。它们的残差平方和分别为0.0969，0.1158，0.0891。通过比较，利用S 型曲线拟合取L =20时的残差平方和最小，因此可以用通过这个方法预测出来的数据作为我们此次第六次人口预测总人口：

25.142010=y （亿）

4. 模型后的反思

从以上结果看出：我国人口的发展经历了3个阶段[6]:1高出生率、高死亡率、低自然增长率。如1930年出生率为38‰,死亡率为33‰,自然增长率仅5‰;2高出生率、低死亡率、高自然增长率。如1965年出生率为37.88‰,死亡率为9.50‰,自然增长率为28.38‰;3低出生率、低死亡率、低自然增长率。由于70年代末我国政府推行计划生育政策,人们生育意识的变化和生活水平不断的提高,这一阶段中,1985年出生率为21.04‰,死亡率为6.78‰,自然增长率为14.26‰。1993年出生率为18.09‰,死亡率为6.64‰,自然增长率为11.45‰。世界人口自然增长率为17‰,发达国家为6‰,发展中国家为20‰。但由于中国人口基数大,育龄人口和将要进入育龄的人口比重大,我国人口的绝对增长量仍然是相当大的。

根据对所建模型的分析，结合我国近年来出现的老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高,及乡村人口城镇化等新的特点, 可以总结出中国人口在相当长的一段时期内仍有一定的增长势能，但增长的速度会有所减缓。庞大的人口数量一直是中国国情最显著的特点之一。虽然中国已经进入了低生育率国家行列，但由于人口增长的惯性作用，当前和今后十几年，中国人口仍将以年均800-1000万的速度增长。2040年前后中国人口将零增长按照目前总和生育率1.8预测，2010年和2020年，中国人口总量将分别达到13.7亿和14.6亿；人口总量高峰将出现在2033年前后，达15亿左右。受20世纪80年代-90年代第三次出生人口高峰的影响，在2005年-2020年期间，20岁-29岁生育旺盛期妇女数量将形成一个高峰。同时，由于独生子女陆续进入生育年龄，按照现行生育政策，政策内生育水平将有所提高。上述两个因素共同作用，导致中国将迎来第四次出生人口高峰。按照目前总和生育率1.8预测，2010年和2020年，中国人口总量将分别达到13.7亿和14.6亿；人口总量高峰将出现在2033年前后，达15亿左右。

我国人口—资源—环境—经济巨系统,由于人口过快增长,导致系统不同程度地呈现出

无序状态,要使这个巨系统由无序向有序演化、由低级有序向高级有序演化,其基本条件是各子系统之间要协调发展。可持续发展战略是协调这个巨系统各子系统发展的战略,因为这一战略从人类生产活动和消费活动的全过程中全面、系统、综合地考虑了人口、资源、环境和经济发展之间的辩证关系,实现这一战略,可以使人口、资源、环境、经济四者协调发展,获得最佳的社会、经济、生态效益。在实施可持续发展战略中,人口问题处于十分重要的地位。

任何一个国家在发展过程中,都毫不例外地要过人口关,既要解决人口数量对发展的制约,又要迎接人口对发展的挑战。西方发达国家的经济发展的质量是在人口数量得到有效控制,人口质量得到普遍提高的基础上实现的。人口对现阶段我国经济发展的制约,既有数量问题,也有质量问题,但现阶段数量制约是主要的。我国人口过快增长表现为四大显著特征,即人口基数大、净增长量大、持续增长惯性大、人口对生活资料的绝对消耗量大。人口基数庞大成了现阶段我国社会、经济发展的首要的、根本性的制约因素。

因此,控制人口应成为现阶段持续发展一系列举措中的关键举措。具体地应考虑以下几个方面:

(1)加强计划生育工作,把控制人口数量的工作纳入国家和各级政府的经济建设与社会发展的中长期计划和年度计划,并置于与经济发展同等重要的地位；

(2)提高人口素质。为此必须增加教育投资,改善教师和知识分子待遇,普及初等教育,努力提高高等教育的水平。只有提高了全民族的文化素质,社会、经济得到较大的发展,人民才能自觉地降低生育率。这是解决我国人口问题、促进社会持续发展的根本途径；

(3)向全体公民宣传全球环境与发展形势和中国持续发展的现状、存在的问题、前景和基本对策,增强忧患意识,树立人类与自然共生、环境与发展协调共进的整体观念,明确持续发展的目标,增强全社会对持续发展的信心和责任感。

所以实施可持续发展战略是非常有必要的，可持续发展实质上就是人类本身的可持续发展，它从人的需要出发，以人的全面发展为归宿，以人口素质的提高为核心，人口素质的高低决定着可持续发展的质量，影响着可持续发展的进程，是可持续发展能否实现的关键因素。第一，生态环境意识同文化素质密切相关；第二，科学文化素质是人口素质的核心，对控制人口增长，缓解人口压力，具有举足轻重的作用；第三，人口科学文化素质影响可持续生产体系的形成。传统的生产模式单一追求工农业总产值，速度型粗放发展，并以利用大量自然资源或牺牲生态环境为代价；第四，人口科学文化素质影响可持续消费模式的建立；由此可见，人口素质特别是劳动力素质的高低是决定可持续发展的重要因素。人口科学文化素质的提高，是实现控制人口增长、合理利用资源、保护生态环境的基础。

参考文献

[1] 张兴永，MATLAB软件与数学实验，徐州：中国矿业大学出版社，2007年

[2] 蔡索章，数学建模原理与方法，p110~115页，北京：海军出版社，2000年

[3] 关于五次人口普查数据的分析和第六次预测, https://www.360docs.net/doc/947742349.html,:86 2007.9.22

[4] Leslie人口模型，https://www.360docs.net/doc/947742349.html,，2007.9.22

[5] 综合案例人口增长模型,https://www.360docs.net/doc/947742349.html,, 2007.9.22

[6] 城市人口规模预测模型，https://www.360docs.net/doc/947742349.html,，2007.9.22

The China's population growth

Zhang Yuansi, Xu Yunlong, Shi Yuwen

College of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou (221008)

Email: whoareyouis@https://www.360docs.net/doc/947742349.html,

Abstract

China's population growth to the impact of various countries, the population growth forecast is very practical implications for solving the problem, we first thought of Malthus model. The model of the requirements more stringent conditions, which we also used the Logistic model to predict the population, the model of Malthus model of the defects were the appropriate remedy, in reality, there are many factors affecting the population, the population can not be unlimited Growth continue, Logistic Model N said that the introduction of constant natural resources and the environment can bear the biggest population and thus be a Bernoulli equation formula of the initial problems, from the practical effect of view, this formula better meet the actual situation Development, as time increases, population growth is not unlimited, but near a few, this is the largest number of bear. We also made an in-depth information on the study, for data analysis and forecasting, through the observation of a relatively good choice and then fitting model to predict. A fitting method and the use of the results of the initial value problem Bernoulli equation formula to compare the results.

Keywords: Malthus Model; Logistic Model; Bei Nuli Equation Initial-value Problem; Fil Hass Model; Least Squares Method Law