人教【数学】培优 易错 难题二次函数辅导专题训练附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x

轴正半轴，y 轴于点,A B .

（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ?内，若点11(,)4C y ，23(,)4

D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.

【答案】（1）2

(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当1

02

b <<

时，12y y >；②当12b =

时，12y y =；③当14

25b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】

（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)

又∵(0,5)B 在抛物线上，∴2

5(0)41b b =--++，解得2b =

∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A

代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-

（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，

∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为

5y x =-+

解方程组

41

5

y x

y x

=+

?

?

=-+

?

，得

4

5

21

5

x

y

?

=

??

?

?

=

??

∴点421

(,)

55

E，(0,1)

F

∵点M在AOB

?内，∴

4

5

b

<<

当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b

=）对称时，

13

44

b b

-=-，∴

1

2

b=

且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41

y x

=+上

综上：①当

1

2

b

<<时，

12

y y

>；②当

1

2

b=时，

12

y y

=；③当

14

25

b

<<时，12

y y

<.

【点睛】

本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可. 2．函数()

2

1

10,>0

2

y x mx x m

=-++≥的图象记为

1

C，函数

()

2

1

10,>0

2

y x mx x m

=---<的图象记为

2

C，其中m为常数，

1

C与

2

C合起来的图象记为C.

（Ⅰ）若1

C过点()

1,1时，求m的值；

（Ⅱ）若2

C的顶点在直线1

y=上，求m的值；

（Ⅲ）设C在42

x

-≤≤上最高点的纵坐标为

y，当

3

9

2

y

≤≤时，求m的取值范围.【答案】（Ⅰ）

1

2

m=；（Ⅱ）2

m=；（Ⅲ）

9

1

2

m

≤≤.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）将点C的坐标代入1

C的解析式即可求出m的值；

（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可

（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】

解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2

=

（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12??

-- ???

， 令2

m 112

-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=

（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12??+ ???，抛物线2C 的顶点2m Q m,12??

-- ???

， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点

∴2

03m y 1922

≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴

3

2

≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴

32≤4m-99≤，解得94m 2

<≤. 综上所述，9

1m 2

≤≤即为所求. 【点睛】

本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．

3．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ： （1）①直接写出a 的值；

②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；

（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①

求

PD

DD

'

的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；

（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．

【答案】（1）①12；②y ＝2

12

x ﹣2x ； （2）①1；

②L ＝2

(22)(02)

21(221)4(24)m m m π?+

； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】

（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝2

12

x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝

12，y ＝1

2

x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；

（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】

解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12

； ②y ＝

2

12

x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝

12

；

∴y ＝

12

x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），

易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，

222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '??????

--- ? ? ??????

?，

①221122,222PD m m m m DD m '??

=

--== ???

PD 2m 1DD 2m

'∴

== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，

当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，

则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '??????--- ? ?

???????， 2211(4)23422PF m m m m m ??

=---=-+- ???，

22

22322m 22,PG m 22m 2422

FH PH PF ==

=-+-=-+ ∵DD ′∥EG

EG PE DD PD '∴

=，即：EG ?PD ＝PE ?DD ′，得：EG ?（2m ）＝（2m ﹣12

m 2

）?2m

∴EG＝2m ﹣1

2

m2，EF＝4﹣m

∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG

22

12

2422

22

m m m m m

??

=-+-+-+

?

?

??

2

21

m(221)m4

2

+

=-+++

2

(22)m(0m2)

21

m(221)m4(2m4)

L

?+<

?

∴=?+

-+++<<

?

?

；

（3）如图3，

∵OADD′为菱形

∴AD＝AO＝DD′＝4，

∴PD＝2，

23

PA=

23

h

∴=±

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．

4．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；

（3）M的坐标为（-1，0）或（50）或（-3

2

，0）；（4）点P的坐标为：（-1，

2）或（-7

3

，-

10

9

）．

【解析】

【分析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

②如图5，图3中的M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则

△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．

【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：

20

2

k b

b

-+

?

?

?

＝

＝

，

解得：

1

2 k

b

?

?

?

＝

＝

，

∴直线AC的解析式为：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC

=

1

2

×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），

（3）存在，分三种情况：

①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：22

25

1=

+，

以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM35此时，M2（50），M3（50）；

③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=3

2

，

∵M4在x轴的负半轴上，

∴M4（-3

2

，0），

综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或

（1±5，0）或（-3

2

，0）；

（4）存在两种情况：

①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴P1（-1，2），

②如图5，由（3）知：当M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，

过P2作P2Q⊥BC，此时，△CP2Q∽△BCO，

易得直线CM 的解析式为：y=

4

3

x+2， 则2423

2

y x y x x ?=+???=--+?， 解得：P 2（-

73

，-10

9），

综上所述，点P 的坐标为：（-1，2）或（-73

，-10

9）．

【点睛】

本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

5．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） （1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不

规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=1

2

×（2+5）×9﹣

1

2

×2×4﹣

1

2

×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存

在，（

3 2 -

，

3

2

）或（

3

4

-，

9

4

），见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．

（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M．

【详解】

（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得

930

3

a b c

a b c

c

-+=

?

?

++=

?

?=

?

，

解得

1

2

3

a

b

c

=-

?

?

=-

?

?=

?

，

所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴直线AC解析式为y＝x+3，

设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），

∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．

∴S△PAC＝1PQ A

2

O?，

∴

()

21

3332

x x --?=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．

当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4）， 当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），

综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，

∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4）， 又∵A （﹣3，0），

∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2， ∵B （1，0），C （0，3）

∴tan ∠ABC ＝3，BC 10，sin ∠ABC 310

BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，

∴AE ＝AC?sin ∠ABC ＝310410?＝6105

，BE ＝10

5， ∴CE 310

， ∴tan ∠ACB ＝

2AE

CE

=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，

∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，

设OM 与AD 的交点M （x ，y ）

依题意得：3y x

y x =-??=+?

，

解得3232x y ?=-????=??

，

即M 点为（32-

，3

2

）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．

∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则

依题意得：33y x

y x =-??=+?

，

解得3494x y ?=-????=??

，

即M 点为（34-

，9

4

）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为

（32-

，32）或（34-，9

4）． 【点睛】

本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而

求出线段之间的关系．

7．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；

（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P

为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵

PQ=2，∴QF=1．

①当点P 在点M 上方时，即0＜t

＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=

12

PM×QF=21(3)2t t -+=213

22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t

＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=

12PM×QF=12

（23t t -）=213

22t t -．

综上所述，S=2213

(03)22

{13 (03)22

t t t t t t t 或-+<<-．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

8．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．

（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设OBD 的面积为S 1，OAC 的面积为S 2，若

122

3

S S =，求a 的值．

【答案】（1）(0,3)C a -；

(2) 抛物线的表达式为：252535

555

y x x =-++

；

(3) 22a =-或22a = 【解析】 【分析】

（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：(

)

2

(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；

（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB ∽，再根据相似三角形的性质得到

CP PD CD

DQ BQ BD

==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到

1223S S =，29m DM =，11299

m HN DM OC ===，而2

2

899m HN ON BN ??

=?== ???

，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的表达式为：(

)

2

(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点

(0,3)C a -；

（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ?∠+∠=，90PDC QDB ?∠+∠=， ∴QDB DCP ∠=∠，

设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，

90CPD BQD ?∠=∠=，

∴CPD DQB ∽， ∴

CP PD CD

DQ BQ BD

==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =，

将以上数值代入比例式并解得：

5

5 a=

±，

∵0

a<，故5

a=-，

故抛物线的表达式为：2

52535

y x x

=-++；

（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO BC

⊥，

过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，

设：3

OC m a

==-，

1

13

22

OBD

S S OB DM DM

?

==??=，

2

1

1

2

OAC

S S m

?

==??，而1

2

2

3

S

S

=，

则

2

9

m

DM=，

11

299

m

HN DM OC

===，

∴11

93

BN BO

==，则

18

3

33

ON=-=，

则DO BC

⊥，HN OB

⊥，

则BHN HON

∠=∠，则tan tan

BHN HON

∠=∠，

则

2

2

8

99

m

HN ON BN

??

=?== ?

??

，

解得：62

m=±（舍去负值），

|3|62

CO a

=-=，

解得：22

a=-

故：22

a=-C在x轴下方时，同理可得：22

a=22

a=-22

a=

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何方法得出：

2

2

8

99

m

HN ON BN

??

=?== ?

??

，是本题解题的关键．

9．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1

6

-x 2

+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为

172

m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16

-x 2

+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】 【详解】

试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．

试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,

2B C ??

???

在抛物线上 所以4

171932

6c b c =??

?=-?++??，解得24b c =??

=?，所以21246y x x =-++ 所以，当62b

x a

=-=时，10t y =≦ 答：2

1246

y x x =-

++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））

当x=2或x=10时，22

63

y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即2

12486

x x -

++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=- 1243x x -=

答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．

10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；

（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；

（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值． 【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN

为直角三角形时，t 的值为1或4．

【解析】 【分析】

（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；

（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】

（1）将()1,0A 、()3,0B 代入2

3y ax bx =++，得：

309330a b a b ++=??++=?，解得：1

4

a b =??

=-?，