4、()?ω+=x A y sin ，[]0,x ∈+∞，0,
0>>ωA 的性质
（1）对称轴：令()1sin ±=+?ωx ，即ππ
?ωk x +=
+2
，)(2
Z k k x ∈-+
=
∴ω
?
π
π
（2）对称中心：令()0sin =+?ωx ，∴π?ωk x =+，ω
?
π-=
∴k x ，
()Z k k ∈???
? ??-∴0,ω?π （3）最值：?
??
+-
=+-=+=+=π
π
?ωππ
?ωk x y k x y 22
,1,
22
,1min max
（4）单调区间：ω,
A 均大于0以后，将?ω+x 整体代入
5、当函数()()()0,00sin >>≥+=ω?ωA x x A y 表示一个振动量．．．时，A 为振幅．．
，ω
π
2=T 是周期．．，π
ω
21==T f 是频率．．，?ω+x 为相位．．，?为初相．．。
第二章 平面向量
2.1 平面向量的基本概念
2.1.1 平面向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
2.1.2 向量的几何表示
3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB u u u r
的大小，也就是向量AB u u u r 的长度（或称模），记作AB u u u r
或者a .
5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。
6、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母、、a b c 、…表示向量；手写时，
写成带箭头的小写字母a b c r r r
、、、…表示。
8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作a //b 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0//a .平行向量也叫做共线向量。
2.1.3 相等向量与共线向量
9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。 10、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则：如图，已知非零向量a 、b ，在平面内任
取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r
b ，则向量AC u u u r 叫做a 与b
的和，记作+a b ，即AB BC AC +=+=u u u r u u u r u u u r a b .
对于零向量与任一向量a ，仍然有+=+=00a a a 2、平行四边形法则：如图，以同一点O 为起点的两个已知向
量a 、b 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线OC u u u r 就
是a 与b 的和。记作AC +u u u r
a b =.
3、向量a 、b 、+a b 的关系 （1）a 、b 都为非零向量 （Ⅰ）当a 、b 不共线时，
-<+<+a b a b a b
（Ⅱ）当a 、b 共线时，①同向，则+=+a b a b ；②反向，则+=-a b a b （2）当a 、b 至少有一个为零向量时，+=+=-a b a b a b
综上所述：当a 、b 不共线时，一般地，我们有 +≤+≤+a b a b a b . 4、向量加法（1）交换律：+=+a b b a （2）结合律：()()++=++a b c a b c 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
5、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a . 若a 、b 是互为相反的向量，则=-a b ，=-b a ，+=0a b .
6、向量的减法：如图，已知向量a 于b ，在平面
内任取一点O ，作OA =u u u r a ，OB =u u u r
b ，则
BA =-u u u r
a b ，即-a b 表示的向量从向量b 的终点
指向向量a 的终点的向量。 7、向量a 、b 、-a b 的关系 （1）a 、b 都为非零向量，
（Ⅰ）当a 、b 不共线时：-<-<+a b a b a b
（Ⅱ）当a 、b 共线时，①同向，则-=-a b a b ；②方向，则-=+a b a b （2）当a 、b 少有一个为零向量时，-=-=+a b a b a b
综上所述：当a 、b 不共线时，一般地，我们有-≤-≤+a b a b a b . 2.2.3 向量乘法运算及其几何意义
8、向量的数乘：实数λ于向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
λλλλ=??→=
a
a a a
当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，λ=0a . 9、向量满足的运算律
设λ、μ为实数，则有 结合律：()()λμλμ=a a ； 第一分配律：()λμλμ+=+a a a ；第二分配律：()λλλ+=+a b a b .
特别的，我们有()()()λλλ-=-=-a a a ；()λλλ-=-a b a b .
λa
结果也是向量
10、数乘向量与原向量之间的位置关系 （1）当=0a 时，λa 与a 共线；
（2）当≠0a 时，λa 与a 同向，则0λ>；反向，则0λ<.
11、对于向量()≠0a a 、b ，如果有一个实数λ，使λ=b a ，那么由向量数乘的定义知，
a 与
b 共线。
12、共线向量定理
（1）判定定理：如果()λλ=∈R b a ，那么a //b
（2）性质定理：如果a //b ，≠0a ，那么存在唯一一个实数λ，使得λ=b a
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使
1122λλ=+a e e .我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、两向量的夹角
如图，非零向量a 、b 中，作OA =u u u r a ，OB =u u u r
b ，则
()o o 0108AOB θθ∠=≤≤叫做向量a 与b 的夹角。如果a 与b 的夹
角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .
2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示
3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x 、y 使得
x y =+a i j .
把(),x y =a 叫做向量的坐标表示。 2.3.3 平面向量的坐标运算 5、向量的加减法运算
若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则()1212,x x y y +=++a b ，()1212,x x y y -=--a b 两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 6、实数于向量的积
若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则()()1111,,x y x y λλλλ==a 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
7、若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
8、设()11,A x y ，()22,B x y ，其中≠0b ，当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、b 共线。即a //b （≠0b ）?12210x y x y -=.
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的含义
1、数量积：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作g a b ，即cos θ=g a b a b .其中，θ是a 与b 的夹角。 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.即0?=0a . 注意：（1）a 、b 运算结果是数量；（2）它在0,2π?
?
???
?
为正，,2ππ??
???
为负。 2、根据向量数量积的定义得出的结论 （1）0⊥?=g a b a b
（2）当a 与b 同向时，=g a b a b ；当a 与b 反向时，=-g a b a b . 特别的，
2
2==g a a a a 或==a （3）≤g a b a b （共线时取等号）
（4）求投影，由cos θ=g a b a b cos θ?=
g a b
a b
. 求夹角，由cos θ=g a b a b cos ?=g a b
a b
3、平面向量数量积的几何意义
数量积g a b 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos θb 的乘积。 4、向量的运算律
（1）交换律：=g g a b b a （2）结合律：()()()λλλ==g g g a b a b a b （3）分配律：()c +=+g g g a b c a b c
（4）()2
2
2
2+=++g a b a a b b （5）()()22
+-=-g a b a b a b
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
5、平面向量数量积的坐标表示
设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212x x y y =+g
a b .
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 6、向量的长度（模）的坐标表示
（1）向量的长度（模）：若(),x y =a ，则有2
2
2
x y =+a ，22x y =
+a .
（2）两点间的距离公式：设A 、B 两点坐标分别为(
)A A y x ,，(
)
B B y x ,，则
()()
22
A A
B B AB x x y y =
-+-
7、两向量垂直的充要条件的坐标表示
设()11,x y =a ，()22,x y =b ，则12120x x y y ⊥?+=a b 8、两向量夹角的坐标表示
设()11,x y =a ，()22,x y =b ，a ，b 的夹角为θ，则有
12122222
1
1
22
cos x y
x y θ=
=++g a b
a b
平面向量补充内容
补充1、平面内不同四点为,,,O A B C ，则
,,A B C 三点共线?()1OC OA OB λμλμ=++=u u u r u u u r u u u r
或()1OC OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r .
特别的，当21
=λ时，C 为AB 中点，()
12OC OA OB =
+u u u r u u u r u u u r . 补充2、（1）若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r
，则G 为△ABC 的重心。
（2）若()11,A x y ，()22,B x y ，()
33,y x C ，则G 坐标为
12312
333x x x x y y y y ++?=???++?=??
补充3、当12PP PP λ=u u u r u u u r
时，则()()1122,,x x y y x x y y λ--=-- ()()1212x x x x y y y y λλ-=-??∴?
-=-??
121211x x x y y y λλλλ+?
=??+∴?+?=?+?
总结：若P P P P =u u u u u r u u u u u r 起分分终
，则,11x x y y λλλλ++??
?++?
?起终起终.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （()C αβ-）
给出任意角α，β的正弦、余弦值与其夹角βα-的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式。简记作()C αβ-.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、两角和的余弦公式
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- （()C αβ+） 3、两角和（差）的正弦公式
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ （()S αβ+） ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-） 4、两角和（差）的正切公式 ()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- （()T αβ+）
()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ （()T αβ-）
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 5、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 22sin cos ααα= （2S α） 2
222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- （2C α）
2
2tan tan 21tan α
αα
=
- （2T α） 8、公式的逆运算即变形公式 （1）()2
2
21sin 2sin
cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±
（2）升幂公式：2
1cos 2cos
2
α
α+= 2
1cos 2sin
2
α
α-=
降幂公式：2
1cos 2cos
2
αα+=
2
1cos 2sin 2αα-=
补充1：辅助角公式：
sin cos a b αααα?+=
??
补充2：若在三角形“△”中，sin ,cos A a B b ==， 则sin sin a b A B A B >?.
3.2 简单的三角恒等变换
6、半倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2
α
= cos 2α=
sin 1cos tan
2
1cos sin α
αα
αα
-===+
7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式 2
1cos sin
2
2α
α-=
21cos cos 22αα+= 21cos tan 21cos ααα
-=+
若给出角α的范围（某一区间）时，可先求出
2的范围，然后再根据2
所在的范围来确定符号。如果没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
9、三角函数的积化和差公式
()()1
sin cos sin sin 2
αβαβαβ=
++-???? ()()1
cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--????
()()1
cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-???? ()()1
sin sin cos cos 2
αβαβαβ=-+--???? 10、三角函数的和差化积公式 sin sin 2sin
cos
22αβ
αβ
αβ+-+=?
sin sin 2cos sin
22
αβαβ
αβ+--=?
cos cos 2cos
cos
22αβ
αβ
αβ+-+
=?
cos cos 2sin sin
22
αβαβ
αβ+--=-?
11、三倍角的正弦、余弦、正切公式
3
sin 33sin 4sin ααα=- 3
cos34cos 3cos ααα=-
32
3tan tan tan 313tan αα
αα
-=- 12、其他一些恒等变换
2
2tan
2sin 1tan 2
θ
θθ
=
+ 22
1tan 2cos 1tan 2
θθθ
-=
+ 2
2tan
2tan 1tan 2
θ
θθ
=-
人教版新课标高中数学必修四 全册教案
按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
人教版高中数学必修4知识点总结
高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1任意角’负角:按顺时针方向旋转形成的角 '零角:不作任何旋转形成的角 2、角〉的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 :-为第几象限角. 第一象限角的集合为 Q k 360Q G 第三象限角的集合为 Q k 360，+180Qa ck 360 +270,k^ Z ) 第四象限角的集合为 G k 360’+270*a vk 360 +360,k 7) 终边在x 轴上的角的集合为=k 180,k Z ) 终边在y 轴上的角的集合为{叫口 =k 180 +90,k = Z ) 终边在坐标轴上的角的集合为 {a a = k 90, k € Z} 3、 与角a 终边相同的角的集合为 (P|P =k 360° +a ,k € Zl 4、 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 5、 半径为r 的圆的圆心角口所对弧的长为I ，则角a 的弧度数的绝对值是|叫=-. r 6、 弧度制与角度制的换算公式： -360 , 1 , 180 57.3 . 180 I 兀丿 ? (。为弧度制)，半径为r ,弧长为I ,周长为C ,面积为S ,则I = r 。, C = 2r + 1 , S 」lr =丄卜 2 2 ：-的终边上任意一点P 的坐标是x, y ,它与原点的距离是 r r = x 2 y 2 0，贝U sin = — , cos ： =- , tan ： = — x = 0 . r r x 9、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 7、若扇形的圆心角为 8、设〉是一个任意大小的角， y 」 L
高中数学必修4知识点总结归纳
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
高一数学必修1知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
新课标高中数学人教A版必修四教材解读
新课标高中数学人教A版必修四教材解读4 尤溪第一中学罗世卿 四、教学内容分析 第三章三角恒等变换 课程标准内容： 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆） 知识结构： 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时安排： 建议本节4课时 第1课时:两角差的余弦公式； 第2课时:两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 第3课时:二倍角的正弦、余弦和正切公式； 第4课时:公式的综合运用. 教学要求： 基本要求。①了解学习两角和与差三角函数公式的必要性；②理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路；③能利用两角差的余弦公式推出两角和与倍角的其它三角函数公式；④能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简。 发展要求。①理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法。②理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理正确的拆分。③能对公式进行简单的逆用。 说明。①控制好拆分角度的难度。②题型的变化不宜过多。 重点难点： 重点：通过探索和讨论交流，导出两角差与和的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系。 难点：两角差的余弦公式的探索和证明。 教学建议：
教学中力求从学生的已有经验和知识储备入手，采用实验探究、交流讨论等方式进行教学，可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，，的正弦、余弦值的等量关系。教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系,为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需要运用分类讨论思想,突破两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。 在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如，在旁白中有“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍……是的二倍,这里蕴含着换元的思想。 这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材。 本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。 3．2简单的三角恒等变换（3课时） 教学要求： 基本要求。①能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式。②能利用三角恒等变换研究三角函数的性质。③能把一些实际问题化为三角问题，通过三角变换解决。 发展要求。①了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用。②理解三角变换的基本特点和基本功能。③了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法。 说明。积化和差、和差化积、半角公式只作为练习，不要求记忆。 重点难点： 重点：掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点. 难点：公式的灵活应用. 教学建议： 三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
高一数学必修一知识点整理归纳
高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.360docs.net/doc/949949674.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.
新课标人教A版高中数学必修4单元测试月考一)
浙江省亭旁中学高一数学(下)月考试卷 答案做在答题卷上 满分150分 时间120分 一、选择题（共10小题，每小题5分） 1．下面四个命题正确的是 （ ） (A). 第一象限角必是锐角 (B).小于90的角是锐角 (C).若cos 0α<，则α是第二或第三象限角 (D).锐角必是第一象限角 2．如果1 cos()2 A π+=-，那么sin()2A π+的值是 （ ） （A ）．12- （B ）12 （C ）33 3．下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C M B AD C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 4、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 5．为了得到函数sin(2)3 y x π =-的图像，只需把函数sin(2)6y x π =+的图像（ ） （A ）向左平移 4π个长度单位 （B ）向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π 个长度单位 6． 函数sin(3)4 y x π =- 的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) （A ） ．,012π??- ??? （B ）． 7,012π?? - ??? （C ）． 7,012π?? ??? （D ）． 11,012π?? ??? 7． 已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是（ ） A 1 B 1- C 2 1 D 0 8.已知3sin 5m m θ-=+，524cos +-=m m θ，其中,2πθπ??∈???? ，则θtan 的值为（ ） （A ）.125- （B ）. 125 (C). 12 5 - 或43- (D). 与m 的值有关
高中数学必修4知识总结(完整版)
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
新课标人教A版高中数学必修四三角函数知识点总结
高中数学必修4三角函数知识点总结 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°， §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈）
1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π πππ（， ）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
北师大高中数学必修四知识点(非常详细)
北师大高中数学必修四知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2 1 21r lr S α=== 5、三角函数: （1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，u v 叫 做α的正切，记作tan α, 即tan α= u v . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ （2）三角函数值在各象限的符号： 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
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高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
高一数学必修一知识点整理
高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
人教版新课标高中数学必修4-全册教案
高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、
高中数学必修4知识点整理
高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一：角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角）,正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二:任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(ｘ,ｙ）,它与原点的距离是 22r x y =+（r>0），那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： １.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:１、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为： 、 、 、 、 。
3、图象的基本变换：相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是１弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0，角α的终边经过点P （-3a ，4a ），那么ｓin α+2cos α的值等于 ４、函数 y =的定义域是＿____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ） (A)向左平移个6π单位 (B ）向右平移个6π单位(C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,ｃｏｓα）在第三象限，则角α的终边在 ９、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A ．sin(2)3π=-y x Ｂ.sin(2)6π=-y x Ｃ．sin(2)6π=+y x D ．sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是（ ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(－4,3)，求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值
高中数学必修1知识点、考点、题型汇总
集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。
新人教版高中数学必修4知识点
新人教版高中数学必修4知识点总结经典
新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
