求不等式(组)中参数的取值范围
求不等式(组)中参数的取值范围
类型1 已知解集求参数的取值范围
若不等式组?????x ＞a ，x ＞b 的解集是x ＞a ，则a ≥b ；若不等式组?
????x ＜a ，x ＜b 的解集是x ＜a ，则a ≤b. 1．若不等式x ＋a ＞ax ＋1的解集为x ＞1，则a 的取值范围为( )
A ．a ＜1
B ．a ＞1
C ．a ＞0
D ．a ＜0
2．(2019·云南)若关于x 的不等式组?
????2（x －1）＞2，a －x ＜0的解集是x ＞a ，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ≥2
3．(2019·铜仁)如果不等式组?
????x ＜3a ＋2，x ＜a －4的解集是x ＜a －4， 那么a 的取值范围是 ．
类型2 已知有解、无解的情况求参数的取值范围
(1)若不等式组?????x ＜a ，x ＞b 或?????x ＜a ，x ≥b 有解，则a ＞b ；若不等式组?
????x ≤a ，x ≥b 有解，则a ≥b ； (2)若不等式组?????x ＜a ，x ＞b 或?????x ＜a ，x ≥b 无解，则a ≤b ；若不等式组?
????x ≤a ，x ≥b 无解，则a ＜b.
4．若关于x 的不等式组?
????5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤53 B ．m ＜53 C ．m ＞53 D ．m ≥53
5．(2019·聊城)若不等式组?????x ＋13＜x 2－1，x ＜4m
无解，则m 的取值范围为( )
A ．m ≤2
B ．m ＜2
C ．m ≥2
D ．m ＞2
6．(2019·南阳卧龙区期末)若不等式组?
????x ＋2a ≥5，1－2x>x －2有解，则a 的取值范围是 . 类型3 已知特殊解的情况求参数的取值范围
7．(2018·荆门)已知关于x 的不等式3x －m ＋1>0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是( )
A ．4≤m<7
B ．4 C ．4≤m ≤7 D ．4 8．(2019·南充)已知关于x 的不等式2x ＋a ≤1只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A ．－5＜a ＜－3 B ．－5≤a ＜－3 C ．－5＜a ≤－3 D ．－5≤a ≤－3 9．(2019·南阳南召县二模)已知关于x 的不等式组? ????x －a ≥0，3－2x ≥－1的整数解共有5个，则a 的取值范围是 . 类型4 已知方程(组)解的情况，求参数的取值范围 10．(2019·鄂州)若关于x ，y 的二元一次方程组? ????x －3y ＝4m ＋3，x ＋5y ＝5的解满足x ＋y ≤0，则m 的取值范围是 ． 11．已知关于x ，y 的方程组? ????x ＋y ＝2a ＋7，x －2y ＝4a －3的解为正数，则非负整数a 的值为 . 12．已知关于x ，y 的二元一次方程组? ????5x ＋3y ＝23，x ＋y ＝p 的解是正整数，则整数p 的值为 ． 精选 不等式的字母取值范围的确定方法 . 4.如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A.a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 5.不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是 6.已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是－5，求a 的取值范围． 7.已知不等式13 a x ->的每一个解都是x ＜3的解，求a 的取值范围。 8.如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 9.已知a 、b 为常数,若ax+b>0的解集为x<13 ,则bx －a<0的解集为（ ） A 、x>－3 B 、x<－3 C 、x>3 D 、x<3 10.已知关于x 的不等式x-2a ＞4的解是正数，则a 的范围是 ； 已知关于x 的不等式x-a ＜3的解是负数，则a 的范围是 . 11.如果关于x 的不等式(1)5a x a -<+和24x <的解集相同，则a 的值为______．若不等 式 132 x a x a --->的解集与x ＜6的解集相同，则a 的取值范围_____． 12.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x ＞1，则k 的范围是 。 13.已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解，那么正数a 的取值范围是 14.若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ≤7 B ．a ≤7 C ．a ＜1或a ≥7 D ．a=7 15.已知关于x 的不等式2x －a ＞3的解是正数，求a 的取值范围 16.若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是 。 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 精品文档 精品文档 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253-??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>?? ≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题 利用对称中心与对称轴间距离 例1：已知0ω>，函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点( ,0)12π，则ω有（ ） B 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236 f f f π ππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π） 利用特殊点的坐标 例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π上是单调函数，则ω和?的值分别为（ ）C A ．2,34π B ．2,3π C ．2,2π D ．10,32π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中对称，那么?的最小值为（ ）A A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（ ）C A ． 8π B ．4π C ．38π D ．34π 例6：若将函数tan()4y x π ω=+（0ω>）的图象向右平移6 π个单位长度后，与函数tan()6 y x π ω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）D A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 B ． 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253 -??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>??≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 18、已知a ，b 是实数，若不等式（2a ﹣b ）x+3a ﹣4b ＜0的解是 ，则不等式（a ﹣4b ）x+2a ﹣3b ＞0的解是 _________ ． 专题 三角形中的最值与取值范围问题 三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。 类型一：已知一角+对边 例题1：在?ABC 中，A=60°， （1）ABC ?面积的最大值； （2）b c +的取值范围； （3）2b c +的最大值； （4）BC 边上高的最大值。 类型二：已知一角+边的等量关系 例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）a 的取值范围； （3）周长的取值范围。 类型三：已知一角+面积 例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ?= （1）b c +的最小值； （2）a 的最小值。 （3）周长的最小值。 （4） 112b c +的最小值。 类型四：已知角的等量关系 例题4：在?ABC 中，A=2B ，则c b 的取值范围为 变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b 的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值 例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求 （1）ABC S ?的最大值； （2）角C 的取值范围。 类型六：已知一边+另两边的等量关系 例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+ =，求ABC S ?的最大值。 变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ?的最大值。 类型七：三边的等量关系 例题7：在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=，求cos C 的最小值。 求参数取值范围一般方法 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0, 2 1］都成立，则a 的最小值是＿＿ 2.设124()lg ,3 x x a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。 3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 例2：若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围． 变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值． 1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围． 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间． 一、基础达标 1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2 n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大 值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1. 当且仅当a i ＝x i ＝n n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A 2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2 D.1n 解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )? ????1x 1＋1 x 2＋…＋1x n ≥? ? ???x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2 ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C 3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( ) A.－25 B.－5 C.5 D.25 解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3 ＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2， ∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5， 如何确定函数自变量的取值范围 湖北省黄石市下陆中学宋毓彬 为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题． 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型： 一、函数关系式中自变量的取值范围 在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0． 例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？ ⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0 解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数； ⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－； ⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥； ⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0 x的取值范围为：x≥－2且x≠0 ⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3． 二、实际问题中自变量的取值范围． 在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素： ⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数． ⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围． 例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表： 设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680 ∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680 ⑵自变量x需满足以下两个条件： 240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4 费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5 ∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5 三、几何图形中函数自变量的取值范围 含参不等式与参变量的取值范围 一、选择题 1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是 A. a >-1 B. a=1 C. a ≥1 D. a ≤1 2. 设)(1 x f -是函数1)((2 1)(>-= -a a a x f x x 的反函数，则使1)(1 >-x f 成立的x 的取值范围是 ) ,.[) ,21.() 21,.() ,21.(222+∞---∞+∞-a D a a a C a a B a a A 3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立 2 1 23.2 3 21.20.11.<<- <<- <<<<-a D a C a B a A 的取值范围是 恒成立，则时，不等式（当的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是 都有意义，则对已知函数的取值范围是 值，则）上有最大 ，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是 数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是 有解，则实数若不等式可以是的取值范围的充分条件，则是若集合a x x x D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x a x b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a a x x log )1)2,1(.10)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)2 1 ,0()log (log )(.81 0.1.12 1 .1.11)()(lim 0,0)1,0(] 0,1()(.7] 1,.(),1.[)2,.(]2,1.[)()0)(1() 0(3)(.62 .2 .1 .1 .|3||5|.521.13.20.02."""1"},|||{},01 1 |{.422220<-∈-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>??? ??∈---∈+=-∞+∞-∞=? ??>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→- φ 不等式（组）中参数范围的求法 一. 利用不等式的性质求解 例1 已知关于x 的不等式5)1(>-x a 的解集为a x -<15，则a 的取值范围为（ ） （A ）0>a （B ） 1>a （C ） 0a 故选（B ） 例2 如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x< 107，求关于x 的不等式ax>b 的解集。 解析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107 ，可知： 2a －b<0，且 51027b a a b -=-，得b=35 a 。 结合2a －b<0，b=35 a ，可知b<0，a<0。 则ax> b 的解集为x<35。 评注：这道题的内涵极为丰富，它牵涉到不等式的基本性质，不等式的解的意义，不等式的求解，它将式的的恒等变形、不等式、方程融合在一起，以不等式为背景，形成了一道精巧的小综合题。 例3若满足不等式513)2(3≤---≤a x a 的x 必满足53≤≤x ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）2>a （B ） 2a 时， 2 63243-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52 632433≤-+≤≤-+≤a a x a a 解之，得8≥a 当2=a 时，不等式无解 当2 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥ 不等式中字母的取值范围 习题 一，根据不等式的解集确定字母取值范围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1．的解集为x<1，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 练习一：根据性质： 1、已知a ，b 是常数，不等式ax+b ＞0, 当 时，不等式的解集是x ＞a b - ； 当 时，不等式的解集是x ＜a b -。 2、若ax ＜a-1的解集是x ＜a a 1-，则a 3、若（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 4、若（m-1）x ＞m-1的解集是x ＜1，则m 5、若关于x 的不等式x-m ≥-1的解集如图所示，则m 。 练习二：综合拓展： 1、已知三角形的三边长分别为6，x-2，4，则x 的取值范围是 分析： 2、若()04232 =--+-a x y y ，且x 为负数，则a 分析： 练：若()0332=++++m y x x ，且y 为负数，则m 3、如果x x +=+11，2323--=+x x ，则x 的取值范围是 分析： 练：如果1212-=-x x ，x x 3553-=-，则x 的取值范围是 练习三：与方程（组）的解有关： 1、已知y=2x-3，要是y ≥x ，求x 的取值范围 2、若关于x 的方程3x+3k=2的解是正数，则k 练：①当k 取何值时，关于x 的方程1)(3k 2-2 1+-=k x x 的解是负数 ②关于x 的方程3x+2n=2的解是非负数，则n ③当k 为何值时，关于x 的方程3x=5-4k 的解小于-3 二，根据不等式组的解集确定字母取值范围 例2、不等式组???>≤ 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 课 题：§3.2一般形式的柯西不等式 教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并 应用其解决一些不等式的问题.. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习引入： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。。。。。。 二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ?≤ ，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？ 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，222 12n A a a a =++ ，22212n C b b b =+++ ，则有 20B AC -≥，可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（）（222 12()n b b b +++???+ ，则 22 21122 ()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++? 22212()n b b b +++ ≤0 即有要证明的结论成立. ④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）有唯一零点时，判别式0?=，这时不等式取等号； 00i i a x b ?=?+=0i b ?=或i i a kb =（1,2,,i n = ） 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则： 21 1 2 1 2)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，当且仅当0=i b （=i 1，2，…，n ）或存在 一个数k ，使得i i a kb =（1,2,,i n = ）时等号成立。 ⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式： (,,1,2,,)i i x y R i n ∈= 具体证法为：展开2 ，然后由柯西不等式推出展开式中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。 ⑤ 变式：222212121()n n a a a a a a n ++≥++???+ . （讨论如何证明） 2. 柯西不等式的应用： 更多精品文档 初一数学不等式习题 一、填空:（每小题2分，共32分） 1.若a<0,下列式子不成立的是 ( ) A.-a+2<3-a B.a+2 浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路 浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路 许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法： 一、分离参数法 所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。当参数与变量能分离且函数的最值易求出。利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。 例1 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数求实数a的值范围。 解：抛物线f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴直线x=1-a，因此它的单调减区间为(-∞,1-a]，依题设，(-∞,4](-∞,1-a]∴1-a≥4即a≤-3。 二、主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 例2 若对于任意a∈（-1，1]，函数f(x)=x2（a-4）x+4-2a的值恒大于0，求x的取值范围。 分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。 解：设g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。所以g(1)＞0,g(-1)≥0 解得：x＜1或x=2 或 x≥3 例3 对于(0,3)上的一切实数x,不等式(x-2)m＜2x-1恒成立，求实数m的取值范围。 分析：一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。 解：若设f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m)，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 f(0)≤0 f(3)≤0 解得≤m≤5 三、构造函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。 例4 若对一切|p|≤2 ，不等式x2+px+1＞2x+p恒成立，求实数x的取值范围。 解：原不等式变形为p(x-1)+x2-2x+1＞0，现在考虑p的一次函数：f（p）=p(x -1)+x2-2x+1(|p|≤2) ∴f（p）＞0在 p∈[-2,2]上恒成立 不等式字母范围的确定练习一 1．写出不等式组的解集 （1）???≥>22x x （2）???<<22x x （3）???≥≤22x x （4）???≤>2 2x x 变式1：若a<2, 请确定下列不等式组的解集 （1）???≥>a x x 2 （2）???<a x x 2 变式2：（1）若不等式组???≥>a x x 2的解集是2>x ，则a 的取值范围为 (2)若不等式组???≥≤a x x 2的解集 时2≤≤x a ，则a 的取值范围为 （3）若不等式组?? ?≥≤a x x 2无解，则a 的取值范围为 2.若不等式组???≤>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式1：若不等式组? ??<>a x x 0只含有三个整数1、2和3，则a 的取值范围为 ； 变式2：关于x 的不等式组010x a x ->?? ->?，只有3个整数解，则a 的取值范围是 ； 3.若不等式组12x x m <≤??>?有解，则m 的取值范围是（ ）．A ．m<2 B ．m≥2 C ．m<1 D ．1≤m<2 4. 不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是 5、已知a b <<0，那么下列不等式组中有解的是 （ ）A ．???<>b x a x B ．???-<->b x a x C ．???-<>b x a x D ．???>-a x x 1无解，则a 的取值范围是（ ）A .a ≤1 B .a ≥1 C . a <1 D .a ＞1 7、已知关于x 的不等式组? ??--0x 230a x ＞＞的整数解共有5个，求a 的取值范围。 8. 已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解是－5，求a 的取值范围． 9. 已知不等式13 a x ->的每一个解都是x ＜3的解，求a 的取值范围。最终版不等式的字母取值范围的确定方法.doc
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