关于爱因斯坦场方程的四种场力球对称解的探讨

关于爱因斯坦场方程的四种场力球对称解的探讨

肖军1 吴显鼎2

1黄河科技学院，河南郑州(450063)

2郑州大学信息工程学院，河南郑州(450052)

E-mail ：xj5107@https://www.360docs.net/doc/9511971087.html, wuxianding@https://www.360docs.net/doc/9511971087.html,

摘 要：本文根据爱因斯坦场方程及不变距离，论证了广义相对论中的固有距离实际上就是与两物体非平方反比作用力等效的平方反比作用距离，该距离与两物体的实际作用距离的关系可用度规分量来描述。由于不同场力对应有不同的度规分量，因此必须抛弃时空弯曲假设，应用爱因斯坦场方程才不仅能够得到万有引力公式，而且还可得到电力、核力及弱力的作用公式，这一新观点为建立四种场力的统一理论又开辟一条新途径。

关键词：爱因斯坦场方程 四种场力的统一理论 等效作用距离 作用力

中图分类号：O412.2

1、 引言

爱因斯坦在完成狭义相对论和广义相对论之后，为解释物质的基元结构，曾试图建立一个包括引力场和电磁场的统一场理论，他为此努力了后半生还是未能得到有价值的成果。不过他的工作为包括建立四种作用力的超统一理论指明了方向。由广义相对论理论可知，对于质量分别为M 、m 两物体，若它们分别位于空间A （,

,a a a ρθ? ）、B （,,b b b ρθ? ）两点，见图1所示，其间的引力作用可以用度规场来描述，对于球对称外引力场度规经过充分化简后,可得到不变距离

()()()()2222220011sin sin b a b a b a b a b a b a s g c T T g ρρρρθθθθ????=-+-+-+-??

(1） 并由爱因斯坦场方程

[1]

0R μν= （2）

可证明，度规分量00g 和11g 满足[2]

00111g g =- （3）

席瓦西尔在牛顿引力近似下由（1）式曾得到

00221GM g c r =-+

（4） 图1 不变距离s 的几何关系 实际上，这个结果是场方程的近似解，它仅有在

2r GM >>弱场条件下成立,在0r →时因发散不能成立。

度规分量00g 的一般形式可写成 ()002mg ma r bV =- （5）

其中()a r 是任意函数；b 是待定常量；V 是场的作用势能；m 是被作用物体的质量。本文在（2）式场方程的基础上，借助于（5）式，不仅能够导出不存在原点发散的万有引力作用公式，还能导出电场力、弱力及核力作用公式。

2、场方程的的四种场力解的导出

2.1、万有引力

由于图1中A 、B 两物体间的作用距离r 为

()()()2222sin sin b a b a b a b a b a r ρρρρθθθθ????=-+-+-??

（6） 所以，（1）式又可写成形式为

()()()()2

22

222200111b a b a b a s g c T T g r l T T ρρ?=-+--+=--? （7） 式中

()()2

22111b a l g r ρρ=--+ （8）

在广义相对论中把l 称为固有距离，但没有给出其物理意义。其实，所谓的固有距离l 实际上就是与两物体间引力等效的平方反比作用距离。当我们把球坐标系的原点位置选在A 点位置上时，因 b a r ρρ-≡ （9）

由（8）式知，引力的平方反比等效作用距离l 与真实作用距离r 有关系式[3]

2211l g r = （10）

从（10）式易看出，如果111g ≠，两物体间的真实作用距离r 是不等于两物体间的平方反比等效作用距离l 。因此，对于相距为r 的两物体间的非平方反比关系的引力作用公式应与作用距离为l 的平方反比关系的作用公式等价，即有

00000222

11()GMm GMm GMm F V r r r g r l g r r =-?=-=-= （11） 其中()V r 是引力作用势能；0/r r r =

。

若令 /u R r = （12）

由（11）式易得到标量方程

00V GMm g u R

?=? （13） 其中度规分量00g 只有满足

00e u R g V GMm

-=-- （14） 由（13）式才能够得到存在有与作用距离r 成反比解的方程是

()e u GMm V u R

?=-? （15） 由此方程易得到万有引力的作用势能是

/e e u R r GMm GMm V u R r

--=-

=- （16） 相应的万有引力作用公式是 /02

(1)e R r R GMm F V r r r -=-?=-- （17）

很明显，e u V ?=，其中?就是牛顿引力势，并满足方程

422228u G R u

??πρ??==? 牛顿的万有引力公式是（17）式在取0R =时的结果，而席瓦西尔导出的万有引力公式则是r R >>时的近似结果。

2.2、电场力、弱力及核力

类似上述方法也可以导出电场力、弱力及核力作用公式。对于电场力，其作用势能V 是满足

0002

kQq V g r r ?= （18） 式中01/4k πε=。依据/u R r =假设，（18）式也可写成形式为

00V kQq g u R

?=-? （19） 若令电场力的度规分量00g 满足

00e u R g V kQq

-=-+

（20） 就可得到 e u kQq V u R

???=??? （21） 由此方程可解得电场力的作用势是

/e e u R r kQq kQq V u R r

--== （22） 相应的电场作用力公式是

()/021/e R r

kQq F V R r r r

-=-?=- （23） 根据影响粒子衰变的弱力作用强度，在弱力最大作用距离m r 空间内，即当m r r <时，空间介电常数0ε可能是1，如果是这样，由（21）式可知这个弱力作用势能V 是满足

11e e 44m m u u u m u m Qq Qq V V du C R r r ππ??-=

=-+ ???? （24） 如果令积分常量e m u m C V =-，即可得到弱力作用势能

/(1)e (1)e 44u R r m m

Qq r Qq r V r r r r ππ--=-=- （25） 相应的弱力作用公式是

()/02

1//e 4R r m Qq F V R r R r r r π-=-?=-+ （26） 同理，对于核力，若令其作用势能V 满足

0002c V g r r

?=- （27）

也可得到

00V c g u R

?=? （28） 如果再令式中核力的度规分量00g 满足

1/0021e 1u u R g V c u --??=--

- ???

（29） 就能够得到 1/e u u c V u R

+???=-??? （30） 由此方程可解得核力的作用势能

1///e e u u R r r R c c V u R r

----=-=- （31） 相应的核力公式是

()//021//e R r r R

c F V R r r R r r

--=-?=--+ （32） 3、讨论

不难看出，前面导出的引力、电力、弱力及核力在0r →时若不出现无穷大奇点。R 就不能为零。有一种结果能够满足R 不为零的要求，就是假设R 与两作用物体的质量M 、m 有关系式

()m M c G c R ++=2

μ （33） 式中M 和m 分别是两作用物体的质量； =/2h π;h 是普朗克(Planck)常数; c 是光速; G 是牛顿万有引力常数；)/(m M Mm +=μ是折合质量。在下述两种情形，（33）式还可简化为

??

???<<>>+≈。G c M c ；G c M c m M G R 时当时当///,/)(2 μ （34） 把（16）式代入（14）式可得到用于描述物质引力场的度规分量

/00(1/)e R r g R r -=-- （35）

34）式知，2()/R G M m c ≈+。于是，对于r R >>情形，（35）式可进一步简化为

20012/12()/g R r G M m c r ≈-+=-++ （36）

这正是席瓦西尔在牛顿引力近似下得到的结果。同理，也可得到用于描述电场的度规分量是

/00[1/]e cr g cr μμ-≈-- （37）

用于描述弱力场的度规分量是

/00[1(1)]e 4R r m

R r g kr r π-=--- （38） 用于描述核力场的度规分量是

()//001//e R r r R g R r r R --=--+ （39）

很明显，用于描述四种场力的度规分量00g 是不同的，因而作用规律也是各不相同， 其中万有引力和电场力是长程力，它们的强度相差1037倍，作用力随作用距离r 变化关系曲线如图2所示。与牛顿引力定律和库仑定律不同的是存在有一个零作用力的有限不为零的作用距离0r ，并有0r R =，在作用距离r 由大于

R 到小于R 时，作用力变号，也就是说原来

为引力的变成了斥力，原来为斥力的变成了引

力，这是牛顿引力定律和库仑定律所没有的特

性。事实上，这一特性早已被实验所证实。我

们知道，电子和质子之间是吸引力作用，可是

在对氢、重氢和离化氦的精细结构测量所显 图2 引力及电力的F ～r 关系曲线 示的能级位移可知，对于靠得较近的电子与质

子之间存在有弱的斥力作用。另外，在晶格中

运动的两个靠得较近的电子间存在有吸引作

用，在这种吸引力的作用下，两个电子能够形

成电子“库珀对”，这些实验结果都能够支持

前面导出的电场力公式成立。弱力和核力是

短程力，这两种力与长程力不同，它们会随 图3 核力的F ～r 关系曲线 作用距离的增大很快趋于零，图3是由（32）

式绘制的核力随作用距离r 变化关系曲线。很明显，核力也存在有一个零作用力有限不为零的作用距离0r ，并有0r =0.618R ，在核力作用距离r 由大于0.618R 到小于0.618R 时，作用力变号。核力的这种转换在核物理实验中已被证实[4]。

4、结论

综上可知，四种场力的实际作用力()F V r =-? 并非是与作用距离r 间严格满足平方

反比关系，它可以用一个严格满足平方反比关系的等效作用距离l 来描述。若用数学表述，就有

02()K V r r l

?= （40） l 和r 间的关系可用黎曼几何中的度规张量联系，由爱因斯坦场方程可证明l 和r 间有（10）式关系。度规张量的分量001g ≠-仅仅是说明引力不严格遵循平方反比定律，其偏离程度是用黎曼几何中的度规张量00g 来体现。在黎曼空间中00g 一般不是常量，因而可用它来描述非平方反比关系的场力，只有当001g =-时，场力才是严格与作用距离r 平方成反比。

参考文献

[1] J.韦伯，广义相对论与引力波，科学出版社，1979，p52。

[2] 俞允强，广义相对论引论，北京大学出版社，1985，p88。

[3] 肖军.统一场及动体电磁理论.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社,2008，p25。

[4] 杨纯斌、蔡勖，夸克与轻子物理——原理导引，华中师范大学出版社，2000，p12。Discussion on spherically symmetric solution of the four field force of Einstein field equations

Xiao Jun1 Wu Xianding2

1 Huanghe S&T College，Zhengzhou, PRC, (450063)

2 Zhengzhou University information engineering，Zhengzhou，PRC, (450052)

E-mail：xj5107@https://www.360docs.net/doc/9511971087.html, wuxianding@https://www.360docs.net/doc/9511971087.html,

Abstract

Based on Einstein′s equation and the invariant distance theory, the natural distance in general relativity actually was the equivalent inverse square operation distance which came from the un-inverse square interaction force in two objects was have been demonstrated in the article. The relationship from the equivalent inverse square operation distance and the actual distance can be depicted by the metric component. Because different field force is correspondence with different metric component, the Bending of space-time suppose should be discarded. Based on this prerequisite, the improved universal gravitation, also the formula of Electric field force, nuclear force and weak force can be gained from Einstein′s field equation. This new viewpoint show us a new way of the unified theory of that four field forces.

Keywords: Einstein field equations unified field theory the equivalent role distance role force