天津市河西区2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)

河西区2020—2021学年度第一学期高二年级期末质量调查

数学试卷

一?选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数列1

，，1

2

，14，…的一个通项公式为（ ） A. 1

12n -??

-

???

B. 2n

?- ??

C. (

)1

1n n --??

D. (

)1

11n n -+-??

【答案】D 【解析】 【分析】

可知该数列是一个以1

为首项，2

-

为公比的等比数列，即可求出通项公式. 【详解】根据数列可知，该数列是一个以1

为首项，为公比的等比数列，

所以该数列的通项公式为()(

)(

)1

1

1

21+11111222n n n n n ----??

?

?

??-=-?-?=-? ? ? ?

?

??

????

.

故选：D.

2. 设函数2

()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）

A. 2.1

B. 0.21

C. 1.21

D. 0.121

【答案】A 【解析】 【分析】

根据平均变化率的公式求解即可.

【详解】 1.110.1x ?=-=，2

2

(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ?=-=---= 所以函数2

()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为

(1.1)(1)0.21

2.10.1

y f f x x ?-===??.

故选：A

3. 已知数列{}n a 满足12a =，1

12n n a a -=-，则5a =（ ）

A.

65

B.

76

C.

54

D.

56

【答案】A 【解析】 【分析】

根据递推关系依次求出2345,,,a a a a 即可. 【详解】

12a =，1

12n n a a -=-

，

∴211322

a a =-

=，321423a a =-=，431524a a =-=，541625a a =-=.

故选：A.

4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2

C. 4

D. 8

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，

61165

6615482

S a d a d ?=+

=+=， 联立11

2724

61548a d a d +=??

+=?，解得4d =.

故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题．

5. 已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是（ ）

A. 在(),0-∞上为减函数

B. 在0x =处取得最大值

C. 在()4,+∞上为减函数

D. 在2x =处取得最小值 【答案】C 【解析】

分析：根据函数f （x ）的

导函数f′（x ）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可． 详解：根据函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象可知： f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0

当x ＜0时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x2时，f′（x ）＜0，f （x ）递减； 当2＜x ＜4时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞4时，f′（x ）＜0，f （x ）递减． 可知C 正确，A 错误；

由极值的定义可知，f （x ）在x=0处函数f （x ）取到极大值，x=2处函数f （x ）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B 、D 错误． 故选C ．

点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x ）＞0得增区间，由f′（x ）＜0得减区间，由f′（x ）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x ）的符号是否发生改变.

6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（ ） A. 1 B. 2

C. 3

D. 6

【答案】C 【解析】 【分析】

可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，根据7381S =即可求出. 【详解】设顶层的灯数是1a ，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ， 由题可得()717

1238112

a S -==-，解得13a =，

故塔的顶层的灯数是3. 故选：C. 7. 函数()21

2cos x y e

x x -+=-+的导数为（ ）

A. ()()

21

222sin (21)cos x y e x x x x x -+?=-+--'?

B. ()()21

222cos (21)sin x y e x x x x x -+??'=--+--?? C. ()()21

222sin (21)cos x y e x x x x x -+??'=--+--??

D. ()()21

222cos (21)sin x y e

x x x x x -+??'=-+--??

【答案】B 【解析】 【分析】

由导数运算法则可求出. 【详解】

()212cos x y e x x -+=-+，

()()()212212

cos +cos x x e x x e x y x -+-+''??-+-+'?∴?

= ()()()2122122cos sin 2+1x x e x x e x x x -+-+=--+--+?-

()()()2122

cos +2+1si 2n x e x x x x x -+??=--+--+??

()()21222cos (21)sin x e x x x x x -+??=--+--??.

故选：B.

8. 已知等比数列的首项为-1，前n 项和为n S ，若10531

32

S S =，则公比q =（ ） A. 2 B. -2

C.

12

D. 12

-

【答案】D 【解析】

【分析】

根据等比数列前n 项和公式，可求得105,S S 表达式，结合题干条件，即可求得q 的值.

【详解】当公比1q =时，1052S S =，不满足题意，当1q ≠时，101011q S q -=-，5511q S q

-=-， 所以10510551

31111321q S q q q S q

--==+=--，解得12q =-， 故选：D

9. 已知函数()ln ,11

1,14

x x f x x x >??

=?+≤??，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）． A. 10,

e ?

? ???

B. 11,4e ??

????

C. 10,4

?? ??

?

D. 1,e 4?? ???

【答案】B 【解析】 【分析】

作出函数()f x 与()g x 的图象,讨论交点个数可求出a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象,见下图. 若()g x 与()ln 1y x x =>相切,求导得1

y x

'=

,设切点为()00,x y ,则00ln y x =,切线斜率为01x ,即切线方

程为:()0001ln y x x x x -=

-,该切线过原点,则()0001

0ln 0x x x -=-,解得0e x =,此时1e

a =,显然()1

e

g x x =与()f x 的图象只有一个交点,即方程()()g x f x =只有一个实根;

若

11

4e

a ≤<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时无交点,在1x >时有2个交点,符合题意; 若1

04

a <<

,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时有2个交点,不符合题意; 若0a ≤,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时无交点,不符合题意;

若

1 e >

a,,直线()

g x与()

f x的图象至多有一个交点,不符合题意.

所以只有

11

4e

a

≤<符合题意.

故选:B.

【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.

二?填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.

10. 在等差数列{}n a中，n S为其前n项的和，若412

S=，

8

40

S=，则

16

S=________.

【答案】144

【解析】

【分析】

利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d，

则

41

81

43

4+12

2

87

8+40

2

S a d

S a d

?

?

==

??

?

?

?==

??

，解得

1

3

,1

2

a d

==，

16

31615

16+1144

22

S

?

∴=??=.

故答案为：144.

11. 函数

ln

()

x

f x

x

=，其导函数为函数()

'

f x，则()

f e'=________.

【答案】0

【解析】

【分析】

根据()f x 解析式，可求得()'f x 解析式，代入数据，即可得答案.

【详解】因为ln ()(0)x f x x x

=

≠，所以222

1

ln (ln )ln 1ln ()x x

x x x x x x f x x x x ?-''--'===， 所以2

1ln ()0e

f e e -'==， 故答案

：0

12. 已知数列{}n a 的

通项公式2

1

n a n n

=

+，n S 为其前n 项的和，则99S =________. 【答案】

99100

【解析】 【分析】

根据数列{}n a 的通项公式2111

1

n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 的通项公式2111

1

n a n n n n ==-++， 所以991111

11991122399100100100S ??????=-+-++-=-= ? ? ?

????

??

， 故答案

：

99100

13. 函数3

()3f x x x =-的单调递增区间是________. 【答案】()1,1- 【解析】 【分析】

求出函数的导数，令()0f x '>即可求出. 【详解】

3()3f x x x =-，()2

33f x x '∴=-，

令()0f x '>，即2330x ->，解得11x -<<，

()f x ∴的单调递增区间是()1,1-.

故答案为：()1,1-. 14. 已知数列{}n a 通项公式为3

217

n n a n -=

-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.

【答案】8 【解析】

【分析】

求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令3

0217n n a n -=

≥-，解得3n ≤或172

n ≥，

∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，

当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8.

【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.

15. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积

V 取得最大值时，x 的值为_________.

【答案】1 【解析】 【分析】

由题可得该方盒的容积()3

2

424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.

【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -， 则该方盒的容积()()2

3262424+36V x x x x x x =-?=-，03x <<，

()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，

则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增， 当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，

∴当1x =时，()()max 116V x V ==，

故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1. 故答案为：1.

三?解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 已知函数3

1()443

f x x x =

-+.

（1）求()f x 的极值； （2）求()f x 在[]0,3上的最值. 【答案】（1）极大值为283，极小值为43-；（2）最大值为4，最小值为4

3

-. 【解析】 【分析】

（1）求导，解对应的不等式，可得函数的单调性，从而可知函数的极值. （2）根据（1）的结果，再计算端点值，比较大小，即可得出最值. 【详解】（1）

()31

443

f x x x =-+，()()()2422f x x x x =-=+-'

令()0f x '=，解得2x =-或2x =，

当x 变化时，()'

f x ，()f x 的变化情况如下表：

故当2x =-时，()f x 取得极大值，()28

23f -=；当2x =时，()f x 取得极小值，()8428433

f =-+=-； （2）由（1）可知()f x 的极大值为283，极小值为43

-， 又()04f =，()391241f =-+=，

因为4

143-

<<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为4，最小值为43

-. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数()f x 在[],a b 上连续，在

(),a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数()y f x =在(),a b 内的极值；

②将函数()y f x =)的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

17. 已知函数()()ln 2x

f x e x =-+.

（1）求()f x 在()()

0,0f 处的切线方程； （2）求证：()0f x >. 【答案】（1）1

1ln 22

y x =+-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）求出()f x 的导函数，由()0k f '=，可得答案.

（2）求出()f x 的导函数，讨论出函数()f x 的单调性，得出其最小值，可证明. 【详解】（1）解：1

()2

x

f x e x '=-+， 当0x =时，()102

k f '==， 又()01ln 2f =-，

所以切线方程为()11ln 22y x --=

，即1

1ln 22

y x =+-. （2）解：1

()2

x f x e x '=-

+在区间()2,-+∞上单调递增， 又()10f '-<，()00f '>，

故()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-， 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>， 从而当0x x =时，()f x 取得最小值. 由()00f x '=，得0

01

2

x e

x =

+，()00ln 2x x +=-， 故()()2

000011

()022

x f x f x x x x +≥=+=>++. 【点睛】本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由

1

()2

x f x e x '=-

+在区间()2,-+∞上单调递增，得出()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，从而得出()f x 的单调区，即()()2

000011

()22

x f x f x x x x +≥=+=++，属于中档题. 18. 对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 是前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，

132,n n b b n N *+=+∈.

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令2()

(1)

n n n a n c n b +=

+，求数列{}n c 的前n 项和n T .

【答案】（1）2

n a n =，1231n n b -=?-;（2）1

1525

443n n n T -+=

-?． 【解析】

试题分析: （1）先根据和项与通项关系，将条件转化为项之间递推关系：121n n a a n +=++，再根据叠加法求数列{}n a 的通项公式；而求{}n b 通项公式，需变形构造一个等比数列{1}n b +，这是由于132n n b b +=+可变形得()1131n n b b ++=+，然后通过求等比数列通项公式，转化求{}n b 通项公式，（2）由于1

1

3n n n c -+=

，所以利用错位相减法求和，求和时注意错位相减，减式中项的符号变化，合并时项数的确定，最后结果要除以1.q -

试题解析:（1））因为()11n n n S n S a n +-+=++，所以121n n a a n +=++， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+

+-+

()()212331n n =-+-+

++

()2112

n n -+=

2n =，

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =，

由132n n b b +=+，可得()1131n n b b ++=+，

所以数列{1}n b +是首项为112b +=，公比为3的等比数列，所以1

123n n b -+=?， 所以数列{}n b 的通项公式为1

231n n b -=?-．

（2）由（1）可得(

)21

1

21233n n n n n n c n --++==?，

所以012212341

33333n n n n n T --+=

+++++ ①， 0013223341

333333

n n n n n T --?+=+++++ ②，

②-①得122111111111115253261613333322313

n n n n n n n n n T ------

+++??=++++?+-=+-=- ????-， 所以11525443

n n n T -+=-?．