简单几何体的体积.
简单几何体的表面积与体积
第2节简单几何体的表面积与体积 最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 知识梳理 1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 3.简单几何体的表面积与体积公式 [常用结论与微点提醒] 1.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2. 3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.() (2)球的体积之比等于半径比的平方.() (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.() (4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝ 3 2a.() 解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.(教材练习改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为() A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.3 2cm 解析由题意，得S 表 ＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm). 答案 B 3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A.12π B.32 3π C.8π D.4π 解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3 a，即R＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为() A.π B.3π 4 C. π 2 D. π 4
简单几何体的表面积和体积(含答案)
简单几何体的表面积和体积 [基础知识] 1．旋转体的侧面积 2S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高) S 正棱台侧＝1 2 (c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高) 3．体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____ (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S)h ． [基础练习] 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) A ．8 B ．8π C ．4π D ．2 π 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) A ．1＋2π2π B ．1＋4π4π C ．1＋2ππ D ．1＋4π2π 3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8 4．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( ) A ．a ∶b B ．b ∶a C ．a 2∶b 2 D ．b 2∶a 2 5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( ) A ．24π cm 2, 12π cm 3 B ．15π cm 2, 12π cm 3 C ．24π cm 2, 36π cm 3 D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( ) A ．7＋ 2 B ．112＋ 2 C ．7＋ 3 D ．3 2 [典型例题] 例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线 将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．
简单几何体表面积
运用二 表面积 【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27π B.36π C.54π D.81π (2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．422+ C ．442+ D ．642+ (3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ） A ．1662+ B ．1682+ C ．1262+ D ．1282+ 【答案】(1)B(2)D(3)D 【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ?=π． (2)根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2， ∴几何体的表面积12222222264 2.2 S =?+??=+故选：D ．
(3)由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD ＝4，AB ＝2，四棱锥的高为2． 则其表面积为S 111424222224221282222=?+ ??+???+??=+．故选：D ． 【举一反三】 1．（2019·湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（ ） A.14 B.12 C.23 D.45 【答案】C 【解析】设圆柱底面圆的半径为r ，则高2h r =，该圆柱的侧面积为224r h r ππ?=，表面 积为222 426r r r πππ+=，故该圆柱的侧面积与表面积的比值为224263r r ππ=. 2．（2019·湖南高三期末（文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．2+2 B ．2 C ．1+22 D ．5 【答案】A
空间几何体的表面积和体积公式汇总表
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空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：V=312a ； (3)对棱中点连线段的长：d= 2 a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ）
人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(1)
人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷（1） 一、选择题（本大题共3小题，共15.0分） 1.如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2， 动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′?EFQ的体积() A. 与点E，F位置有关 B. 与点Q位置有关 C. 与点E，F，Q位置都有关 D. 与点E，F，Q位置均无关，是定值 2.某圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为() A. √15 B. 4 C. 3 D. 2 3.半径为2cm的球的体积是() A. 8π 3cm3 B. 16π 3 cm3 C. 32 3 πcm3 D. 64 3 πcm3 二、填空题（本大题共11小题，共55.0分） 4.(1)已知正六棱柱的各棱长都为a，那么其体积是________． (2)若正四棱锥的高为6，侧棱长为8，则棱锥的体积为________． (3)如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，那么圆柱、球、圆锥的体积 之比为________． 5.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18，侧棱长为13，则这个棱台的侧面积为 ______ ． 6.已知正四棱锥P?ABCD的体积为4 3 ，底面边长为2，则侧棱PA的长为_______． 7.一个六棱锥的体积为2√3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面 积为?． 8.表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为______ ．
9.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为2√3，则这个圆锥的全面积为______ ． 10.将边长为1的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________． 11.圆台两底面的半径分别为2和5，母线长是3√10，则它的轴截面的面积为____. 12.已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3:b3的 值为______． 13.已知三棱锥S?ABC中，SA=SB=SC=AB=AC=2，则三棱锥S?ABC体积的最大值为 ______ ． 14.如图，在平面四边形ABCD中，AB丄AD，AB=AD=1，BC=CD=5，以 直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为______． 三、解答题（本大题共2小题，共24.0分） 15.正六棱锥的底面周长为24，斜高SH与高SO所成的角为30°． 求： (1)棱锥的高； (2)侧棱长．
高考数学专题8.3简单几何体的表面积与体积解析版
专题8.3 简单几何的表面积与体积
运用一 体积 【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =， 1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 （2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） B. D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A. 112 3 B. 136 3 C.48 D.56
【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以3 22 ABC AB AC S ?= =； 所以1111 3 232 ABC A B C ABC V S AA -=?=?=，故选：B. （2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为 ()122 += ，高为2， 因此，这个四棱锥的体积为123=，故选：A. （3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()1 2444482 V Sh == ?+??=．故选：C ． 【举一反三】 1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．2 2π B ．2 π C ． 2 2 π D ． 2 3 π 【答案】A 【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==?= 故选：A 2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ） A B ．4 C ．3 D ．2 【答案】A
简单几何体的体积
专题8.3 简单几何的表面积与体积思维导图
运用一 体积 【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 （2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） 3 B.336 D.36 （3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） 知识讲解
A.1123 B.1363 C.48 D.56 【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以322ABC AB AC S ?= =V ； 所以11113232 ABC A B C ABC V S AA -=?=?=V ，故选：B. （2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为 ()1233322 +? =，高为2，因此，这个四棱锥的体积为1332332??=，故选：A. （3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()12444482 V Sh ==?+??=．故选：C ． 【举一反三】 1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2π C ．22π D ．23π 【答案】A 【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==?=
高考数学专题复习简单几何体的面积与体积
第5讲 简单几何体的面积与体积 一、选择题 1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( ) A.7 2π B ．56π C ．14π D ．64π 解析 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则??? ab ＝2， bc ＝3， ac ＝6，得??? a ＝2， b ＝1， c ＝3， 令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14，∴R 2＝7 2， ∴S 球＝4πR 2＝14π. 答案 C 2．若等腰直角三角形的直角边长为3，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是( ) A ．9π B ．12π C ．6π D ．3π 解析 由题意知所得几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为3，故V ＝13·(π·32 )·3＝9π. 答案 A 3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为( )．
A ．48 B ．64 C ．80 D ．120 解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱 锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×1 2×8×5＝ 80(cm 2)． 答案 C 4．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A.2 6 B.36 C.23 D.22 解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故 AD ＝1 2SA ＝ 32，则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD 2－? ?? ?? 122 ＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26. 答案 A 5．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ( )．
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥
3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =
高考理科数学一轮总复习第八章简单几何体的再认识(表面积与体积)
第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积) 一、知识梳理 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝1 3 S 底h 台 体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝1 3 (S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2 V ＝43 πR 3 常用结论 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝ 3 2a (a 为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a 2(a 为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝2 2 a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．
(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝6 4 a (a 为正四面体的棱长)． (3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝6 12 a (a 为正四面体的棱长)． 二、教材衍化 1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________． 解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， 所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：2 cm 2． 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b × 12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝47 48 abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 答案：1∶47 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积； (2)考虑不周忽视分类讨论； (3)几何体的截面性质理解有误；
空间几何体的表面积和体积公式汇总表
空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 1、圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πR2h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]
体积:πR2h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体 a－边长,S＝6a2 ,V＝a3 4、长方体 a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 5、棱柱 S－底面积h－高V＝Sh 6、棱锥 S－底面积h－高V＝Sh/3 7、棱台 S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体 S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中截面积 h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱 r－底半径,h－高,C—底面周长 S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C＝2πr S底＝πr2,S侧＝Ch ,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr2h 10、空心圆柱 R－外圆半径,r－圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2) 11、直圆锥 r－底半径h－高V＝πr^2h/3
12、圆台 r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 13、球 r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6 14、球缺 h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝ πh2(3r-h)/3 15、球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6 16、圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4 17、桶状体 D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 1.直线在平面的判定 (1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面，则这条直线在平面. (2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα. (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算第六讲简单几何体的表面积与体积的计算 一、四种常见几何体的平面展开图 1.正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。 图6─ｌ只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 2.长方体 沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面
的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由 一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底 面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面 展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。 4.（直）圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥 体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为 圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一 个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见 图6—4。二、四种常见几何体表面积与体积公式 1.长方体 长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a） 长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。 2.正方体 正方体的表面积=6×a2 正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体 圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R） 圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。 4.圆锥体 圆锥体的侧面积=πRl 圆锥体的全面积=πRl+πR2 母线长与高）。 三、例题选讲 例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案 没画出来，请你给补上。 分析与解：从图6—5和图6—6中可知：与；与；与互相
【人教A版】高中数学必修第二册：8.3简单几何体的表面积与体积 同步讲义)
【人教A 版】8.3 简单几何体的表面积与体积 同步讲义 1、表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 旋转体 圆柱 底面积：S 底＝πr 2 侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πrl ＋2πr 2 圆锥 底面积：S 底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2 圆台 上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′) 表面积：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 2、体积公式 （1）柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . （2）锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1 3 Sh . （3）台体：台体的上，下底面面积分别为S ′，S ，高为h ，则V ＝1 3(S ′＋S ′S ＋S )h . 3、球的体积 设球的半径为R ，则球的体积V ＝4 3 πR 3. 4、球的表面积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 知识梳理
题型一 棱柱的体积 例 1 底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ） A ．3 B ．1 C ． 32 D ． 13 【答案】A 【分析】 根据棱柱体积公式求得结果. 【详解】 底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是2 3(2)13??= 故选：A 已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，体对角线的长为214，则这个长方体的体积是（ ） A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 【答案】A 【分析】 由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a ，2a ，3a ，利用过一个顶点的三条棱的平方和等于对角线长的平方求得a ，则答案可求. 【详解】 由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a ，2a ，3a ， 则有()()() 2 2 2 2 23214 a a a =++， 即214414a =?，解得2a =， ∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，6， ∴这个长方体的体积是24648V =??=， 故选：A. 题型二 棱锥的表面积与体积 知识典例 巩固练习
第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)
第二节简单几何体的表面积和体积 复习目标学法指导 1.柱、锥、台体的表面积 和体积公式. 2.球的表面积和体积公 式. 3.一些简单组合体表面积 和体积的计算. 4.柱、锥、台体之间关 系.(发展要求) 1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和 底面积. 2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开 图. 3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台, 进一步求出面积、体积. 4.所有公式均不要求记忆. 空间几何体的表面积和体积公式如下 表面积体积 S表=S侧+2S底 表面积即空间几何体 暴露在外的所有面的 面积之和 棱柱的底面积 为S, 高为 h,V=S·h V柱=S·h S=S′ V台 =1 3 (S′+ S S +S)h S表=S侧+S底 棱锥的底面积 为S, 高为
h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13 S ·h S 表=S 侧+ S 上底+S 下底 棱台的上、下 底面 面积分别为 S ′,S, 高为h, V=13 (S ′+ S S +S)h 圆柱的底面半 径和 母线长分别为r,l S 表=2πr 2+2π rl 圆柱的高为 h, V=πr 2h 圆锥的底面半 径和 母线长分别为 r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为 h, V=13 πr 2 h 圆台的上、下底面半 径和母线长分 圆台的高为 h, V=13 π(r ′2+
别为 r,r′,l,S表= π(r′2+ r2+r′l+rl) r′r+r2)h 球 球半径为R, S球=4πR2 V球=4 3 πR3 1.概念理解 (1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露 或遮挡. (2)求空间几何体体积的常用方法 ①公式法:直接根据相关的体积公式计算. ②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得 体积计算更容易,或是求出一些体积比等. ③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体. 2.求面积或体积中相关联的结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )( 21 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1 、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥
② 圆锥 3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 ① 球：r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1
考点 简单几何体的表面积和体积
简单几何体的表面积和体积 1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为() A．280B．292 C．360 D．372 2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积() A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关 3．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为() A．24 cm3B．48 cm3 C．32 cm3D．28 cm3 4．已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()
A．24－ 3π 2B．24－ π 3C．24－πD．24－ π 2 5．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是() A．8πB．6πC．4πD．π 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于() A. 28 3 π B. 16 3 π C. 4 3 π＋8 D．12π 7.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 8.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE?△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) 23 .. 33 43 .. 32 A B C D 9.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ) 10.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( ) .42.22 .32.6 A B C D ++ +
8.2 - 简单几何体的表面积与体积
§8.2简单几何体的表面积与体积 2014高考会这样考 1.与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体体积的计算． 复习备考要这样做 1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题． 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧 面积与底面面积之和． [难点正本疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积 几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2．等积法 等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________． 2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3. 3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________． 5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点， 且PB 1＝1 4 A 1 B 1，则多面体P —BB 1 C 1C 的体积为________． 题型一 简单几何体的表面积 例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817 D ．80 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是 ________cm 2.
中小学几何图形周长、面积、体积计算公式汇总表
中小学几何图形 周长、面积、体积计算公式汇总 重要说明：周长——外周围的长度（单位：如m）；体积（容积）——空间（单位：如m3）面积——平面（单位：如m2）；侧面积——除底面外的表面积（单位：如m2） 一、平面图形： 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 面积=长×宽S=ab 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长S== a2 3、三角形的周长=三边长之和C=a+b+d 面积=底×高÷2 S=ah÷2 4、平行四边形的周长=相邻两边之和的2倍C=(a+b)×2 ；面积=一边×这边上的高S=ah 5、梯形的周长=四边长之和C=a+b+d+e 面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 6、菱形周长=边长×4 C=4a 面积=对角线乘积的一半s=ab÷2 7、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr ；面积=圆周率×半径的平方S=π r2 环形的面积=π×（大半径的平方－小半径的平方） 半圆的周长= 2πr/2 + 直径= πr + 2r 8、扇形周长＝半径×2＋弧长C=2r+（n÷360）πR=2r+（n÷180）πr 面积S＝πR2n÷360=I/2lR （其中l为弧长） 二、立体图形： 1、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 体积=长×宽×高V =abh 2、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 体积=棱长×棱长×棱长V= .a=a 3 3、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch ；体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h 表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 4、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 附： 1、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高V=Sh=π r2 h 2、弧度为弧长与半径之比。
空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题
第1讲空间几何体的三视图及表面积 和体积的计算问题 高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问. 真题感悟 1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3，则它的表面积是() A.17π B.18π C.20π D.28π 解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)
切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个1 4圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×1 4π×22＝17π. 答案 A 2.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A.90π B.63π C.42π D.36π 解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示. 将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1 2，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×1 2＝63π.
法二 (估值法)由题意知，1 2V 圆柱 学之导教育中心教案 学生:_陈华智授课时间：_ 课时： 3 年级：高一教师：廖课题斜二侧画法、空间几何体的表面积与体积 教学架构 一知识回顾 二知识新授 三知识小结 教学内容 一知识回顾 1 简单几何体的结构特征 2 几何体的三视图与直观图 二知识新授 （一）斜二测画法（特殊平行投影画法），其步骤如下： 本次内容掌握情况总结教师签字学生签字 例：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 练习 1 如图，画出水平放置的等腰三角形的直观图 2 用斜二测画法画出底面为正六边形，侧面为全等矩形的六棱柱的直观图 总结：画立体图的步骤：（1）画轴；（2）画底面；（3）画侧棱；（4）成图 3 一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上 底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图 4 如图，梯形A'B'C'D'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，试将其恢复成原图形 5 已知?ABC是正三角形，且它的边长为a，求?ABC的平面直观图的面积 6．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，求原三角形的面积 （二）柱体，椎体，台体的表面积与体积 1 柱体、椎体、台体的侧面积，就是，表面积就是，即侧面与底面积之和 2 棱柱的表面积等于侧面积与底面积之和 直棱柱的侧面积： 长方体的表面积： 正方体的表面积： 3 棱锥的表面积： 棱锥的侧面积：棱锥的侧面展开图是由各个侧面图组成的 正n棱锥的侧面积：侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成的，侧面积为：S= 4 台体的表面积 正n棱台的侧面是由n个全等的等腰梯形组成的。侧面积为：S= 5 圆柱的表面积 圆柱的侧面积： 6 圆锥的表面积 圆锥的侧面积： 7 圆台的表面积 圆台的侧面积：S= （r1+r2)l 8 体积的概念 9 棱柱和圆柱的体积： 10 椎体的体积： 11 台体的体积： 习题巩固 1 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求其表面积与体积 2 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的表面积简单几何体的面积与体积.