逻辑学推理规则

逻辑推理规则

1.真值函项逻辑推理规则

1.1 有效论证的基本形式（12个）

（1）分离论证或分离规则（Modus Ponens，简称MP。Rule of Detachment）：p→q，p，∴q

（2）逆分离规则（Modus Tonens, 简称MT）：

p→q，?q，∴?p

（3）假言连锁论证或假言三段论（Chain Argument, 简称CH；Hypothetical Syllogism, 简称HS）：

p→q，q→r，∴p→r

（4）析取消去（Disjunction Elimination, 简称DE）：

p∨q，?p， ∴q

p∨q，?q， ∴p

（5）析取引入（Disjunction Introduction/Addiction, 有时又被称为析取添加， 简称DI）：

p，∴p∨q

q，∴p ∨ q

（6）合取引入或组合式（Conjunction Introduction, 简称CI）： p，q，∴p ∧ q

（7）合取简化（Conjunction Simplification, 有时又被称为分解式， 简称CS）：

p ∧ q， ∴p

p ∧ q， ∴q

（8）归谬法（Reductio ad Absurdum, 简称RaA）：

p→?p，∴?p

p→ （q∧?q），∴?p

（9）二难论证简单构成式（Simple Constructive, 简称SC）：

p→q，r→q，p∨r， ∴q

（10）二难论证简单破坏式（Simple Destructive, 简称SD）： p→q，p→r，?q∨?r， ∴?p

（11）二难论证复杂构成式（Complex Constructive, 简称CC）： p→q，r→s，p∨r， ∴q∨s

（12）二难论证复杂破坏式（Complex Destructive, 简称CD）： p→q，r→s，?q∨?s， ∴?p∨?r

1.2 等值规则（9条）

（13）等值规则（Equivalence，简称Equiv）

p ?p∧p

p ?p∨p

p→q ??p∨q

p→q ??（p∧?q）

（p?q）? （p→q）∧（q→p）

（14）双否规则（Double Negation，简称DN）

??p ?p

（15）假言易位（Contraposition，简称CP）

（p→q）? （?q→?p）

（16）交换律（commutation，简称COM）

p∧q ?q∧p

p∨q ?q∨p

（17）结合律（Association，简称AS）

p∧（q∧r）?（p∧q）∧r

p∨（q∨r）? （p∨q）∨r

（18）分配率（Distribution)，简称DIS）

p∧（q∨r）? （p∧q）∨（p∧r）

p∨（q∧r）? （p∨q）∧（p∨r）

（19）德摩根律（De Morgan’s Laws，简称DM或DeM）

?（p∧q）??p∨?q

?（p∨q）??p∧?q

（20）输出规则（Exportation, 简称EXP）

p∧q→r ?p→（q→r）

（21）重言规则（Tautology，简称TAUT）

p∨?p

p→p

p→（p∨q）

（p∧?p）→q

?（p∧?p）

p?p

p∧q→p

p→（q∨?q）

2. 关于量词的规则（3条）

（22）全称例示规则

全称例示规则(UI，即Universal Instantiation)允许我们从所有情形推导出特殊情形。

从(x)Ax推出At。也可以表示为：

(x)Ax

A(x/t)，如果t对x代入自由[t是符合代入要求的项]

（23）存在例示规则

存在例示规则(EI, 即Existential Instantiation)允许我们从一个存在量化命题推导出其至少一个具体事例。

(?x)Ax

A(x/α)，如果α是先前没有出现过的特指常项

（24）量化等值

1）全称量词否定规则（量化等值规则，QE）

?(x)Ax

(?x)?Ax

?A(x/α)，如果α是先前没有出现过的特指常项

2）存在量词否定规则（量化等值规则，QE）

?(?x)Ax

(x)?Ax

?A(x/t)，如果t对x代入自由

3）任何一个包含全称命题的析取式都可以用一个全称量词管辖整个析取命题来取代。但公式不得含有自由变元。例如：

(x)Ax∨B ?(x)(Ax∨B)，其中B中不含有自由变元。

4）任何一个包含存在量化命题的析取式都可以用一个存在量词管辖整个析取命题来取代。但公式不得含有自由变元。例如：

?(x)?Ax ∨ (?y)(Cy∧?Cy)? (?y)(?(x)?Ax ∨(Cy∧?Cy))