高一数学 函数与方程 教案

第三章 函数的应用

函数与方程

一、函数的零点 1．函数零点的概念

对于函数()y f x =，我们把使_______的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 易错提醒

1．函数的零点是实数，而不是点． 2．并不是所有的函数都有零点．

3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内． 2．函数零点与方程根的联系

函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的________．所以方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点．

二、函数零点的判断

如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是_______一条曲线，并且有_______，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 三、二分法的定义

对于在区间[,]a b 上连续不断且______的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

注意：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用．

四、用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[,]a b ，验证_______，给定精确度ε． 2．求区间(,)a b 的中点c ． 3．计算()f c ，

（1）若()0f c =，则c 就是函数的零点；

（2）若()()0f a f c ?<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； （3）若()()0f c f b ?<，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）．

4．判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4．

名师提醒

1．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使： （1）区间[,]a b 的长度尽量小；

（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ?<．

2．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．

易错辨析

精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x 为准确值，x '为x 的一个近似值，若x x ε'-<，则x '是精确度为ε的x 的一个近似值．而按四舍五入的原则得到准确值x 的前几位近似值x '，x '的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．

K 知识参考答案：

1．函数零点的求法

求函数的零点一般有两种方法．

（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点． （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点．

【例1】已知函数

221,1

()1log ,1

x x f x x x ?-≤=?+>?，则函数()f x 的零点为________．

【例2】若函数()2

f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()2

1g x bx ax =--的零点是

A ．1-和

16 B ．1和16

- C ．12和13

D ．1

2

-

2．函数零点个数的判断方法

（1）解方程法：令f （x ）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．学科#网

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【例3】已知01a <<，则函数log x

a y a x =-的零点的个数为______．

【技巧点拨】判断函数()()()f x h x g x =-的零点个数问题，可采用数形结合的方法． 3．判断函数零点、方程的根所在的区间

确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定． 【例4】已知实数,a b 满足23,32a

b

==，则函数()x

f x a x b =+-的零点所在的区间是 A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1)

D ．(1,2)

4．求与零点（或方程的根）有关的参数的取值范围 （1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． （2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 【例5】函数()2

2x f x a x

=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 A ．()1,3 B ．()1,2 C ．()0,3

D ．()0,2

【例6】已知函数()()2

1,1

,1

a x x f x x a x ?-+≤?=?->??， 函数()()2g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．

5．二次函数的零点与一元二次方程根的分布问题 （1）二次函数2

)( 0y ax bx c a =++>的零点：

0?> 0?= 0?<

二次函数

2)( 0y ax bx c a =++>

的图象

与x 轴的交点 （x 1，0），（x 2，0）

（x 1，0）

无交点 零点个数

2

1

（2）一元二次方程20ax bx c ++=在区间内的根的问题一般转化为相应的二次函数的零点问题，转化时需要从三个方面考虑： ①判别式；

②区间端点函数值的正负； ③对称轴2b

x a

=-

与区间端点的关系． 【例7】若方程()()2

1210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，则实数k 的取值范围是 A ．()3,4 B ．()2,3 C ．()1,3

D ．()1,2

【例8】（1）m 为何值时，2

()234f x x mx m =+++． ①有且仅有一个零点； ②有两个零点且均比1-大．

（2）若函数2()4f x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围．

6．二分法的适用条件

当方程()0f x =同时满足下列三个条件时：

（1）函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续曲线； （2）函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一的零点； （3）()()0f a f b ?<．

用二分法一定能够求出方程()0f x =的近似解．

【例9】下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是

7．二分法的简单应用

二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．学.科网 【例10】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，

()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为

A ．0.64

B ．0.8

C ．0.7

D ．0.6

1．函数f（x）=x2–3x–4的零点是

A．（1，–4）B．（4，–1）C．1，–4 D．4，–1 2．函数y=ax–2的零点有

A．0个B．1个

C．2个D．3个3．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是A．函数只要有零点，就能用二分法求

B．零点是整数的函数不能用二分法求

C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解

D．以上说法都错误

4．方程

1

x

x

-=的一个实数解的存在区间为

A．（0，1）B．（0.5，1.5）

C．（–2，1）D．（2，3）

5．方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根

A．（–2，–1）B．（0，1）

C．（1，2）D．（–1，0）

6．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=e x–x–2的一个零点所在的区间是

x+2 1 2 3 4 5

x–1 0 1 2 3

e x0.37 1 2.72 7.39 20.09

A．（–1，0）B．（1，2）

C．（0，1）D．（2，3）

7．已知函数f（x）=（1

4

）x–

1

5

x，那么函数f（x）零点所在的区间可以是

A．（–1，0）B．（0，1

5

）C．（

1

5

，

1

4

）D．（

1

4

，1）

8．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值：

x 1 2 3 4 5 6

f（x）12 10 –2 4 –5 –10

函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有__________个．

9．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点为1，则它的另一个零点是__________．

10．已知函数f（x）在定义域R上的图象如图所示，则函数f（x）在区间R上有__________个零点．

11．若f（x）在区间[a，b]内单调，且f（a）?f（b）<0，则f（x）在区间[a，b]内

A．至多有一个根B．至少有一个根

C．恰好有一个根D．不确定

12．方程x3–x–1=0在[1，2]的一个近似解（精确到0.1）是

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

13．已知函数f（x）=3x+x–5的零点x0∈[a，b]，且b–a=1，a，b∈N*，则a+b=

A．–2 B．1 C．2 D．3

14．已知二次函数f（x）=ax2–（a+2）x+1，若a为整数，且函数f（x）在（–2，–1）上恰有一个零点，则a的值是

A．–1 B．1 C．–2 D．2

15．方程x3+x–1=0的解x∈[n，n+1]（n∈N），则n=__________．

16．方程x5–x–1=0的一个零点存在的区间可能是__________．（端点值为整数）

17．已知函数f（x）对一切实数x都有f（2–x）=f（2+x），若函数f（x）恰有4个零点，则这些零点之间的和为__________．

18．已知函数f （x ）=x +2，判断函数g （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）有无零点？并说明理由．

19．利用二分法求方程x 2–2=0的一个正根的近似值（精确到0.1）．

20．（2018?浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=2443x x x x x λ

λ-≥??-+

，，，当λ=2时，不等式f （x ）<0的解集是__________．若

函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．

21．（2016?天津）已知函数2(43)3,0

()(01)log (1)1,0

且a x a x a x f x a a x x ?+-+<=>≠?

++≥?在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23

x

f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．