第1节 整式及相关概念

第二章整式加减

第一节整式及相关概念

一、课标导航

二、核心纲要

1. 代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母联结而成的式于叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．

2. (1)单项式：数字或字母的积．这样的代数式称为单项式，单独的一个数或字母也是单项式．

注：①π是数字而不是字母．

②分母中含字母的代数式是分式，而不是单项式．如1

x

．

(2)单项式的次数：单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．

(3)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

注：①确定单项式的系数时要注意包含它前面的符号.

②单项式的系数是带分数时必须化成假分数.

3. (1)多项式：几个单项式的和叫做多项式．

(2)多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中不含字母的项叫做常数项.

注：确定多项式的项时要注意包括它前面的符号．

(3)多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．

4. 同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

注：①单项式的字母同，相同字母指数同．

②所有常数项都是同类项．

5. 整式：单项式和多项式统称为整式.

注：分母中含有字母的式子不是整式．

本节重点讲解：一项(同类项)，四式(代数式、单项式、多项式和整式)，四数(单项式的系数和次数、多项式的项数和次数)．

三、全能突破

基础演练

1．(1)一种货物进价a 元，提价15%后，再打9折，实际售价是( )元

A ．0. 35a

B ． 1.35a

C ．1. 035a

D ．1.15a

(2)今年某种药品的单价比去年便宜了15%，如果今年的单价是x 元，则去年的单价是( )元

A ．(1＋15%)x

B ． (1－15%)x

C ．

115%x + D ．115%

x - 2．(1)在23x y -+，－5，ab 2c ，2y x ，a 2x －bx ＋c ，56xy π-，m ，x π-中，单项式有( )个. A ．3 B ．4 C ． 5 D ． 6

(2)下列代数式中多项式共有( )个

34x -，a ＋b －c ，－3，1b a -，一x 2 ＋2x ＋3，－abc ，21x

. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．下列说法正确的是( )

A ． 单项式223x y -的系数是23

-，次数是3 B ．单项式π2ab 4的次数是7，系数是0

C ． 1x

是单项式 D ．x 5＋3x 2y 4－27是七次多项式

4． 多项式5x 4－8x 6－3－0.1x ＋2x 2是____次____项式，最高次项的系数是____，常数项是____，系 数最小的项是____．按x 进行降幂排列为___________________________.

5. 若a 表示一个三位数，b 表示一个两位数，若把b 放在a 的右边构成一个五位数，则该五位数 表示为____．

6． 若ax 2－2xy ＋y 2=6x 2＋bxy ＋cy 2成立，则a 、b 、c 的值分别为____ .

7． 已知关于x 的多项式(m ＋4)x 4－|m |x ＋6的一次项系数为－4，则这个多项式为____．

8． 把一条绳子折成3折，用剪刀按如图2-1-1所示的方式剪断，如果剪一刀得到4条绳子，如果剪

两刀得到7条绳子，如果剪三刀得到10条绳子，……，依照这种方法把绳子剪n 刀，得到的绳 子的条数为____．

9. 单项式113a

b a x y +--与3x 2y 是同类项，求(b －a )3的值. 能力提升

10. 关于x 的整式(n －1)x 3－x ＋1与mx n ＋

1＋2x －3的次数相同，则m －n 的值为( )

A ． 1

B ． －1

C ． 0

D ．不能确定 11. 如果一个多项式的各项的次数都相同．则称该多项式为齐次多项式. 例如：x 3＋2xy 2＋2xyz ＋y 3 是3次齐次多项式．若x m ＋

2y 2＋3xy 3z 2是齐次多项式．则m 等于( )

A ． 4

B ．3

C ．2

D ． 1 12．已知多项式5x 6－4x n ＋3x 4＋2x 3－7x 2＋2是六次多项式．则n 的取值是( )

A ．n =5

B ． n =1

C ． n =5或n =1

D ． 以上都不对

13. 至少含有a ，b ，c 三个字母之一，且不含其他字母，系数为1的六次单项式共有______个.

14. 写出同时含有x ，y ，z ，且满足下列条件的单项式

(1)系数为1；

(2)x ，y ，z 的指数之和小于等于5；

(3)交换x ，z 的指数，该单项式不变，则这样的单项式分别是___________．

15．现有7个单项式：x ，x 2，y 3，z 4，a 5，b 6，c 7，先将它们分成5个组，每组至少有一个单项式．而

x 和x 2不可以放在同一组，当一组有两个或两个以上单项式，则将它们“合成”为一个新单项

式，如：x 和y 3两个一组时“合成”的新单项式为xy 3；x ，a 5，y 3三个一组时“合成”的新单项

式为x y 3a 5．最后再将这5个单项式求和得到一个五项式．那么可得到的次数最高的五项式是 ；可得到的次数最低的五项式的次数是 ．

16．当m ____ ，n=_____ 时，关于x ，y 的多项式mx 2－(3nxy ＋4y 2)＋

12xy －5x ＋1中不含有x ，y 项，当m = ____，n =______时，此多项式是二次三项式．

17．若单项式(n －4)2x 2y |1

－n |是关于x ，y 的五次单项式，多项式3x |m |y 3＋(m ＋3)x 2y －1是关于x 、y 的 六次三项式，则(m ＋n )2012=________.

18．一个关于字母a 、b 的多项式，除常数项外，其余各项的次数都是3，这个多项式最多有几项？ 试写出一个符合要求的多项式．若a 、b 满足|a －b |＋(b ＋1)2=0，并求出多项式的值．

19．在长方形纸片内部裁剪出一个长方形，尺寸如图2-1-2所示．

(1)用含有a 、b 、x 的代数式表示图中阴影部分的面积：________;

图2-1-1 剪1刀

剪2刀 剪3刀

(2)当a=2，b=10，x=2时，求此时阴影部分的面积．

图2-1-2

20．为了鼓励节约用电，某地对居民用户用电标准作如下规定：每户用电如果不超过100度，那么每度电按x元收费；如果超过100度，那么超过的部分每度按y元收费．

(1)某户居民在一个月内用电75度，求该户居民这个月应交电费多少元？某户居民在一个月内用

电175度，求该户居民这个月应交电费多少元？

(2)某户居民一个月内用电a度，求该用户这个月应交纳电费多少元？

21. 电子工业出版社出售学而思编著的初中数学《几何辅助线秘籍》，每本成本21.8元，第一种销

售方式是委托新华书店销售，每本售价29.8元，但消耗费用每月需支出2400元；第二种销售方式是直接由出版社门市部销售，每本售价26.8元，第一种与第二种销售方式所获得的月利润分别用y1，y2表示，月销售的本数用x表示．

(1)用含有x的代数式表示y1与y2；

(2)销售量每月达到2000本时，哪种销售方式获得的利润多？

中考链接

22．(2010·德宏州)单项式7ab2c3的次数是( )

A．3 B．5 C．6 D．7

23. (2010·广东佛山)多项式1＋xy－xy2的次数及最高次项的系数分别是( )

A．2，1 B．2，－1 C．3，－1 D．5，－1

24. (2010·云南红河自治州)若单项式3x2n－1y m与－5x m y3是同类项，则m=_______，n=______.

巅峰突破

25．在多项式1993u m v n＋3x m y n＋u3m v2n－4x n－1y2m－4(其中m、n为正整数)中，恰有两项是同类项，则mn=____．

26．某商店经销一种衬衫，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衫的零售价为( )元

A．m(1＋a%)(1－b%) B．m·a%(1－b%)

C．m(1＋a%)b% D．m(1＋a%·b%)

27. 已知有如下一组x、y和z的单项式：

7x3z2，8x3y，1

2

x2yz，－3xy2z，9x4zy，

1

5

xyz，9y3z，xz2y，0.3z3.

我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任意两个单项式，先看x的幂次，规定x的幂次高的单项式排在x的幂次低的单项式的前面；再看y的幂次，规定y的幂次高的排在y的幂次低的前面；再看z的幂次，规定z的幂次高的排在z的幂次低的前面．将这组单项式按上述法则排序，那么9y3z应排在( )

A．第2位B．第4位C．第6位D．第8位