中科大数理方程试题2012
研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案
北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 玫[I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量,「是质量密度,h是圆锥的高(如下图所示) 【提示:已知振动过程中,在x处受力大小为ES ,S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是r1和r2,如图所示。于是,我们有 2、::u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成
2 2 ::U(X,t) 2 ::u(x,t) 2, ;u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ::[(^x)2;:U(x ,t)H-(^x)2::u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ::x h ;:t 其中a^E ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片, 它的一边y=b 处于较高温度U ,其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中,因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y),即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示:可以令u(x, y)二u 0 v(x, y),然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y),则原定解问题变为 Wl x£=0, V=0, 0cy 《数理统计》试卷及答案
---------------------------------------- 说明:本试卷总计100分,全试卷共 5 页,完成答卷时间2小时。 ---------------------------------------- 一、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、随机事件A 、B 互不相容,且A =B ;则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币,则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ,则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则 =)(X E ,=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ,样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ,应构造统计量为 ,拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ,则做正交实验设计时,可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、设随机事件A 、B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有( ) 成立。 A 、A 、 B 是对立事件; B 、A 、B 互不相容; C 、A 、B 不独立; D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次,事件i A 表示第i 次命中目标(i =1,2,3),下列说法正确的是( )。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标; B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标; C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标;D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的减小,)|(|σμ<-X P 应( )。 A 、单调增大; B 、单调减少; C 、保持不变; D 、增减不能确定
武大期末复习-数理方程教学指导纲要
第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容: 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题,掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点: 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法,即泛定方程和定解条件。
第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容: 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程,理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点: 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程
第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容: 1、理解分离变量法的基本概念:方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解:1)分离变量得到 的两个方程;2)由本征值问题确定相应的本征值和本征函数;3)确定关于)(t T方程的解(或者与其对应变量方程的解);4)定解问题的通解;5)由定解条件确定待定系数(通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法)。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程:1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定;2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开;3)求解关于)(t T 方程的解;4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点: ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化
应用数理统计试题库
一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本, 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时,CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ,则~2X F(1,n) , ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本,当常数C = 1/2(n-1) 时, ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=,),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x , 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5.设总体X 服从参数为λ的泊松分布,,2,2,, 为样本,则λ的矩估计值为?λ = 。 6.设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本,μ、σ2 未知,则σ2的置信度为1-α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7.设X 服从二维正态),(2∑μN 分布,其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y =X Y Y ???? ??=???? ??202121,则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8.某试验的极差分析结果如下表(设指标越大越好): 表2 极差分析数据表
数理方程期末考试试题
2013-2014学年度第二学期数理方程(B )期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =(16分) (1)y x y x u 22=???(2)xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数(10分) ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。(12分) 四、用积分变换法求解下列方程。(12分)???=>+∞<∞+=). (),0()0,(,2x x u t x u u a u xx t ?五、用分离变量法求解下列方程。(15分) ????+=<=?=. 4cos 75sin 2sin |)2(,022θθθr u r u 六、用分离变量法求解下列方程。(15分) ??? ?????=+===><<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。(15分) ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。(5分) ?????==>+∞<∞++=.2),0(. cos 2),0()0,(,24x x u x x u t x u u u u t t tt xx 提示:先对泛定方程进行变换成为一个较为简单的泛定方程,再根据初始条件进行求解。可能用到的公式:略。包括极坐标和球坐标下的Laplace 变换公式、Fourier 级数及其系数的公式、Laplace 和Fourier 所有性质和变换公式及求解过程中用到的反变换公式、勒让德方程的固有值和固有函数以及勒让德函数n=1-5时的表达式。
数理统计试题及答案
数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,
应用数理统计试题
应用数理统计复习题 1.设总体~(20,3)X N ,有容量分别为10,15的两个独立样本,求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率. 解:设两样本均值分别为,X Y ,则1~(0,)2 X Y N - (||0.3)(0.424)(0.424)0.328P X Y -<=Φ-Φ-= 其中(01)θθ<<为未知参数,已知取得了样本值1231,2,1x x x ===,求θ的矩估计和最大似然估计. 解:(1)矩估计:2 2 22(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =,得5?6 θ=. (2)最大似然估计: 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布,但它的数学期望μ和方差2 σ均未知,抽查10件,测得重量为i X 斤10,,2,1Λ=i 。算出 10 11 5.410i i X X ===∑ 10 21 () 3.6i i X X =-=∑ 给定检验水平0.05 α=,能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤? 附:t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0 | |/X T S n m -=
将已知数据代入,得2t = = 1/2 0.975(1)(9) 2.26222t n t a - -==> 所以接受0H 。 4. 在单因素方差分析中,因素A 有3个水平,每个水平各做4次重复实验,完成下列方差分析表,在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解: 0.95(2,9) 4.26F =,7.5 4.26F =>,认为因素A 是显著的. 5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据,求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====,2432.4566yy L =. (1)建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+; (2)对回归系数1β做显著性检验(0.05α=). 解:(1)1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 01 ??35.2389y x ββ=-= 所以,?35.238984.3975y x =+ (2)1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ? 4.46σ ==
研究生数理方程期末试题10111A答案
《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院 专业 学号 姓名 1、 (10分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 其中E 是圆锥体的杨氏模量,ρ是质量密度,h 是圆锥的高(如下图所示): 【提示:已知振动过程中,在x 处受力大小为u ES x ??,S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是1r 和2r ,如图所示。于是,我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ,证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片,它的一边y b =处于较高温度U ,其它三边0y =, 0x =和x a =则处于冷却介质中,因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ,即求解以下定解问题: 【提示:可以令0(,)(,)u x y u v x y =+,然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+,则原定解问题变为 分离变量:
代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件: 可以判定,特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件,有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 (20分)试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分,得 也即 对y 求积分,得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =,于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中,即得 4、 (20分)用积分变换法及性质,求解无界弦的自由振动问题: 【提示:可利用逆Fourier 积分变换公式:11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-?=??≥?】 【解】对变元x 作Fourier 变换,令 则有 方程的通解是 由初始条件得 可得 方程的解 从而 查表可得 从而 注意到 最后得到原问题的解 即
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
北航2010应用数理统计考试题及参考解答
北航2010《应用数理统计》考试题及参考解答 09B 一、填空题(每小题3分,共15分) 1,设总体X 服从正态分布(0,4)N ,而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本,则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解:(10,5)F . 2,?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解:??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==. 3,分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解:2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验. 4,方差分析的目的是_______ . 解:推断各因素对试验结果影响是否显著. 5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解:1?σ-'2Cov(β) =()X X . 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1,设总体~(1,9)X N ,129(,, ,)X X X 是X 的样本,则___B___ . (A ) 1~(0,1)3X N -; (B )1 ~(0,1)1X N -; (C ) 1 ~(0,1) 9X N -; (D ~(0,1)N . 2,若总体2(,)X N μσ,其中2σ已知,当样本容量n 保持不变时,如果置信度1α-减小,则μ的 置信区间____B___ . (A )长度变大; (B )长度变小; (C )长度不变; (D )前述都有可能. 3,在假设检验中,就检验结果而言,以下说法正确的是____B___ . (A )拒绝和接受原假设的理由都是充分的; (B )拒绝原假设的理由是充分的,接受原假设的理由是不充分的; (C )拒绝原假设的理由是不充分的,接受原假设的理由是充分的; (D )拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,A S 为效应平方和,则总有___A___ .
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】