多元统计正交因子分析实验报告

正交因子分析（设计性实验）

(Orthogonal factor analysis)

实验原理：因子分析是主成分分析的推广和发展，其目的是用少数几个不可观测的隐变量，即因子，来解释原始变量之间的相关关系，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。因子分析的基本思想是通过变量间的协方差矩阵（或相关系数矩阵）内部结构的研究，寻找能控制所有变量的少数几个因子去描述多个变量之间的相关关系。因子分析中最常用的数学模型是正交因子模型，其特点是模型中的因子相互之间正交。

实验题目一：

下表中给出了二战以来奥运会运动员十项运动成绩的相关系数矩阵：(E9a6) 100米. . . . . . . . .

跳远. . . . . . . .

铅球. . . . . . .

跳高. . . . . .

400米. . . . .

110米跨栏. . . .

铁饼. . .

撑竿跳高. .

标枪.

1500米

实验要求：

（1）试由相关系数矩阵作因子分析；covmat

（2）试根据因子载荷，并结合题目背景知识，对公共因子进行命名。

实验题目二：下表中给出了不同国家及地区的女子径赛记录：(t1a7)

Country 100 m

(s)

200 m

(s)

400 m

(s)

800 m

(min)

1500 m

(min)

3000 m

(min)

Marathon

(min)

argentin

australi

austria

belgium522

bermuda

brazil

burma55

canada112

chile12

china

columbia24

cookis

costa

czech

denmark

domrep

finland

france2

gdr

frg

gbni11

greece

guatemal

hungary

india

indonesi

ireland

israel

italy23

japan24

kenya2

korea

dprkorea

luxembou

malaysia

mauritiu

mexico

netherla

nz

norway

png233 philippi

poland

portugal

rumania

singapor25

spain

sweden

switzerl

taipei

thailand

turkey

usa

ussr

wsamoa306（数据来源：1984年洛杉机奥运会IAAF/AFT径赛与田赛统计手册）

ussr

rumania

实验要求：

（1）根据以上数据对女子径赛项目作因子分析；

（2）对公共因子进行解释；

（3）计算各个国家的第一因子得分并进行排名。要求列出排名前10的国家或地区，并给出中国的名次。

实验题目一分析报告：

R程序：

输出结果及分析：

（1）试由相关系数矩阵作因子分析；

record<("",head=F) #导入数据

record<-record[,-1] #删除第一列

record<(record) #将原数据矩阵化

options(digits=2) #保留两位小数

<-princomp(covmat=record)

#以相关系数矩阵作为基础，建立主成分分析summary #输出主成分分析报表

为了确定因子分析中因子的数目，我们先对相关系数矩阵做主成分分析

表1主成分分析报表

Standard

deviation

Proportion of

Variance

Cumulative

Proportion

由方差累计贡献率得到，在第五主成分，累积贡献率达到了80%以上，并趋于稳定。我们确定因子分析中因子数目为5.

<-factanal(covmat=record,factors=5,rotation="none") #作因子分析，不旋转

<-factanal(covmat=record,factors=5,rotation="varimax")#作因子分析，旋转

#输出不旋转的结果

#输出旋转的结果

做因子分析，得到未旋转的因子载荷以及旋转的因子载荷

观察表格中被标注为绿色的两个因子载荷（标枪项目一行），在Factor1中的因子载荷为，在Factor5中的因子载荷为，比较两个因子载荷，>, 因此我们最终选取。这样一来，我们做因子分时，只需要4个因子即可。因此，我们下面再做4个因子的旋转因子分析。

<-factanal(covmat=record,factors=4,rotation="varimax")#作因子分析，旋转

#输出旋转的结果

apply($loadings)^2,1,sum) #计算共同度

（2）试根据因子载荷，并结合题目背景知识，对公共因子进行命名由旋转后的载荷可发现，第一因子中，铅球、铁饼和标枪的载荷较大，可命名为投掷因子；第二因子中，100米和400米的载荷较大，可命名为短跑因子；第三因子中，跳远、跳高、110米跨栏、撑竿跳高较大，可命名为弹跳因子；第四因子中，1500米的载荷较大，可命名为长跑因子。

实验题目二分析报告：

R程序：

（1）根据以上数据对女子径赛项目作因子分析；

b<("") #导入数据

b1<-b[,-1]

<-princomp(b1,cor=T)

summary

表 4 主成分分析结果

Standard

deviation

Proportion of

Variance

Cumulative

Proportion

根据主成分分析的结果可以看出，在第2个特征根处，累计贡献率就已经达到了%。因此，我们选用2个因子进行因子分析。

<-factanal(b1,factor=2,method="mle",rotation="none")

$loadings

<-factanal(b1,factor=2,method="mle",rotation="varimax",scores="regression") $loadings

apply($loadings)^2,1,sum)

得到旋转前后的载荷矩阵

（2）对公共因子进行解释；

由旋转后的载荷可发现，第一因子中，标枪和铁饼800m、1500m、3000m、马拉松载荷较大，可命名为长跑因子；第二因子中，100米、200米、400米的载荷较大，可命名为短跑因子；

（3）计算各个国家的第一因子得分并进行排名。要求列出排名前10的国家或地区，并给出中国的名次。

<-factanal(b1,factor=2,method="mle",rotation="varimax",scores="regression") $scores)

<-factanal(b1,factor=2,method="mle",rotation="varimax",scores="Bartlett")

b[order$scores[,1],decreasing=F),1]

我们先对用线性回归方法得到的因子进行正态性检验，得到p值为，小于，拒绝原假设为正态分布，因子不为正态，说明原始数据也不是正态分布，所以不能用要求用正态假设的Regression方法做因子得分，因子得分选用Bartlett方法。

得到前10的国家，由结果得到：中国为第23名。