海明码编码计算、检错和纠错原理解析

一、海明码检错/纠错基本思想

海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。它的检错、纠错基本思想如下：

（1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码

（2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位

（3）对错误位取反来将其纠正

二、海明码计算

海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码

1. 计算校验码位数

假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验）

信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247

校验码位数2 3 4 5 6 7 8

2. 确定校验码位置

海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置

3. 确定校验码

校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。确定每个校验码所校验的比特位：

P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。

P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。

P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。

Pn校验码位校验的码字位为：第2n-1位（也就是Pn本身）、第2n-1+1位、第2n-1+2位、第2n-1+3位、……、第2n-1位，第3×2n-1位、第3×2n-1+1、……、第2×2n-1位，第5×2n-1位、第5×2n-1+1位、第3×2n-1位，……、第7×2n-1位、第7×2n-1+1位、……、第4×2n-1位，……，第(2m-1) 2n-1位、……第m×2n-1位

最后每组通过异或逻辑运算（与偶校验原理一样），使每组的运算结果为0，即可得出第i位校验码的值

4. 实现校验和纠错

把以上这些校验码所校验的位分成对应的组，则在接收端的对各校验位再进行逻辑“异或运算”，如果采用的是偶校验，正常情况下均为0。

如果最终发现只是一个校验组中的校验结果不符，则直接可以知道是对应校验组中的校验码在传输过程中出现了差错，因为所有校验码所在的位是只由对应的校验码进行校验；

如果发现多组校验结果不正确，则查看这些组中公共校验的数据位（只有数据位才可能被几个校验码进行校验），以最终确定是哪个数据位出了差错（海明码只能检查一位出错）；最后，对所找到的出错数据位取反即可实现纠错。

三、海明码计算示例

原信息码：10011101

（1）确定校验码位数

原始信息码一共8，根据前面的表可得知校验码位数为4

（2）确定校验码位置

？？1？001？1101

（2）计算机各位校验码

Pn校验码位校验的码字位为：第2n-1位（也就是Pn本身）、第2n-1+1位、第2n-1+2位、第2n-1+3位、……、第2n-1位，第3×2n-1位、第3×2n-1+1、……、第2×2n-1位，第5×2n-1位、第5×2n-1+1位、第3×2n-1位，……、第7×2n-1位、第7×2n-1+1位、……、第4×2n-1位，……，第(2m-1) 2n-1位、……第m×2n-1位

P1(n=1):1、3、5、7、9、11 #----检验的bit位，下同

1 1 0 1 1 0 #----对应位的值，下同

P2(n=2):2、3、6、7、10、11

1 1 0 0 1 1

P3(n=3):4、5、6、7、12

0 0 0 1 1

P4(n=4):8、9、10、11、12

1 1 1 0 1

最终得出插入校验码后的信息码为：111000111101

海明距离：在一个码组集合中，任意两个码字之间对应位码元取值不同的位的数目定义为这两个码字之间的海明距离；在一个码组集合中，任意两个编码之间海明距离的最小值称为这个码组的最小海明距离，最小海明距离越大，码组抗干扰能力越强。

101规约的海明距离为4