线性代数(本)习题册行列式-习题详解
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行列式的概念
一、选择题
1． 下列选项中错误的是( ) (A)
b
a d c d
c b a -
= ； (B)
a
c b
d d
c b a =
；
(C)
d
c b a d
c
d b c a =
++33； (D)
d
c b
a d
c b a -----
=.
答案：D
2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）．
(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C
二、填空题
1.
a
b b a log 1
1
log = .
解析：
0111log log log 1
1log =-=-=a
b a
b
b a b
a . 2.
6
cos
3
sin
6sin
3
cos
π
π
ππ
= . 解析：
02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6
cos 3
sin
6sin
3
cos ==-=πππππππ
π
π
3.函数x x x
x
x f 1213
1
2)(-=中，3x 的系数为 ； x
x x
x x x g 2
1
1
12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.
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4.n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.
5. 三阶行列式11342
3
2
1-中第2行第1列元素的代数余子式
等于 . 答案：5.
6.若
02
1
8
2=x
，则x = . 答案：2.
7.在n 阶行列式ij a D =中，当i ),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = . 答案：nn a a a Λ2211. 8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时， 01 0100=---a b b a . 解析：0)()1 (1 010022=+-=--=---b a a b b a a b b a 故0,0==b a . 三、解答题 1.用行列式的定义计算. (1) 1 100001001011 010； 解：原式=1 000101 01)1(10100000 11) 1(1412 1++-?+-? Word 文档 11 0010 100-=- - = (2) 000000h g f e d c b a . 原式=0 000 0g f e d b h f e d c a - =0 0000 0g f bd h f d f e c a +??? ? ? ?- =bdfg adfh - 2. 设行列式λλλ 010101 1-=D , 3 512321 132=D ,若21D D =,求λ的值. 解：由对角线法则，得()()0,1122 1=-+=D D λλ 若21D D =,则()()0112 =-+λλ 于是1-=λ或1. 四、证明题 1.（略） 行列式的性质 一、选择题 1．设行列式x x x D 01 010 101-=, 1 133512 322=D ,若21D D =,则 x 的取值为 ( ). (A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1． 答案：B Word 文档 2．若333 32 31232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D ， 则33 32 3331 23222321 13 121311 1525252a a a a a a a a a a a a D +++==（ ）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6． 答案：C 二、填空题 1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ?-+?==. 2． 2016 201420182016 = . 解析： 42 0222016 20142 22016 201420182016== = . 3.行列式c b d c a b c b a D =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==c b c a c b . 4.行列式x x x x x D 3121 3 2 31232154-= 的展开式中，4 x 的系数 为 ；3 x 的系数为 . 解析：x x x x x x x x x x D 3121 3 1 23232153121 3 2 31232 154-- =-= Word 文档 x x x x 312 1 312512585 103215--- = 含4 x ，3 x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4 x ，3 x 的系数分别为15，-3. 三、解答题 1.计算下列行列式 . (1) 3 214214314324 321； 解：各行加到第一行，得 原式= 3 21421431432111110 3 2 1 4 2143143210 101010= =1604 004 001210111110 1 230121 12 101111 10 =---=------. (2)4 4 4 4 33332222 5432154321543215432111111； 解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288. (3) 49 36251636 25169 25 169 416 941 ； Word 文档 原式= 022 2222229753169411311971197597531694 1== . (4) 000000 x y y x y x x y ； 原式=x y x y x x x y y y x y 000 00 00 0-- =2222 2 )(y x x y y x x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x 11 1； 原式=) (0 )(0 1 x z y x z x y z x y yz x ------ =))()((11) )((x z z y y x y z x z x y ---=---. (6)2 00 01200000 0130012000101--； 原式=3 1012 010140 1 312010142 000130120010 12 ---=--=-- =203 1124 =---. Word 文档 (7) 4 32 11111 11111 1111111x x x x ++++； 解：原式= 4 321111 1 0010011x x x x x x x ---+ = 4 3211141 312110 0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++ + = 3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. 2.设4 32 2 321143113 151-= D ，计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式. 解：44434241A A A A +++61 11 1 321143113151=-= . 3. 已知1 142 1 1 3 110111253------= D ,求 41312111M M M M +++. 解：41312111M M M M +++ =41312111)1(1)1(1M M M M --?+--? = 1 1411 1 3 1 10111251 -------=0. 4.计算下列n 阶行列式. Word 文档 (1) 2 111 21112Λ M M M ΛΛ ； 解：原式= 2111 21111Λ M M M ΛΛ +++n n n =2 111 21111)1(Λ M M M ΛΛ+n =11 00010111) 1(+=+n n Λ M M M ΛΛ . (2)x y y y y x y y y y x y y y y x Λ M M M M ΛΛΛ ； 解：原式=[]x y y y y x y y y y x y y n x Λ M M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]y x y x y x y n x ----+Λ M M M M Λ Λ Λ0 00 0001111 )1( =[]1 ) ()1(---+n y x y n x . (3)),,2,1,0(0 1 001 11110 21 n i x x x x i n ΛΛ M M M M ΛΛ Λ=≠. Word 文档 解：原式= n n i i x x x x Λ M M M M ΛΛΛ00 00000011101211 ∑ =- =)1(1 21∑ =-n i i n x x x x Λ. 四、证明题 1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明01 11 3 3 3 =c b a c b a 的充分必要条件是a+b+c=0. 证明：3 33 33 3 3 3 001111 a c a b a a c a b a c b a c b a ----= = 3 33 3a c a b a c a b ---- =2 22 2 1 1 ) )((a ac c a ab b a c a b ++++-- =))()((2 2 ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0, 由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0. 2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c d a a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明：左边43 32 21 02320 363a b c d r r a a b a b c r r a a b a b c r r a a b a b c -+++-+++-+++ Word 文档 4332100 020 03a b c d r r a a b a b c a a b r r a a b -++++-+4 43 0002000a b c d a a b a b c r r a a a b a +++-=+=右边 克莱姆法则 一、选择题 1．方程组??? ??=++=++=++1 ,1,1321 321321x x x x x x x x x λλλ , 有唯一解,则( ). (A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ； (C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ． 解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111 1 12≠-+=λλλ λ λ ，即 1≠λ且2-≠λ，选B. 2.当≠a （ ）时，方程组?? ? ??=+-=++=+02,02, 0z y ax z ax x z ax 只有零解. (A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则， 当0)2(21 20 121 001 212 10≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ，选D. 三、解答题 1.用克莱姆法则下列解方程组. (1)?? ? ??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x 解： 031 1 2 221 1 21 ≠=---=D ， 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解， Word 文档 31 1 3 22 31221=---=D ， 61 3 223 11212=-=D ，93 323312213==D ， 因此方程组的解为 11== D D x ,22==D D y ，33==D D z . (2)..2 3342,223,3232,124321432143214321???????=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解：043 3 4 212312132112 1≠=---= D 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解， 833 4 21232213311211=---= D ， 23 322122121 3211112-=---= D , 23 2421 2 31233211213=--=D ,22 3 4 222313 13211214=-=D . 因此方程组的解为 211== D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2 1 44==D D x . 2.判断线性方程组??? ??=-+=+-=-+0 285,042, 022321 321321x x x x x x x x x 是否有非零解？ 解：因为系数行列式2 85 122 42 12 8 5 421 122 ----=---=D Word 文档 =0305 00 960 4 2 122 18 960 42 1≠-=--=----, 所以，方程组只有零解. 3.已知齐次线性方程组??? ??=+-=++=-+0 2,0,0321 321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值. 解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式 必为零，即 3 210110 1 11 1 211 112 k k k k k k --+--=-- =)21)(1()1(32 k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4. 4.当μ取何值时，齐次线性方程组??? ??=--+-=-+-=-++0 )1(02)3(0)1(42321 321321x x x x x x x x x μμμ有非 零解？ 解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知， 01 11 213 1 42=------μ μμ,解得3,2,0=μ. 第一章综合练习 一、判断题 1. n 阶行列式n D 中的n 最小为 2.( ╳ ) 2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ ) Word 文档 3. 413223144433221144 41 3332232214110 000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题 1.若1 1 131--+= x x x D ，2 1 1122-+= x x D ，则1D 与2D 的大 小关系是( ). (A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化. 答案：C 2.行列式 {})2,1,1,,,(-∈d c b a d c b a 的所有可能值中，最大 的是( ). (A) 0； (B)2； (C)4； (D)6. 答案：D 三、填空题 1. ? ???40cos 20sin 40sin 20cos = . 解析： ??-??=? ???40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos 2 160cos = ?=. 2.若y y x x y x -= -1 12 2,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1 122，得xy y x 22 2-=+ 即0)(2 =+y x ，从而x+y =0. 3.已知 111,01 12==y x x ，则y = . 解析：由11 1, 0112 ==y x x ,得x =2,x-y =1,从而y =1 Word 文档 4. 若222222222 6 4 2 5 31 C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：24 2312=- =C . 5.设x x x x x x f 1 11 12 3111212)(-= ，则4 x 的系数为 ；3 x 的 系数为 . 解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4 x ，系数为2；含3 x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1. 6.设0 123411222641232 21115 4321=D , 则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ； （3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ，03534=+A A . 5554535251A A A A A ++++1 111111222641232 21115 4321= Word 文档 01 111133333641232 211154321==. 即0555*******=++++A A A A A . 四、解答题 1.计算下列行列式. (1) 4434241 44333231 34 232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++； 解：原式= 1 41 31 21 41413121 31 413121 21413121 1y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+ = 00 000000001 413121 41 31 211=------+x x x x x x y y y y y y y x . (2)4 32 11111 11111 1 111111x x x x ++++； 解：原式= 4 321111 1 0010011x x x x x x x ---+ = 4 3211141 312110 0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++ + = 3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. Word 文档 (3) 2007 000 0020060002005000200 01000Λ ΛΛM M M M M ΛΛ. 解：原式=!2006)1(20072 2005 2006?-?=!2007- 2.已知1 23452 2211 273 12451112243150 D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A 0)()(24544434241=++++A A A A A 得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式. (1)n n n n n n n D Λ M M M Λ ΛΛ22 2 333222111=； 解：（利用德蒙行列式计算） 1 1221333 21 111!--==n n n T n n n n n D D Λ M M M Λ ΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ !2)!2()!1(!Λ--=n n n . Word 文档 (2) 2 111 21112Λ M M M ΛΛ ； 解：原式= 2111 21111Λ M M M ΛΛ +++n n n =2 111 21111)1(Λ M M M Λ Λ +n =1100010111) 1(+=+n n Λ M M M ΛΛ . (3)m x x x x m x x x x m x D n n n n ---= Λ M M M Λ Λ 2 1 2121 解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的 公因子，得 m x x m x x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++= Λ ΛM M M Λ ΛΛ Λ221221221 m x x x m x x x m x x x n n n n ---+++=Λ M M M Λ Λ Λ2 22211 11 ) ( m m m x x x n ---+++=Λ M M M ΛΛΛ0 1 01001) (21 1 21))((---+++=n n m m x x x Λ Word 文档 (4)n n n n n a a a a a a b b b b b D 1 3221 13210 000 000-----=Λ M M M M M Λ Λ Λ （其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠） 解： 12211000 00000)1(-+----=n n n n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ 1 2 221 12210 000 00------+n n n n n a a a a a b b b b a Λ M M M M Λ Λ Λ 121-+? =n n n n n D a a b a a a Λ ??? ? ??==∑=n i i i n a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题 1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零. (提示：用德蒙行列式证明) 行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D = 行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑ 授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 （请打√） 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第二讲 行列式按行（列）展开及计算 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点： 重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行（列）展开 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零， 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= （按行（列）展开法则） 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D 解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2：244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ，（1）求41312111A A A A +--；（2）444342412A A A A +-+。 解：（1）041312111=+--A A A A （2）4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1，其中021≠n b b b 解：n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001＝n n b b b a a a 0 0100100112121--- 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； 上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1） 大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K 线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B ) (C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ） 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1 行列式习题答案 2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s 单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准：日期：年月日任课教员：刘静 课程名称：线性代数 章节名称：第一章行列式 课题：第三讲行列式按行按列展开 目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备：多媒体设备 课前检查 教学内容课堂组织 教学内容： 本讲主要介绍： 1. 行列式的按行（列）展开法则； 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路： 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 对于三阶行列式，容易验证： 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？ 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理； 4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。 教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。 教学步骤： 教学内容、方法、步骤 教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念； 2. 引理； 3. 行列式的按行（列）展开法则； 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。 212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=- 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次． n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= + 行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A) 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； 第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次． n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（） 6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分) 《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名： 《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分） 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1 ,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，22 1 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K行列式经典例题及计算方法
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