3. (2014新课标I) (本小题满分12分)设函数1
(0ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线
为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，11
2()ln x
x x x a b b f x ae x e e e x x x
--'=+
-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==1,2a b == ……………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)
12()ln x x
e f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x
x x xe e
->-
()ln g x x x =
，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ??
∈ ?
??
()0
g x '<1,x e ??∈+∞ ???
时，()0
g x '>()
g x 10,e ??
???1,e ??+∞ ???
()g x 在()
0,+∞11
()g
e e
=-. ……………8分 2
()x h x xe
e
-=-，则()()1x h x e x -'=-，所以当()
0,1x ∈()0h x '>()
1,x ∈+∞时，()0
h x '<()
h x ()0,1()
1,+∞()h x ()g x 在()
0,+∞1
(1)h e
=-.
综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分 4. (2014新课标II)（本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
【答案】 (1) 上单增在R x f )( （2） 2
（1）
.
)(.
02-12≥2-12-)(∴∈2--)(--上单增在所以，，R x f e e e e e e x f R x x e e x f x
x
x x x x x x =?+=+=′= （2）
2
≥22≥0-0≥)-(-))((0≥)-(2-2-2.0≥)(0,t t),(0,∈?x ∴)-(2-2-2)(.0)0(,0m m),(0,∈x )2-(2-2-)(0.
m m),(0,∈x ..0≥)2-(2-2-0
≥)2-(4-4-22.0≥)(0,m m),(0,∈?x ∴)2-(4-4-22)(.
0)0(,0),2--(4-4--)(.0,0)2--(4-4--)(4-)2()(--------2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2的最大值为，所以，即即，
且，即即使，则，同理，令即即使，则令b b e e e e b e e e e e e b e e e e e e b e e x m e e b e e x m m e e b e e x m e e b e e e e b e e x h e e b e e x h h x x e e b x e e x h x x e e b x e e x bf x f x g x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =?>++>+>='=>++=>++++'>++='=>=>>==
5(2014天津)（本小题满分14分） 已知函数()x
f x x ae
=-()a R ?，x R ?.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.
（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明
2
1
x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.
【答案】 （1）
)10(e ， （2） 省略 （3） 省略
（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （Ⅰ）解：由()x
f x x ae =-，可得()1x
f x ae ￠=-.
下面分两种情况讨论： （1）0a ￡时
()0f x ￠>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意. （2）0a >时，
由()0f x ￠=，得ln x a =-.
当x 变化时，()f x ￠，()f x 的变化情况如下表：
这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+￥.
于是，“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°()ln 0f a ->；2°存在()1,ln a s ??，满足()10f s <；
3°存在()2ln ,a s ?
+?，满足()20f s <.
由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得1
0a e
-<<，而此时，取10s =，满足()1,ln a s ?
?，且
()10f s a =-<；取222
ln s a a
=+，满足(
)2ln ,a s ?
+?，且()22222ln 0a a
f s e e a a
骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫. 所以，a 的取值范围是(
)1
0,e
-.
（Ⅱ）证明：由()0x
f x x ae =-=，有x x
a e
=. 设()x x g x e =
，由()1x
x
g x e -￠=，知()g x 在(),1-￥上单调递增，在()1,+￥上单调递减. 并且，当(]
,0x ??时，()0g x ￡；当()0,x ??时，()0g x >.
由已知，12,x x 满足()1a g x =，()2a g x =. 由(
)1
0,a e -?，及()g x 的单调性，可得()10,1x ?，()21,
x ??.
对于任意的(
)1
120,,a a e -?，设1
2a
a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；()()122g g a h h ==，
其中1201h h <<<.
因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似可得22x h <.
又由11,0x h >，得
222
111
x h h x x h <<. 所以，
2
1
x x 随着a 的减小而增大. （Ⅲ）证明：由11x
x ae =，22x
x ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故2
21211
ln ln ln
x x x x x x -=-=. 设21x t x =，则1t >，且2121,ln ,
x tx x x t ì=??í?-=??解得1ln 1t x t =-，2
ln 1t t
x t =-.所以， ()121ln 1
t t
x x t ++=
-. ①
令()()1ln 1
x x
h x x +=
-，()1,x ??，则()()
2
1
2ln 1x x x h x x -+-
￠=
-.
令()1
2ln u x x x x
=-+-，得()2
1x u x x
骣-÷?￠=÷?÷?桫. 当()1,x ??
时，()0u x ￠>.因此，()u x 在()1,+￥上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，
由此可得()0h x ￠>，故()h x 在()1,+￥
上单调递增.
因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大.
而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大. 6. (2014湖南)已知常数0a >,函数()()2ln 12
x
f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;
(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.
然后利
用导函数讨论a的取值范围使得()()
120
f x f x
+>成立.即可解决该问题.
7、(2014四川) (本小题满分14分)
已知函数2
()1x
f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =???为自然对数的底数。
（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。 【答案】
（Ⅰ）∞)
,2[∈b -2-);2,21(∈-2ln 2-2];21,∞-(∈-1+e
a a e e a
b a a a a b ，，，
（Ⅱ） )1,2-(e 【解析】
（Ⅰ）
∞)
,2
[∈b -2-);2,21(∈-2ln 2-2];21,∞-(∈-1)(]1,0[-2ln 2-2)2(ln ,)(2ln 02-,02-)(.
]1,0[)(]1,0[)(∴2-)(,
)2
,21(∈32≥
0≤)1(∴]1,0[0≤)(,2-)(b -2-)1()(]1,0[0≤)(22
1
≤
0≥)0(∴]1,0[0≥)(,2-)(-1)0()(]1,0[0≥)(1.
.2-)(∴b -2-)(b -2-)()(∴1---)(2+=====′′=′′′=′=′′′=′=′=′==′==e
a a e e a
b a a a a b x f b
a a a a g x g a x a e a e x g x g x g a e x g e
a e
a g x g a e x g a e g x g x g a g x g a e x g
b g x g x g a e x g ax e x g ax e x f x g bx ax e x f x x x x x x x x x ，，，导数的最小值是：
上，综上，在取最小值时，，即当则令上先减后增，有最小值在区间上先负后正，在区间递增时）最后，当（，解得上恒成立
在区间且递增递减，最小值为上恒成立时，在区间）当（，解得上恒成立
在区间且递增递增，最小值为上恒成立时，在区间）当（讨论如下
（Ⅱ）
)
1,2-(∈,0)2(ln 0e -12ln 2-3)1,2-(∈∴0e -1e -1ln -2
3)2(
≤)()1,2-(g(x)∴)1,2-(∈2
0(x)g .2ln 2-12-2ln 2-3(x)g )1,2-(∈x e,-12ln 2-3g(x)0e -12ln 2-3∴0)2(ln 2ln 0)()1,2-(∈∴21,2-21)2
,21(∈,0)1(0)0(∴2-)()
1,2-(∈0)-2)(-1(0)1()0(1)()(,2)(∴)()1,0()(∴37378059220140615)1,0()(0)1()0(e -12-)(01---∴0)1(1---)(2e a a f a a a e a e e e e e g x g e y e e
x x x e x x x a a a a f a x x f e a e
e e
a f f a e x f e a e a a f f x f x f x f x f x f qq x f f f a ax e x f
b a e f bx ax e x f x x x 所以，即时，当上先增后减，即在，解得令单调递减，则
令由上知，，解得令解得，且由上知，单调递增，解得，即由上知，个零点有的导数且个零点有增减单调性是增减增，或减或减增减
上单调性是：增减增，在上存在零点完成时间在，且，，<′<+<+=+====′==′+=<+<′==′′<<>′
′<′′=′′>+>′′′′′′==++=′===
8(2014山东)（本小题满分13分）
设函数22
()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.
9. (2014陕西)（本小题满分14分） 设函数
()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.
（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；
（2）若
()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n ++
+与()n f n -的大小，并加以证明.
【答案】 （1） nx x x g n +=
1)(
（2）
,1](-∞ (3) 前式 > 后式
【解析】 （1）
+
++++=++=+=++=
++
+=+==+=
+++=+===+=+=
′′=+=N n nx x
x g x
k x
x g k n x k x kx
x kx x
x g kx x x g k n x x
x
x x x
x g x x x g x g g x g x g x g x
x x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.
)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，， （2）
,1]
(-a 1.a 0.≥-1),0[∈?0≥(x)h ,0),,0[∈?∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.
≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22
∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=
所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x a
x x x x a x x x ax x x x ax
x x x x g x ag x f
（3）
+
∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++????=++++=+++++=+=+=
N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .
0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11
--311-211-111-
f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立
式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a n
x h x x
x
x x h n
n
n
n g g g g n
n n n g x x x g
10. (2014湖北)（本小题满分14分）
π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数x
x
x f ln )(=
的单调区间； （Ⅱ）求e 3
,3e
,e π
,πe
,3π
,π3
这6个数中的最大数与最小数.
（Ⅲ）将e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3
这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. .（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =
，所以2
1ln ()x
f x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．
故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．
于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．
故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lne
π3e
<<
． 由ln πln3
π3
<
，得3πln πln3<，所以π33π>； 由
ln3ln e
3e
<
，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，πππ333
<<e
，3
3e e <.又有（Ⅱ）知，
e
e ln ln <
π
π
，得π
πe e <. 故只需比较3
e 与e π和πe 与3
π的大小. 由（Ⅰ）知，当0＜x ＜e 时，e e f x f 1)()(=
<，即
e
x x 1
ln <.
在上式中，令π
2
e x =，又
e e <π
2
，则π
π
e
e <
2
ln
，从而π
πe
<
-ln 2，
即得π
πe
-
>2ln .①
由①得，3024.3)88.02(7.2)1
.372
.22(7.2)2(ln >=-?>-
?>-
>π
πe
e e ， 即e ㏑π＞3,亦即3
ln ln e e
>π，所以e
e π<3
. 又由①得，ππ
π>->-
>e e
636ln 3，即3㏑π＞π，所以3ππ综上可得，π
π
ππ333
3
<<<<，
即6个数从小到大的顺序为π
πππ3333，
，，，，e e e e . 11. （2014辽宁）（本小题满分12分）
已知函数8
()(cos )(2)(sin 1)3
f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x x π
=--+-.
证明：（1）存在唯一0(0,)2
x π
∈，使0()0f x =；
（2）存在唯一1(
,)2
x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.
【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72 【解析】 （1）
上仅有一个零点
，在所以，单调递减单调递减，且单调递减单调递增，单调递增上，，在上有零点
，在，
)2
π
0()(↓
)1(sin 3
8
-)2π)(-(cos )(∴↓
)1(sin 3
8
-↓)2π)(cos -(-∴↑
0cos -↑02π)2
π
0()2π
0()(∴0)2(3
8
-)π2)(2π-()2π(,038-π)0(∴)1(sin 38-)2π)(-(cos )(x f x x x x x f y x y x x x y x x y x y x f f f x x x x x f ++==+=++=>+=>+=<=>=++=
（2）
（II ）考虑 ].,2
[),23ln(4sin 1cos )(3)(ππ
ππ∈--+-=
x x x x x h
令,x t -=π则],2[
ππ
∈x 时，]2
,0[π
∈t 记)
sin 1)(2()
(3)(),21ln(4sin 1cos 3-)('t t t f t u t t t t t h t u ++=+-+==πππ则）
（
由（I ）得，当0)()2
,
(,0)(),0('0'
0?∈?∈t u x t t u x t 时，当时，π
在（0，0x ）上)(t u 是增函数，又)00(=u ，从而当),0(0x t ∈时，)(t u 0?，所以)(t u 在],0(0x 上无零点。 在)2,
(0π
x 上)(t u 为减函数，由0)(0?x u ，)2(πu =-4ln20?,知存在唯一 )2
,(01π
x t ∈，使0)(1=t u . 所以存在唯一的)2
,
(01π
x t ∈，使0)(1=t u .
因此存在唯一的1x ，使)(1x h =)(1t h -π=)(1t u =0. 因为当),2
(
ππ
∈x 时，0sin 1?+x ，故)(x g =（x sin 1+）)(x h 与)(x h 有相同的零点，所以存在唯一的
1x ∈),2
(ππ
，使)(1x g =0. 12. （2014福建）（本小题满分14分）
已知函数()ax e x f x
-=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处
的切线斜率为-1.
（I ）求a 的值及函数()x f 的极值； （II ）证明：当0>x 时，x
e x <2
；
（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，
0x x ，恒有x
ce x <2
. 20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x
－a .
又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.
所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x
－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.
当x ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，
且极小值为f (ln 2)＝e ln 2
－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．
(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x
－2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，
所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2.
(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2.
故当x >0时，x 2.
取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2.
②若0>1，要使不等式x 2kx 2
成立．
而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2
)，只要x >2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2
x
.
所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．
取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．
又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0. 即存在x 0＝16c
，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2.
综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2. 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．
(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4
c
，
由(2)知，当x >0时，e x >x 2
，所以e x
＝e x
2·e x 2>? ????x 22·? ??
??x 22
，
当x >x 0时，e x
>? ??
?
?x 22? ????x 22>4c ? ??
??x 22＝1
c x 2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2
. 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．
(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3.
证明如下：
令h (x )＝13
x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x
.
由(2)知，当x >0时，x 2
，
从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以h (x ).
取x 0＝3c ，当x >x 0时，有1c x 2<13
x 3.
因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2
.
13(2014北京)（本小题13分） 已知函数
()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π
=-∈，
（1）求证：
()0f x ≤；
（2）若sin x
a b x
<
<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.
解：（I ）由()cos sin f x x x x =-得
'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。
因为在区间(0,
)2
π上'()f x sin 0x x
=-，所以()f x 在区间0,2π??
????
上单调递减。
从而()f x (0)0f ≤=。
（Ⅱ）当0x
时，
“sin x
a x
”等价于“sin 0x ax
-”
“s i n x b x
”等价于“sin 0x bx -”
。 令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-， 当0c ≤时，()
0g x 对任意(0,)2
x π
∈恒成立。
当1c ≥时，因为对任意(0,
)2
x π
∈，'()g x cos x c
=-0，所以()g x 在区间0,2π??
????
上单调递减。从而
()
g x (0)0g =对任意(0,)2
x π
∈恒成立。
当01c 时，存在唯一的0(0,)2
x π
∈使得0'()g x 0cos x c =-0=。
()g x 与'()g x 在区间(0,)2
π
上的情况如下：
因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g =。进一步，“()0g x 对
任意(0,
)2x π
∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即2
0c π
≤， 综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x 对任意(0,)2
x π
∈恒成立；当且仅当1c ≥时，
()
0g x 对任意(0,)2
x π
∈恒成立。 所以，若sin x a
b x 对任意(0,)2x π∈恒成立，则a 最大值为2
π，b 的最小值为1.
14(2014重庆)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）
已知函数
22()(,,)x x
f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -. （1）确定,a b 的值； （2）若3c =，判断()f x 的单调性；
（3）若
()f x 有极值，求c 的取值范围.
【答案】（1） a=b=1 （2）在R 上单调递增
（3）)4(+∞，
【解析】 （1）
1
,-4-22∴-4)0(b.a ∴)-()()(-22)(∴--)(2-22-2===+=′=′=′′+=′=b a c c b a c f x f x f x f c be ae x f cx be ae x f x x x x 解得为偶函数，且
（2）上单调递增在，则时，）知，当由（R x f e e e e x f c x x x x )(013-222≥3-22)(312-22-2>=?+=′=
（3）
有极值
时，，所以，当存在极值即有正又有负，时，当无极值恒成立，时，当(x))4(c .(x)∴)(4c .f(x)0≥)(4≤c ∴.
-4-222≥-22)(2-22-2f f x f x f c c e e c e e x f x x x x +∞∈′>′=?+=′
15（2014浙江）（本题满分14分）已知函数()).(33
R a a x x x f ∈-+=
（1）若()x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(),(a m a M ，求)()(a m a M -； （2）设,R b ∈若()[]42
≤+b x f 对[]1,1-∈x 恒成立，求b a +3的取值范围.
16.（I ）因为()3333,()33,()x x a x a f x x x a x a ?+-≥=?-+
'33,()
x x a f x x x a ?+≥=?-
（i ）当1a ≤-时，有x a ≥，故()3
33f x x x a =+-，此时()x f 在()1,1-上是增函数，因此()()143M a f a ==-，
()()143m a f a =-=--，()()()43438M a m a a a -=----=
（ii ）当11a -<<时，若(),1x a ∈，()3
33f x x x a =+-，在(),1a 上是增函数，，若()1,x a ∈-，
()333f x x x a =-+，在()1,a -上是减函数，所以()()(){}max 1,1m a f f =-，()()3m a f a a ==，由于()()1162f f a --=-+，因此，当113a -<≤时，()()334M a m a a a -=--+，当1
13
a <<时，
()()332M a m a a a -=-++，
（iii ）当1a ≥时，有x a ≤，故()3
33f x x x a =-+，此时()x f 在()1,1-上是减函数，因此
()()123M a f a =-=+，()()123m a f a ==-+，故()()()23234M a m a a a -=+-+=，综上
()()()()338,1134,13132,134,1a a a a M a m a a a a a ≤-?
?
??
?--+-<≤ ?????
-=????-++<< ????
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≥??
；
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
高考数学真题导数专题及答案
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
高考真题理科数学导数
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a
5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x +为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-
2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总
2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，
当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，
精编导数及其应用高考题精选含答案
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；
当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
人教版2017年高考数学真题导数专题
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2016年高考导数试题及答案(精选)
1.(新课标1)已知函数 有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明： +x 2<2. 解：（Ⅰ） '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1 ,)x ∈+∞时，'()0f x >．所 以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0 b <且ln 2a b <，则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2 e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以() f x 不存在两个零点． 若2 e a <- ，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞． （Ⅱ）不妨设1 2x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1) -∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---． 设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---， 则 2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从 而22()(2)0g x f x = -<，故122x x +<． 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ， 求函数()h a 的值域.
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。
高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数
2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．
2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m校级：高考数学试题导数内容探究
高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。
导数历届高考试题精选含答案
导数高考试题精选 一．选择题(共16小题） 1．(20１3?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（） Ａ. 3 B．2 C. １Ｄ. ２．（2０12?汕头一模）设曲线ｙ＝aｘ２在点(1，a）处的切线与直线2x﹣ｙ﹣6=０平行,则a=（） A．１B．Ｃ. D．﹣1 ３．（201１?烟台一模)设曲线在点(３,2)处的切线与直线ax+y+1=０垂直,则a=() A. ２Ｂ．Ｃ．Ｄ．﹣２ ４．(２01０?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（) A. B. Ｃ．D． 5．（２01０?辽宁）已知点Ｐ在曲线y=上,α为曲线在点Ｐ处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A. [０,） B．Ｃ. D. 6.(201０?江西模拟)曲线ｙ=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(） A. 30° B. 4５°C．60°D．1２０°７．(2009?辽宁)曲线ｙ＝在点(1,﹣１）处的切线方程为（) A. y=x﹣２ B. ｙ=﹣3x＋２Ｃ. y=２x﹣３ D. ｙ=﹣2ｘ＋１ 8.（2００9?江西）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x３和都相切，则a等于（) A． ﹣1或B. ﹣１或 Ｃ． 或 D. 或7 ９．（２006?四川)曲线y=4ｘ﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是（) A．y=7ｘ+4 B. ｙ=7x+2 C．y=x﹣4 D．y＝x﹣2 10.（2012?海口模拟）已知f（ｘ)＝alｎｘ＋x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A. (0,1]B．（１,+∞） C. (0，１) D．[1,+∞)
最新2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷 导数及其应用 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．22 (1cos )x dx π π-+?等于（ ） A ．π B . 2 C . π-2 D . π+2(2009福建理) 2．若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为（ ） A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2011江西理4） 3．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2 1x e x x ++ (211) 1 24x x <-+ (C)21cos 12x x -… (D)21 ln(1)8 x x x +-… 4．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()() 00S t S =，则导函数()' y S t =的图像大致为 二、填空题 5．已知3 2 ()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________ 6．已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a 3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实
数a 的取值范围是 ▲ ．(0，－3＋21 2) 7． 若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .[1,5) 8．曲线2 y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为________ 9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ． 10．已知32()33f x x bx cx =++有两个极值点12,x x ，且[][]121,0,1,2x x ∈-∈，则(1)f 的取值范围 ． 11．已知函数ln ()x f x x = ，则()f x 的最大值为 12．函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 . 13．若函数()()02 3 >-=a ax x x f 在区间?? ? ??+∞,320上是单调递增函数，则使方程()1000=x f 有整数解的实数a 的个数是 。 三、解答题 14． 已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； (2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围． .
高考导数压轴题题型(精选.)
高考导数压轴题题型 李远敬整理 2018.4.11 一．求函数的单调区间，函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； 【解析】 （1）12 11()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21 ()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； 【解析】 (1)f ′(x )＝1 e x x m - +. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1 e 1 x x -+. 函数f ′(x )＝1 e 1 x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 3.【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x --- （1）讨论()f x 的单调性； 【解析】 （1）+ -2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f （x ）在（—∞，+∞）单调递 增 【2015新课标2】21. 设函数 f (x )=e mx +x 2-mx 。 （1）证明： f (x )在 (-￥,0)单调递减，在 (0,+￥)单调递增； （2）若对于任意 x 1,x 2?[-1,1]，都有 |f (x 1)-f (x 2)|￡e -1，求m 的取值范围。
文科高考导数试题
文科高考导数试题
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导数高中数学组卷 一．选择题（共22小题） 1．（2015?绵阳模拟）设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，则b的最大值是（） A．B．C．D． 2．（2015?红河州一模）若函数f（x）=x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0） 3．（2015?开封模拟）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞） 4．（2015?泸州模拟）设函数f（x）=ax3+3x，其图象在点（1，f（1））处的切线l与直线x﹣6y﹣7=0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（） A．1B．3C．9D．12 5．（2014?郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D． 6．（2014?郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D． 7．（2014?西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4 8．（2014?广西）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（） A．2e B．e C．2D．1 9．（2014?武汉模拟）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]C．[0，3]D．[3，+∞] 10．（2014?包头一模）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1 11．（2014?郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（） A．0B．﹣4 C．﹣2 D．2 12．（2014?江西二模）已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）
