数列知识点及典型题分析

数列的概念与简单表示法

知识要点梳理

知识点一：数列的概念

⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.)

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. (如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….)

⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。

3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项

知识点二：数列的分类

1. 根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列

2. 根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

知识点三：数列的通项公式与前项和

1. 数列的通项公式

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

如数列：的通项公式为（）；

的通项公式为（）；

的通项公式为（）；

注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；

（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；

它的通项公式可以是，也可以是.

（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．

2. 数列的前项和

数列的前项逐个相加之和：；当时；当时，，.

故.

知识点四：数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

关于数列的一些问题常通过函数的相关知识方法解决，如：单调性，最值等.

知识点五：数列的表示方法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法（解析式法、图象法、列表法）有联系.

1. 通项公式法（解析式法）：

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2. 图象法：

数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

3. 列表法

相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，依次写出成为，，…，

，…，简记为．

4. 递推公式法

递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。

规律方法指导

1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；

（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.

2.数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上，根据此特殊性可以判定一个数是否数列中的项；数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.

3. 递推公式也是给出数列的一种方法.

经典例题

考点1 数列的通项公式

类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:

(1) 0, ,,,…；(2) 1, ,,,…；(3) 9, 99,999, 9999,…；(4) 6, 1, 6,1,….

总结升华：写通项时注意以下常用思路：

①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；

②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n 作指数，让数列中隔项出现倒数； ③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。

④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化. 举一反三（1）：

【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,…； （2）1，21-，31，4

1

-，…； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…； （4）－

312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯，

…；

变式训练1 某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ①a n ＝

22[1＋(－1)n

] ②a n ＝n )(11-+ ③a n ＝⎩

⎨

⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是（ ）

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式

【例2】1、已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .

⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n

n S .

【例2】2、已知数列的前项和公式，求通项

.

（1）， (2)

.

举一反三（2）1：已知数列的前项和，求通项.

举一反三（2）2：已知数列的前项积，求通项

变式训练2：已知数列的前n 项和Sn 满足log 2(Sn+1)=n+1,求{a n }的通项公式

题型3 已知数列的递推式，求通项公式 【例3】数列{}n a 中，)2(22,11

1

1≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a .

变式训练3：已知数列满足：，，写出前5项，并猜想．

变式训练4：数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a .

考点2 与数列的通项公式有关的综合问题

题型1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项

【例4】数列{}n a 中，452

+-=n n a n . ⑴18是数列中的第几项？ ⑵n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值.

.

变式训练5：数列{}n a 中，12832

+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.

题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性 例5．已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明.

变式训练6：数列中：,（），（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；（2）判断它的单调性.

强化巩固练习1 一、选择题

1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．17

2．数列{a n }中，a n ＝－2n 2

＋29n ＋3，则此数列最大项的值是 ( ) A ．107 B ．108

C ．1081

8

D ．109

3．在数列{a n }中，a 1＝1

2

，对所有n ∈N *都有a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( )

A.3115

B.259

C.2516

D.6116 4．(2010·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2 D ．k >－3 5．(2009·江西中学一模)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ∈N *时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，若数列{a n }的前k 项和为243，则k 等于( ) A ．61 B ．62 C ．63 D ．64 二、填空题(每小题5分，共20分)

6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n ＋1

n ＋2

，则a 5＋a 6＝__________.

7．(2010·青岛模拟)数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1

a n －1

(n ＝2,3,4，…)，则a 4＝________；

8、下面各数列的前n 项和Sn 的公式,求{a n }的通项公式. (1) Sn=2n 2-3n (2) Sn= 3n -2

强化巩固练习2 1．下列解析式中不．是数列1,1,1,1,1-- ，的通项公式的是（ ） A. (1)n

n a =- B. 1

(1)n n a +=- C. 1

(1)

n n a -=- D. {1

1n n a n =-，为奇数，为偶数

2，的一个通项公式是（ ）

A. n a =

B. n a =

C. n a =

D. n a =

3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1

120

是这个数列的第（ ）项.

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

4．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（ ） A. 非负整数集 B. 正整数集

C. 正整数集或其子集

D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n

5．已知数列{}n a ，2

2103n a n n =-+，它的最小项是（ ）

A. 第一项

B. 第二项

C. 第三项

D. 第二项或第三项

6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6-

二.填空题

7.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = .

8.已知2

2()log (7)f x x =+，()n a f n =，则{}n a 的第五项为 .

1524354863

10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n

a a a +=+-，则4a = .

三.解答题

11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；

②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.

12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.

数列的概念与表示方法参考答案

例1： （1）将数列改写为

，

，

，

，…， 故.

（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用

来表示；

其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.

（3）将数列改写为

,

,

,

，…， 故

.

（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…， 故或

举一反三（1）：(1)

； （2）n

1

(-1)a 1n n ∙

=+； (3)

； （4）a n ＝1)1)(2n -(2n 2(-1)n

n

+。

变式训练1：D

【例2】1：利用⎩⎨⎧≥-==-)2()

111n S S n S a n n

n （，这是求数列通项的一个重要公式.

【解析】⑴当1=n 时，513122

11=⨯+⨯==S a ，

当2≥n 时，[]

)1(3)1(2)32(2

21-+--+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n . 当1=n 时，15114a ==+⨯，14+=∴n a n .

⑵当1=n 时，41311=+==S a ， 当2≥n 时，1

1132)13()13(---⨯=+-+=-=n n n n n n S S a .

当1=n 时，11

123

2a ≠=⨯-，⎩

⎨⎧≥⨯==∴-)2(32)1(41

n n a n n . 【例2】2：思路点拨: 先由

时，

，求出

；再由当

时，

，求出，并验证

是否符合所求出

的

. 解析：（1）当

时，

，

当时，，∴

（2）当时，，

当时，

， ∴()为所求.

举一反三（2）1：当

时，

，

当

时，， ∴.

举一反三（2）2：

当时，， 当时，，∴

变式训练2：解: 3

1

2

2n

n n a

n =⎧∴=⎨≥⎩ （任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：

⎩⎨⎧≥-==-)

2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.）

【例3】：【解题思路】已知{}n

a 的递推公式)(1-=n n

a f a

求前几项，可逐步计算.

,62,52,42,32,22，可以归纳出1

2

+=

n a n . 变式训练3：法一：

，，，观察可得法二：由，∴即

∴

∴

变式训练4：【解析】 1

2,111

+==+n n a a a

∴31212=+=a a ，71223=+=a a ，151234=+=a a ，311245=+=a a

由 ,1231,1215,127,123,1215

4321-=-=-=-=-=，可以归纳出1

2+=n a n

【例4】：⑴由0145184522

=--⇒=+-n n n n ，解得7=n ，∴18是数列中的第7项.

⑵ 4

9

)25(4522--=+-=n n n a n ，+∈N n ∴2=n 或3=n 时，25242)(2m in -=+⨯-=n a

变式训练

5：【解析】3193314312832

2

-

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=+-=n n n a n ，∴5=n 时，n a 取最小值. 【例5】：∵

， ∴（）∴数列是

递增数列.

变式训练6：（1）

,,, , ,∴ ；

（2）方法一：∵，∴ 数列是递减数列.

方法二：∵函数在上单调递减，∴ 数列是递减数列.

强化巩固练习1

1、A 解析：∵S n ＝n 2－1，∴a 4＝S 4－S 3＝16－1－(9－1)＝7.

2、B 解析：a n ＝－2n 2

＋29n ＋3＝－2(n 2

－292n )＋3＝－2(n －294)2＋3＋292

8

.当n ＝7时，a n 最大且等于108。

3、D 解析：{ a 1a 2…a n ＝n 2 a 1a 2…a n ＋1＝(n ＋1)2

⇒a n ＋1＝(n ＋1n )2⇒a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116

.

4、D 解析：∵a n ＋1>a n ，∴a n ＋1－a n >0.又a n ＝n 2＋kn ＋2，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－(n 2＋kn ＋2)>0. ∴k >－2n －1.又－2n －1(n ∈N *)的最大值为－3，∴k >－3.

5、B 解析：∵a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2，a 4＝4，a 5＝8，a 6＝2，a 7＝6，a 8＝2，a 9＝2，….

∴数列{a n }是从第2项起周期为6的数列，并且a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝24.又S k ＝243，∴k ＝62.

6、1

24 解析：∵S n ＝n ＋1n ＋2，∴a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝124

. 7、解析：∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－12＝1

2，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2；

8、解: (1),111-==S a 当n ≥2时,541-=-=-n S S a n n n ，由于a 1也适合此等式,所以 54-=n a n

(2),111-==S a 当n ≥2时,1

13

2--⋅=-=n n n n S S a ⎩⎨

⎧≥⋅==∴-23

211

1

n n a n n 强化巩固练习2

1.A

2.B

3.B

4.D

5.D

6.D 7、29 8、5 9.22

(3)1

1

n n a n +-=+ 10、25- 11.设n a kn b =+,则31021k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得2

1

k b =⎧⎨=⎩,∴21()n a n n N *=+∈,∴20054011a =,

又∵2a ,4a ,6a ,8a , 即为5,9,13,17,…,∴41n b n =+.

12. ∵13a =,121n n a a +=+,∴27a =,315a =,431a =,563a =,∴猜得121n n a +=-