第十一章习题解答
第十一章习题解答标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第十一章 微分方程
习题11－1
1．说出下列各微分方程的阶数：
（1）2
0dy dy x y dx dx ??
+-= ???
； （2）220d Q dQ Q L R
dt dt C -+=； （3）220xy y x y '''''++= ； （4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；
（5）2sin y y y x '''++= ； （6）2d sin .d ρ
ρθθ
+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1）22 , 5;xy y y x '==
（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-
（3）221
, ;y x y y x
''=+=
（4）21221 , sin cos .2
x x d y y e y C x C x e dx +==++
解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ?=?
∴25y x =是方程的解．
（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得
∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解． （3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 2
32
21x x x
≠+ ∴1
y x
=
是方程的解． （4）∵ 21212211
cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程， 得 121sin cos 2x C x C x e ?
?--++ ??
?121sin cos 2x x C x C x e e ??++= ???
∴121
sin cos 2
x y C x C x e =++是方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
（1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==
解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得 移项后即得 ()22 x y y x y '-=-
故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．
（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=
+=+， 即 y y xy x
'=- ()()
()
()
()
2322
2
3
122 y xy x y y xy xy y y
xy xy xy
y xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''=
=
=
---，
代入微分方程，得
故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．
4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==
（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==
∴222 =0011C -+=
即 221x xy y -+=
（2）()122 x y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 112
1C C C =??+=?
∴12 =0 , =1C C ， x y xe =
（3）12sin cos x C t C t ωωωω'=-+，由00| 1 , |t t x x ω=='==，得 121
C C ωω
=??=?
∴12 =1 , =1C C ， cos sin x t t ωω=+
5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方；
（2）曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分. 解：（1）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)x y 处切线的斜率为y '，由条件知
2y x '=，此即为所求曲线的微分方程.
（2）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)P x y 处法线的斜率为1
y -'
，由条件知线段PQ 中点的横坐标为0，所以Q 的坐标为(,0)x -，则有 即所求曲线的微分方程为 20yy x '+=．
习题
11－2
1．求下列微分方程的通解：
（1）ln 0;xy y y '-= （2）23550;x x y '+-=
（3'= （4）2();y xy a y y '''-=+ （5）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （6）2d (4)d 0.y x x x y +-= 解：（1）原方程可写为ln 0dy
x
y y dx
-=，分离变量，得
d 1,ln y dx y y x = 两端积分，得 11
ln dy dx y y x
=?
? 即 ln ln ln ln ln y x C Cx =+=，亦即ln y Cx = ，故通解为Cx y e = （2）原方程可写为
235dy x x dx =+，两端分离变量并积分，得 23
()5dy x x dx =+??， 故通解为2311
25
y x x C =++ .
（3）原方程可写为
dy dx =,两端分离变量并积分，得=，故
通解为arcsin arcsin y x C =+.
（4）原方程可写为21dy ay dx x a
=--,两端分离变量并积分，得211a
dy dx y x a =--??
，故通解为
1
ln 1a x a C y
=+-+.
（5）分离变量，得
cos cos d d sin sin y x y x y x =- ，两端积分，得 cos cos d d sin sin y x
y x y x
=-?? ， 1ln sin ln sin y x C =-+，1ln sin sin x y C ?=，故通解为sin sin x y C = ，其中1C C e =±为任意常数. （6）分离变量，得，
24dx dy
x x y
=-
积分，得 1
144dy dx x x y ??+= ?-??
??， 即 4ln ln(4)ln ln x x C y --+=，故通解为4(4)x y Cx -=． 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）20,|0;x y x y e y -='== （2）0cos sin d cos sin d ,|;4
x x y y y x x y π
===
（3）2
sin ln ,|
;x y x y y y e π=
'== （4）0cos d (1)sin d 0,|;4
x
x y x e y y y π
-=++==
（5）2d 2d 0,|1;x x y y x y =+== （6）220(+)d ()d 0,| 1.x xy x x x y y y y =+-==
解：（1）分离变量并积分得， 2y x e dy e dx =?，即通解为 21
2
y x e e C =+，
由条件0|0x y ==，得112C =+， 12C =，故满足初始条件的特解 21
(1)2y x e e =+ ．
（2）分离变量并积分得，sin sin d d cos cos y x
y x y x
=?
?， 即 ln(cos )ln(cos )ln y x C -=--， 亦即通解为cos cos y C x =， 由条件
0|4
x y π
==
，得 cos
cos 04
C π
=，C =
，
故满足初始条件的特解 cos 0x y =． （3）分离变量并积分得，1
csc ln dy xdx y y
=?
?， 即ln(ln )ln(tan )ln 2x y C =+，亦即通解为ln tan 2x
y C =，
由条件2
|
x y e π=
=，得ln tan 4
e C π
=，1C =，故满足初始条件的特解ln tan
2
x
y =．
（4）分离变量并积分得，tan 1x x
e ydy dx e
-=+??，通解为(1)sec x
e y C +=，
由条件0|4
x y π
==
，得C =(1)sec x e y +=．
（5）分离变量并积分得，12
dy dx y x
=-??，通解为2x y C =
由条件2|1x y ==，得4C =，故满足初始条件的特解24x y =． （6）分离变量并积分得，2211y x dy dx y x
=+-?
?，通解为22
(1)(1)x y C -+= 由条件0|1x y ==，得2C =，故满足初始条件的特解22(1)(1)2x y -+=． 3．求下列齐次方程的通解：
（1）0;xy y '-= （2）d ln ;d y y
x
y x x
= （3）22()d d 0;x y x xy y +-= （4）332()d 3d 0;x y x xy y +-=
（5） ;y x
y
y e x '=+ （6）(12)d 21d 0.x x
y y x e x e y y ??
++-
= ??
?
解：（1）原方程可写为dy y dx x =y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+
代入原方程，得d
d u
u x
u x +=+1dx x =，
积分得 ln(ln ln u x C =+，即u Cx =，
亦即 y Cx x +=，原方程的通解2y Cx =．
（2）原方程可写为
d ln d y y y x x x =，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u
u x x x
=+ 代入原方程，得d ln d u
u x
u u x
+=，分离变量积分得 ()11ln 1du dx u u x =-?
?， 即 ln(ln 1)ln ln u x C -=+，亦即 ln 1y Cx x =+，原方程的通解ln 1y
Cx x
=+． （3）原方程可写为
d d y y x x x y =+，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u
u x x x
=+
代入原方程，得d 1d u u x
u x u +=+，分离变量积分得 1
udu dx x
=??， 即 22ln u x C =+，，将y
u x =代入上式得原方程的通解22(2ln )y x x C =+．
（4）原方程可写为22d d 33y y x x x y =+，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u
u x x x
=+
代入原方程，得2d 1
d 33u u u x x u
+=+，分离变量积分得 233112u du dx u x =-??， 即 311ln(12)ln 2u x C --=+，亦即 3221C
u x =-，其中1C C e =，将y u x =代入上式，
得原方程的通解332x y Cx -=． （5）令y u x =
，则 ,y ux =d d ,d d y u y u x x x '==+代入原方程，得d d u u
u x e u x
+=+，即 ln u
e
Cx --=，将y
u x
=代入上式，得原方程的通解ln 0y
x e Cx -+=．
（6）原方程可写为12d d 12x
y x
y
x e
y x y
e ??- ???=+，令x u y =，则 ,x u y =d d ,d d x u u y y y =+ 代入原方程，得d 2(1)dy 12u u u e u u y e -+=+，分离变量积分得 1212u u e du dy u e y
+=-+??， 即 ln(2)ln ln u u e y C +=-+，亦即 (2)u y u e C +=，将y
u x
=代入上式，得原方程的通解2x
y
x ye C +=
4．求下列线性微分方程的通解：
（1）d ;d x y
y e x
-+= （2）232;xy y x x '+=++
（3）tan sin 2;y y x x '+= （4）d 32;d ρ
ρθ
+=
（5）ln d (ln )d 0;y y x x y y +-= （6）2d (6)20.d y
y x y x
-+=
解：（1）原方程是()1P x =，()x Q x e -=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方
程的通解为()
()dx dx x x
x
x x y e e e dx C e e
e dx C e x C -----????=?+=?+=+ ???
??．
（2）原方程可化为123y y x x x '+
=++，它是1()P x x =，2
()3Q x x x
=++的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为()112
21332dx dx x x y e x e dx C x x dx C x x
-
????????=++?+=+++?? ?????????213232C x x x =+++； （3）原方程是()tan P x x =，()sin 2Q x x =的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为
tan tan 2sin 2sin 2cos cos 2cos cos xdx xdx x y e x e dx C x dx C C x x x -??????=?+=+=- ? ?
????
??． （4）原方程是()3P θ=，()2Q θ=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得
333332223333
d d C C C
e e d e e dx e θθθθθρθ---???
???=?+=+=+ ? ??
?
?
?
?? ，
即原方程的通解为 332Ce θρ-=+． （5）原方程可化为1=ln dx x dy y y y +，它是1()ln P y y y =，1
()Q y y
=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得
1
1
2ln ln 11111ln ln 2ln 2ln 22dy dy
y y y y C C C x e e dy ydy y y y y y -
????????=?+=?+=+ ? ? ? ??????
???， 即原方程的通解为22ln ln x y y C =+． （6）原方程可化为3=2dx x y dy y --，它是3()P y y =-，()2
y
Q y =-的一阶非齐次线性方程.由通解公式得
33
323311222dy dy
y y y y x e e
dy C y dy C y Cy y -????????=-?+=-?+=+?? ? ?????????
??． 5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）0d tan sec ,|0;d x y y x x y x =-== （2）21d 4,| 2 ;d x y y
x y x x =+==
（3）
cos 2
d cot 5,|4;d x x y y x
e y x π=+==- （4）0d 38,| 2 d x y
y y x =+==.
解：（1）由公式可得一阶线性微分方程通解为
()tan tan 11sec sec cos cos cos xdx
xdx y e x e dx C x xdx C x C x x -???
???=?+=?+=+????????
由0|0x y ==得0C =，故特解为cos x
y x
=
. （2）由公式可得一阶线性微分方程通解为
由1
2x y
==得1C =，故特解为3
1y x x
=+. （3） 由公式可得一阶线性微分方程通解为 由2
4x y
π=
=得1C =，故特解为cos 151sin x
y e x
??=
-+??，即 cos sin 51x y x e +=. （4）由公式可得一阶线性微分方程通解为
由0| 2 x y ==得23C =-，故特解为32
(4)3
x y e -=-.
6．求下列伯努利方程的通解：
（1）2d (cos sin );d y y y x x x +=- （2）33d 22 .d y
xy x y x
+=
解：方程两边同除以2y ，得21d cos sin d y
y y x x x
--+=-
令1z y =
，2d d y dz y x dx -=-，则原方程变为sin cos dz z x x dx
-=-，故 将1z y =
代入上式，得原方程通解为1sin x Ce x y =-.1
sin x x Ce y
=-+； （2）方程两边同除以3y ，得323d 22d y
y xy x x
--+= 令21z y =
，3d 1d 2y dz y x dx -=-，则原方程变为3
44dz xz x dx
-=-，故 将21z y =
代入上式，得原方程通解为222212
x y Ce x -=++． 7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： （1）
2d ();d y
x y x
=+ （2）d 11;d y x x y =
+- （3）(ln ln );xy y y x y '+=+ （4）212x y y e +-'=-．
解：（1）令u x y =+，则1dy du dx dx =-，从而原方程可化为21du u dx
=+，分离变量积分得2
1du
dx u =+??
，即arctan x u C =+. 将u x y =+代入，得原方程的通解为arctan()x x y C =++，即tan()y x x C =-++．
（2）令u x y =-，则
1dy du dx dx =-，从而原方程可化为1
du dx u -=，分离变量积分得
udu dx =-??，即2112
x u C +=. 将u x y =-代入，得原方程的通解为2
()2x y x C -=-+ （其中12C C =）．
（3）令u xy =，则2
,du
x
u
u dy
dx y x dx x -==
，从而原方程可化为21()ln du u u u x u x dx x x x -+=，分离变量积分得ln dx du
x u u
=??，即 ln ln ln(ln )x C u +=，亦即C x u e =，将u xy =代入，
得原方程的通解为1
C x y e x =．
（4）令21u x y =+-，则2dy du y dx dx '==-，从而原方程可化为u du
e dx
=，分离变量积分得
u
dx e
du -=??，即u e C x -=-. 将21u x y =+-代入，得原方程的通解为
12ln y x C x =---．
8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：
（1）(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y y x x ++-=； （2）2()0x y dx xdy --=； （3）22()0x y dx xydy ++= ； （4）22(1)20e d e d θθρρθ++=． 解：（1）这里(,)sin sin , (,)cos cos P x y y y x Q x y x y x =-=+，
cos sin P Q
y x y x
??=-=??，所以（1）是全微分方程．取000 , 0x y ==， 根据公式0
0(,)(,)(,)x y
x y u x y P x y dx Q x y dy =+??，有
于是全微分方程的通解为sin cos x y y x C +=．. （2）这里2(,),(,)P x y x y Q x y x =-=-,于是有
1P Q
y x
??=-=??，所以（2）是全微分方程．取000 , 0x y ==，根据公式0
0(,)(,)(,)x
y x y u x y P x y dx Q x y dy =+??，有
于是全微分方程的通解为3
3
x xy C =+．
（3）这里22(,),(,),P x y x y Q x y xy =+=2P y y ?=?，Q y x
?=?，显然P Q y x ??≠??，所以（3）不是全微分方程．
（4）22(1)20e d e d θθρρθ++=．这里22(,)1,(,)2P e Q e θθρθρθρ=+=，显然
22P Q
e θθρ
??==??，所以（4）是全微分方程，取000 , 0ρθ==，根据公式0
0(,)(,)(,)u P d Q d ρθ
ρθρθρθρρθθ=+?? ，有
于是全微分方程的通解为2(1)e C θρ+=．
9．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于
2x y +.9． 2(1)x y e x =--．
解：设曲线的方程为()y y x =，由题意知2y x y '=+，0|0x y ==，于是
()
()222122dx dx x x x x x
y e x e dx C e xe dx C e x e C Ce x ---??????=?+=+=-++=-- ?????
??由0|0x y ==，得2C =，于是所求曲线的方程为2(1)x y e x =--
10．质量为lg （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比.在10s t =时，速度等于50cm/s ，外力为24g cm/s ?，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少
解 ：已知t F k v =?，并且10t s =时50/v cm s =，4/F g cm s =?，故10
450k =?，从而
20k =，因此20t F v =?.又由牛顿定律F ma =，即201t dv
v dt
?=?，故20vdv tdt =，积分得
2
21102
v t C =+，即v ，再代入初始条件得2250C =，因此所求特解为
v 60t s =时269.3(/)v cm s ==≈．
11．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量0R 的一半.试求镭的量R 与时间t 的函数关系.
解： 设比例系数0λ>，则由题意可得
dR R dt λ=-?.分离变量积分可得dR dt R
λ=-??，即1ln R t C λ=-+，从而1()C t R C e C e λ-=?=，因为0t =时0R R =，所以0R C =，即
0t R R e λ-=?.又因为1600t =时02R R =
，所以1600002R R e λ-=?，从而ln 21600
λ=，因此镭的量R 与时间t 的函数关系为ln 2
0.0004331600
00t t R R e
R e --==，.时间以年为单位．
12．设有连结点(0,0)O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点
(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程.
解： 曲线弧OA 的方程为()y y x =，由题意得 两边求导得11()()()222y x y x xy x x '-
-=，即4y
y x
'=-， 令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+上式可化为4du x dx
=-，分离变量积分得
4ln u x C =-+.将y
u x
=代入，得 4ln y x x Cx =-+.
由于(1,1)A 在曲线上，因此(1)1y =，代入得1C =，从而曲线弧OA 的方程为
(14ln )y x x =-，01x <≤；当0x =时0y =.
13．设有一质量为m 的质点作直线运动.从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为1k ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为2k ）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系. 解 由牛顿定律知12dv m
k t k v dt =-，即21k
k dv v t dt m m
+=，因此 由0t =时0v =得122k m C k =，故222
111222
22k
k
k
t t t m m
m k k m k m v e te e k k k -??=-+ ???，即质点运动的速度
与时间的函数关系为211222
(1)k
t m k k m
v t e k k -=--．
习题11－3
1.求下列各微分方程的通解：
（1）229
0;4
d y x dx -= （2）;x y x
e '''=
（3）2(1)2;x y xy '''+= （4）22
0.1y y y
'''-
=- 解：（1）原方程变形，得229
4
d y x dx =，
对所给方程接连积分两次，得2
198
y x C '=
+， 3123
8
y x C x C =++ ，这就是所求的通解.
（2）对所给方程接连积分三次，得
2123(3)x y x e C x C x C =-+++. 这就是所求的通解.
（3）令(),y p x y p ''''==，原方程可化为2(1)2x p xp '+=，即
2
21dp xdx p x =+，积分得21ln ln(1)ln p x C =++，亦即21(1)p C x =+，21(1)y C x '=+，所以
就是原方程的通解．
（4）令()y p y '=,则dp
y p dy ''=，原方程化为2201dp p p dy y -=-，即201dp p p dy y ??-=??-??， 当0p =时，得原方程的一个解为y C =，它不是通解； 当0p ≠时，约去p ，分离变量积分，得2(1)p y C -=，即2
(1)dy C
p dx y =
=-，从而2(1)y dy Cdx -=，积分得312(1)y C x C -=+，其中13C C =，因此原方程的通解为312(1)y C x C -=+．
2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： （1）111, |||0 ;x x x x y e y y y ===''''''====
（2）00| 1 , | 2 ;x x y y y =='''=== （3）2000 , ||0 ;y x x y e y y =='''-=== （4）31110 , | 1 , |0 x x y y y y =='''+===．
解：（1）1+C x x y e dx e ''==?，由1|0 x y =''=得，1C e =-，即x y e e ''=-，
2()+C x x y e e dx e ex '=-=-?，由1|0 x y ='=得，20C =，即x y e ex '=-，
23()+C 2x x e y e ex dx e x =-=-?，由1|0 x y ==得，32
e
C =-，
故222x e e
y e x =-- 为 原方程的所求特解 ．
（2）令()y p y '=，那末 dp y p
dy ''=
，得dp
p
dy
=
pdp =， 积分得3
2
21122
p y C =+，由00 | 1 , |2x x y y =='==得10C =，从而342y p y '==±
，又
y ''=，可知34
2y y '=，即342y dy dx -
=，积分得14
242y x C =+， 由0 | 1 x y ==，得24C =，所以4
112y x ??
=+ ???为所求特解．
（3）令()y p y '=，那末dp y p
dy ''=，得20y dp
p e dy
-=，即2y pdp e dy =，积分得2211122
y
p e C =+，由00
0x x y y
=='==得11
2
C =-
，从而22()1,y y e y ''=-=
dx =±
y dx -=±，积分得2arcsin y e x C --=±+，由0
0x y
==，得
22C π
=-
，所以sin()cos 2
y e x x π
-=±+=，原方程特解为lnsec y x =． （4） 令y p '=,则dp y p
dy ''=，原方程变为31dp
y p
dy
=-，从而3pdp y dy -=-，积分得2121p C y =
+，即2
12
1()y C y
'=+，由111,
0x x y y =='
==得11C =-，从而2
21
()1y y
'=
-，
即y '=
dx =±
，积分得2x C =±+，再由1
1x y ==得
21C =
，因此所求特解为(1)x =±-，即221(1)y x -=-
亦即222x y x +=
，或y =
（舍去y =，因为1
1x y ==）．
3．试求y x ''=的经过点(0,1)M 且在此点与直线12
x
y =
+相切的积分曲线.
解：由积分曲线经过点(0,1)M 知，01x y ==，又由积分曲线在点(0,1)M 与直线12
x y =
+相切知，012
x y ='
=
. 对方程y x ''=积分得，2
112
y xdx x C '==
+?，利用条件012x y ='=
，从而11
2
C =，即211
22y x '=+，再积分得，3262x x y C =++，利用条件0
1x y
==，从而21C =，
于是3162
x x
y =++．
4．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的 （1）2cos , ;x x （2）22,5 ;x x （3）22,3;x x e e （4）2sin ,1 ;x （5）cos 2,cos sin ;x x x （6）2
2
,;x x e xe （7）ln ,2ln ;x x （8）1212,().x x e e λλλλ≠ 解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）线性无关．
因为：对于定义在区间I 上的两个函数1()y x 与2()y x ，如果1()y x 与2()y x 在区间I 上线性相关，则存在两个不全为0的常数12 , k k ，使得对于?x I ∈恒有
1122()()0k y x k y x +=成立，即
12()()y x y x 或21()()y x y x 恒为常数．因而如果12()()y x y x 或21()
()
y x y x 均不为常数，则称1()y x 与2()y x 在区间I 上一定线性无关.
（1）、（4）、（5）、（6）、（8）中的两个函数之比均不为常数，所以这五组
函数均线性无关.相反地（2）（3）（7）线性相关．
5．验证21x y e -=及62x y e -=都是方程8120y y y '''++=的解，并写出该方程的通解. 解： 因为21x y e -=，22112,4x x y e y e --'''=-=，
62x y e -=，66226,36x x y e y e --'''=-=，
所以21x y e -=和 62x y e -=都是已知方程的解.
由于24162x
x x y e e y e
--==不为常数，因此1y 与2y 线性无关，所给方程的通解为
2612x x y C e C e --=+.
6．验证1sin y x =及2cos y x =都是方程0y y ''+=的解，并写出该方程的通解. 解： 因为1sin y x =，11cos ,sin y x y x '''==-，
2cos y x =，22sin ,cos y x y x '''=-=-，
所以1sin y x =何2cos y x =都是已知方程的解.
由于
1
2
tan y x y =不为常数，因此1y 与2y 线性无关，所给方程的通解为12sin cos y C x C x =+.
7．求下列微分方程的通解：
（1）3100;y y y '''--= （2）40;y y '''-= （3）20; y y ''+= （4）8160;y y y '''++=
（5）22d d 690;d d x x
x t t
-+= （6）220y y y '''++=．
解：（1）特征方程为23100r r --=，解得122,5r r =-=，故方程的通解
2512x x y C e C e -=+．
（2）特征方程为240r r -=，特征根为120,4r r ==，故方程的通解为412x y C C e =+． （3）特征方程为220r +=
，解得1,2r =
，故方程的通解
12y C C =+．
（4）特征方程为28160r r ++=，特征根为124r r ==-，故方程的通解为
412()x y C C x e -=+．
（5）特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==，故方程的通解为312()t x C C t e =+．
（6）特征方程为2
220r r ++=
，特征根为1,221i 21
r -=
=-±?，故方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+．
8．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）00680,|1,|6;x x y y y y y ==''''-+=== （2）00440,|2,|0;x x y y y y y ==''''++=== （3）00340,|0,|5;x x y y y y y ==''''--===- （4）006130,|3,|1x x y y y y y ==''''++===-．
解：（1）特征方程为2680r r -+=，特征根为122,4r r ==，故方程的通解为
2412x x y C e C e =+
代入初始条件00|1,|6x x y y =='==，得12121246C C C C +=??+=?，解之得121
2C C =-??=?，从而所求特解
为242x x y e e =-+．
（2）特征方程为24410r r ++=，特征根为121,3r r ==，故方程的通解为
312x x y C e C e =+
代入初始条件002,0x x y y =='==，得12126310C C C C +=??+=?，解之得12
4
2C C =??=?，从而所求特
解为342x x y e e =+．
（3） 特征方程为2340r r --=，特征根为121,4r r =-=，故方程的通解为
412x x y C e C e -=+
代入初始条件00
0,5x x y
y
=='==-，得1212045
C C C C +=??-+=-?，解之得1211C C =??=-?， 从而所求特解为4x x y e e -=-
（4）特征方程为2
6130r r ++=
，特征根为1,2632i 21
r -±=
=-±?，故方程的通解为312(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+
代入初始条件00|3,|1x x y y =='==-，得1123321C C C =??-+=-?，解之得123
4C C =??=?，从而所求
特解为3(3cos 24sin 2)x y e x x -=+．
9．写出下列各微分方程的待定特解的形式（不用解出）： （1）355;x y y y e '''-+= （2）3;y y '''-=
（3）2276(521);x y y y x x e '''-+=-- （4）369(1)x y y y x e '''-+=+．
解（1）特征方程为2
350r r -+=
，解得1,2331
i 2122
r ±=
=±?． 又因为()5x f x e =，1λ=是特征根，故待定特解的形式为*x y ae =． （2）特征方程为20r r -=，特征根为120,1r r ==．
又因为()3f x =，0λ=是特征根，故待定特解的形式为*y ax =． （3）特征方程为2760r r -+=，特征根为1216r r ==．
又因为22()(521)x f x x x e =--， 2λ=不是特征根，故待定特解的形式为
*22()x y ax bx c e =++．
（4） 特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==．
又因为3()(1)x f x x e =+，3λ=是特征根，故待定特解的形式为*23()x y x ax b e =+． 10．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： （1）sin 20, |1, |1;x x y y x y y ππ=='''++=== （2）00325, |1, |2;x x y y y y y ==''''-+=== （3）004, |0, |1;x x x y y xe y y =='''-=== （4）0045, |1, |0x x y y y y ==''''-===．
高数第十一章习题
第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ?L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要求α ________β. 5、计算下列求弧长的曲线积分: 1、 ?+L y x ds e 2 2,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、?Γ yzds x 2 ,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3、?+L ds y x )(2 2 ,其中Ｌ为曲线? ??-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算?L ds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x . 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 . 答案一、1、?L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<. 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a . 三、)43(3 22 22222k a k a a I z ππ++=；222 2436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++= . 第二节对坐标的曲线积分习题 一、填空题: 1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关； 2、设0),(),(≠+?dy y x Q dx y x P L ,则 =++??-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+?dy y x Q dx y x P L ),(),(?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应 于L 的____点； 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、? L xydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； 2、?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周2 22a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、?Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、 ?++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 . 三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、 沿抛物线2 x y =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222 =+从点(0,0)到点(1,1). 答案 一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ?Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα?Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π2-； 3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.
11稳恒电流和稳恒磁场习题解答
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场 一 选择题 1. 两根截面大小相同的直铁丝和直铜丝串联后接入一直流电路，铁丝和铜丝内的电流密度和电场强度分别为J 1，E 1和J 2，E 2，则：（ ） A. J 1=J 2，E 1=E 2 B. J 1>J 2，E 1=E 2 C. J 1=J 2，E 1
物化,第1章 热力学第一定律---补充练习题
第二章 热力学第一定律 (一) 填空题 1. 在一绝热容器中盛有水，将一电阻丝浸入其中，接上电源一段时间（见下左图）当选择 不同系统时,讨论Q 和W 的值大于零、小于零还是等于零。 系统 电源 电阻丝 水 电源+电阻丝 水+ 电阻丝 水+电阻丝+电源 Q W U 参考答案 2. 298K 时，反应CH 3CHO(g) = CH 4(g) + CO(g)的反应热 r H m 0 = mol -1，若反应恒压的热容r C p,m = Jmol -1K -1，则在温度为 时，反应热将为零。（设：r C p,m 与温度无关）。 3. 对理想气体的纯PVT 变化，公式dU=nC V,m dT 适用于 过程；而真实气体 的纯PVT 变化，公式dU=nC V,m dT 适用于 过程。 4. 物理量Q 、W 、U 、H 、V 、T 、p 属于状态函数的有 ；属于途 径函数的有 。状态函数中属于强度性质 的 ；属于容量性质的有 。 5. 已知反应 C(S)+O 2CO 2 r H m 0＜0 若该反应在恒容、绝热条件下进行，则ΔU 于 零、ΔT 于零、ΔH 于零；若该反应在恒容、恒温条件下进行,则ΔU 于零、 ΔT 于零、ΔH 于零。（O 2、CO 2可按理想气体处理） 6. 理想气体绝热向真空膨胀过程，下列变量ΔT 、ΔV 、ΔP 、W 、Q 、ΔU 、ΔH 中等于零的 有： 。 7. 1mol 理想气体从相同的始态(p 1、T 1、V 1)，分别经过绝热可逆膨胀至终态(p 2、T 2、V 2)和经绝 热不可逆膨胀至终态('2'22V T p 、、)则’‘，2222 V V T T (填大于、小于或等 于)。 8. 某化学在恒压、绝热只做膨胀功的条件下进行，系统温度由T 1升高至T 2，则此过程ΔH 零，如果这一反应在恒温（T 1）恒压和只做膨胀功的条件下进行，则其ΔH 于零。 9．范德华气体在压力不太大时，有b RT a V T V T m p m -=-??2)(且定压摩尔热容为C P,m 、则此气体的焦——汤系数μJ-T = ，此气体节流膨胀后ΔH 0。 10． 1mol 单原子理想气体（C V,m =）经一不可逆变化，ΔH =，则温度变化为ΔT = ，内能变化为ΔU = 。 11. 已知298K 时H 20(l)、H 20(g)和C02(g)的标准摩尔生成焓分别为、 –和mol -1，那么C(石墨)、H 2 (g)、02(g)、H 20(l)、H 20(g)和C02(g)的标准摩尔燃烧焓分别 为 。 系统 电源 电阻丝 水 电源+电阻丝 水+ 电阻丝 水+电阻丝+电源 Q = < > < = = W < > = = > = U < > > < > =
第11章浮力与升力补充习题
浮力与升力补充习题 1.体积相同的实心铜球与铅球都浸没在水中，则（） A.铜球受的浮力大 B. 两球受的浮力一样大 C.铅球受的浮力大 D. 无法比较 2.两只乒乓球分别用细线吊在同一 高度并相距8cm左右，如图9-14所示, 如果向两乒乓球中间吹气（气流方向与纸面垂直），则两乒乓球将（） A.不动 B. 向两边分开 C.向中间靠近 D. 向纸内运动 3.一艘轮船从东海驶入长江后，它所受的浮力（） A.变小 B. 不变 C. 变大 D. 不能确定 4?潜水艇在水中可以自由的上浮和下沉，它的浮沉是靠改变下列哪个物理量来实现的 （） A.所受的浮力 B ?水的密度 C ?自身的重力 D ?水的压强 5.把一个重为10N体积为0.8dm3的物体浸没在水中，放手后该物体将（） A.上浮 B .下沉 C .悬浮 D .无法确定 6.下列说法正确的是（） A.用盐水选种时，瘪谷子会浮起来，饱满的谷子会沉下去，因为盐水对饱满谷子无浮力作用 B.铁块放在水中要沉下去，放在水银中会浮起来，因为只有水银对铁块有浮力作用 C.一块石头从屋顶上自由落下，可见空气对石头没有浮力作用 D.所有的液体和气体对浸在它们里面的物体都有浮力作用 7.一个均匀圆柱体悬浮在液体中，如果把圆柱体截成大小不等的两部分，再放入该液体中，则（） A.两部分都上浮 B.两部分都悬浮 C.体积大的上浮，体积小的下沉 D.体积小的上浮，体积大的下沉 8.关于物体受到的浮力，下列说法中正确的是（）
A.漂在水面的物体比沉在水底的物体受到的浮力大
B.物体排开水的体积越大受到的浮力越大 C.物体没入水中越深受到的浮力越大 9.大军将一支密度计分别放入两种不同的液体中，如图9-15所示。若两种液体的密度分别 P甲、p乙，静止时密度计所受浮力分别为F甲、F乙，则( ) A.p甲〉p乙F 甲=F乙 B.p甲＜p乙F甲＞F乙 C.p乙〉p甲F甲＜F乙 D.p乙〉p甲F 甲=F乙 10.用图像来描述物理过程或物理规律是很直观的。如图9-16 (a) —立方体木块，下 面用一段细线与之相连，细线另一端固定在在容器底(容器高比细线与木块边长之和大得 ( ) 11.饺子是大家喜爱的食品，在水中煮一会儿会漂起来，是因 为饺子受热膨胀，浮力___________ (填“变大” “变小”或“不 图 9-15 D.物体的密度越大受到的浮力越大 9-16 多)。现向容器中慢慢加水，如图9-16 (b)所示。若细线中的拉力用F表示，容器中水的深度用h表示。那么, 在图9-17中可以正确描述拉力F随随深度h的变化关系的图像是甲无 图 9-17 图 9-18
第十一章练习题与答案
第十一章构建社会主义和谐社会练习题 古华琼 （一）单项选择题 1．“社会主义和谐社会”的完整概念，最早出现于（D） A．20XX年 B．20XX年 C．20XX年 D．20XX年 2．构建社会主义和谐社会的重点是（D） A．建设和谐文化，巩固社会和谐的思想道德基础 B．完善社会管理，保障社会安定有序 C．加强制度建设，保障社会公平正义 D．解决人民最关心、最直接、最现实的利益问题 3．不属于社会主义和谐社会的科学内涵的是（C） A．民主法治 B．公平正义 C．经济发展与社会发展相和谐 D．人与自然和谐相处 4．构建社会主义和谐社会，同建设社会主义物质文明、精神文明是有机的统一体，和谐社会建设对三个文明建设的作用是（ D）。 A．物质基础 B．政治保证 C．精神支撑 D．社会条件 5．构建社会主义和谐社会最根本的保证是（A ）。 A．党的领导和社会主义制度 B．较为坚实的物质基础 C．全体人民的根本利益一致 D．马克思主义在全社会的指导地位 6．构建社会主义和谐社会的主要动力是（ B）。 A．必须坚持以人为本 B．必须坚持科学发展 C．必须坚持改革开放 D．必须坚持民主法治 7．构建社会主义和谐社会的重要条件是（D ）。 A．必须坚持以人为本 B．必须坚持科学发展C．必须坚持改革开放 D．必须坚持正确处理改革发展稳定的关系 8.构建社会主义和谐社会的根本出发点和落脚点是（A ）。 A．必须坚持以人为本 B．必须坚持科学发展C．必须坚持改革开放 D．必须坚持民主法治 9.（ D）提出了到2020年构建社会主义和谐社会的目标和主要任务。 A．党的十六届三中全会 B．党的十六届四中全会C．党的十六届五中全会 D．党的十六届六中全会 10.下列哪一个选项不属于建立和完善社会保障体系的总要求？（ C） A.广覆盖 B. 可持续 C. 高水平 D. 保基本 （二）多项选择题 1．构建社会主义和谐社会（ABC） A．是实现全面建设小康社会目标的重大任务 B．是我们把握复杂多变的国际形势、有力应对来自外部的各种挑战和风险的战略举措 C．是完成我们党肩负的历史使命的重要保证 D．是缓和社会矛盾的权宜之计 2．社会主义和谐社会，应该是（ABCD） A．民主法治的社会，公平正义的社会 B．诚信友爱的社会，充满活力的社会
第十一章稳恒电流的磁场(一)作业解答
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度 毕奥—萨法尔定律：3 04r r l Id B d ?=πμ 1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I B πμ20= 半无限长载流直导线a I B πμ40=,直导线延长线上0=B 2. 圆环电流的磁场2 32220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθ μ220?=R I B 电荷转动形成的电流：π ω ωπ22q q T q I = == 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上 均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) ) 2(0b a I +πμ． 解法： 【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感 强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：
半导体物理第十章习题答案
第10章 半导体的光学性质和光电与发光现象 补充题：对厚度为d 、折射率为n 的均匀半导体薄片，考虑界面对入射光的多次反射，试推导其总透射率T 的表达式，并由此解出用透射率测试结果计算材料对光的吸收系数α的公式。 解：对上图所示的一个夹在空气中的半导体薄片，设其厚度为d ，薄片与空气的两个界面具有相同的反射率R 。当有波长为λ、强度为I 0的单色光自晶片右侧垂直入射，在界面处反射掉I 0R 部分后，其剩余部分(1－R)I 0进入薄片向左侧传播。设材料对入射光的吸收系数为α ，则光在薄片中一边传播一边按指数规律exp(－αx )衰减，到达左边边界时其强度业已衰减为（1－R)I 0exp(-αd )。这个强度的光在这里分为两部分：一部分为反射光，其强度为R(1－R)I 0exp(-αd )；另一部分为透出界面的初级透射光，其强度为(1－R)2I 0exp(-αd )。左边界的初级反射光经过晶片的吸收返回右边界时，其强度为R(1－R)I 0exp(-2αd )，这部分光在右边界的内侧再次分为反射光和透射光两部分，其反射光强度为R 2(1－R)I 0exp(-2αd )，反射回到左边界时再次被衰减了exp(-αd )倍，即其强度衰减为R 2(1－R)I 0exp(-3αd )。这部分光在左边界再次分为两部分，其R 2(1－R)2I 0exp(-3αd )部分透出晶片，成为次级透射光。如此类推，多次反射产生的各级透射光的强度构成了一个以 (1－R)2I 0exp(-αd )为首项，R 2exp(-2αd )为公共比的等比数列。于是，在左边界外测量到的总透过率可用等比数列求和的公式表示为 ()22211d i d i R e T T R e αα---==-∑ 由上式可反解出用薄片的透射率测试值求材料吸收吸收的如下计算公式 410ln(2A d T α-=- 式中，薄片厚度d 的单位为μm ，吸收系数α的单位为cm -1，参数A ，B 分别为 2 1R A R -??= ???；21R B = 空气 薄片 空气 入射光I 0 反射光I 0R
第十一章 例题
第十一章例题 1.【例题·多选题】下列项目中，属于劳务报酬所得的有（）。 A.个人书画展取得的报酬 B.提供著作的版权而取得的报酬 C.将国外的作品翻译出版取得的报酬 D.高校教师受出版社委托进行审稿取得的报酬 2.【例题·多选题】下列各项个人所得中，应当征收个人所得税的有（）。 A.个人独资企业集资利息 B.个人从股份公司取得股息 C.个人取得企业债券利息 D.个人取得国家发行的金融债券利息 3.【例题·单选题】韩国居民崔先生受其供职的境外公司委派，来华从事设备安装调试工作，在华停留60天，期间取得境外公司支付的工资40000元，取得中国体育彩票中奖收入20000元。 4.【例题·多选题】下列各项中，适用5%～35%的五级超额累进税率征收个人所得税的有（）。 A.个体工商户的生产经营所得 B.合伙企业的生产经营所得 C.个人独资企业的生产经营所得 D.对企事业单位的承包经营、承租经营所得 5.【例题·多选题】下列各项中，以取得的收入为应纳税所得额直接计征个人所得税的有（）。 A.稿酬所得 B.偶然所得 C.股息所得 D.特许权使用费所得 6.【例题·多选题】下列个人所得在计算个人所得税应纳税所得额时，可减除定额费用的有（）。 A.对企事业单位的承包、承租经营所得 B.财产转让所得 C.工资薪金所得 D.利息所得 7.【例题·计算题】中国公民王某6月与一家培训机构签订了半年的劳务合同，合同规定从6月起每周六为该培训中心授课1次，每次报酬为1200元。6月份为培训中心授课4次。 要求：计算培训中心6月支付王某授课费应代扣代缴的个人所得税。 8.【例题·多选题】下列稿酬所得中，应合并为一次所得计征个人所得税的有（）。 A.同一作品在报刊上连载，分次取得的稿酬 B.同一作品再版取得的稿酬 C.同一作品出版社分三次支付的稿酬 D.同一作品出版后加印而追加的稿酬 9.【例题·计算题】中国公民孙某系自由职业者，2013年出版中篇小说一部，取得稿酬50000元，后因小说加印和报刊连载，分别取得出版社稿酬10000元和报社稿酬3800元。 10.【例题·计算题】2013年12月，王某为境内某企业提供咨询取得劳务报酬40000元，通过境内非营利性社会团体将其中9000元捐赠给贫困地区。 要求: 计算王某上述所得应该缴纳的个人所得税。
第11章《光的干涉》补充习题解答
第11章 《光的干涉》补充习题解答 1．某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化? 解: υ不变，为波源的振动频率；n n 空 λλ= 变小；υλn u =变小． 2．什么是光程? 在不同的均匀介质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同？在光程差与相位差的关系式2π ?δλ ?=中，光波的波长要用真空中波 长，为什么？ 解:nr δ=．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相同，为t C δ ?= ． 因为δ中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。 3．在杨氏双缝实验中，作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？试说明理由。 (1)使两缝之间的距离变小； (2)保持双缝间距不变，使双缝与屏幕间的距离变小； (3)整个装置的结构不变，全部浸入水中； (4)光源作平行于1S 、2S 连线方向的上下微小移动； (5)用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝。 解: 由λd D x = ?知，(1)条纹变疏；(2)条纹变密；(3)条纹变密；(4)零级明纹在屏幕上作相反方向的上下移动；(5)零级明纹向下移动． 4．在空气劈尖中，充入折射率为n 的某种液体，干涉条纹将如何变化？ 解：干涉条纹将向劈尖棱边方向移动，并且条纹间距变小。 5．当将牛顿环装置中的平凸透镜向上移动时，干涉图样有何变化？ 解：透镜向上移动时，因相应条纹的膜厚k e 位置向中心移动，故条纹向中心收缩。 6．杨氏双缝干涉实验中，双缝中心距离为0.60mm ，紧靠双缝的凸透镜焦距为2.5m ，焦平面处有一观察屏。 （1）用单色光垂直照射双缝，测得屏上条纹间距为2.3mm ，求入射光波长。 （2）当用波长为480nm 和600nm 的两种光时，它们的第三级明纹相距多远？ 解：（1）由条纹间距公式λd D x = ?，得 332.3100.6105522.5 x d nm D λ--?????=== （2）由明纹公式D x k d λ=，得 9 2132.5()3(600480)10 1.50.610 D x k mm d λλ--?=-=??-?=? 7．在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m 。
第三章补充习题(1)
第三章补充习题(一) 1. 为了使输出结果为4, 执行以下程序时给a和b输入的值应满足的条件是。 #include 一、选择题 １、经济周期的中心是（C ） Ａ、价格的波动；Ｂ、利率的波动； Ｃ、国民收入的波动；Ｄ、就业率的波动。 ２、从谷底扩张至经济增长的正常水平称为（D ） Ａ、繁荣；Ｂ、衰退；Ｃ、危机；Ｄ、复苏。 ３、危机阶段的主要特征是（C ） Ａ、工资、价格不断上涨；Ｂ、投资减少、产品积压； Ｃ、大量工厂倒闭；Ｄ、大量机器更新。 ４、８－１０年的经济周期称为（C ） Ａ、库兹涅茨周期；Ｂ、基钦周期； Ｃ、朱格拉周期；Ｄ、康德拉季耶夫周期。 ５、根据经济统计资料，经济周期性波动最大的一般是（C ） Ａ、资本品的生产；Ｂ、农产品的生产； Ｃ、日用消费品的生产；Ｄ、没有一定的规律。 ６、经济之所以会发生周期性波动，是因为（D ） Ａ、外部因素的变动；Ｂ、乘数作用； Ｃ、加速数作用；Ｄ、乘数和加速数交织作用。 ７、如果国民收入在某个时期趋于下降，则（B ） Ａ、净投资大于零；Ｂ、净投资小于零； Ｃ、总投资大于零；Ｄ、总投资小于零。 二、判断题 １、当某一经济社会处于经济周期的扩张阶段时，总需求逐渐增长但没有超过总供给。 （T ） ２、经济周期的四个阶段依次是繁荣、衰退、萧条、复苏。（T ） ３、基钦周期是一种中周期。（F ） ４、经济学家划分经济周期的标准是危机的严重程度。（F ） ５、以总需求分析为中心是凯恩斯主义经济周期理论的特征之一。（T ） ６、熊彼特周期是一种长周期。（F ） ７、顶峰是繁荣阶段过渡到萧条阶段的转折点。（F ） 三、简答题 １、消费不足论怎样解释经济周期？ ２、熊彼特怎样解释经济周期？ ３、投资过多论怎样解释经济周期? ４、纯货币理论怎样解释经济周期？ 四、论述题 １、试述经济周期四个阶段的主要特征。 ２、乘数原理与加速原理有什么联系和区别？ ３、经济波动为什么会有上限和下限？ 三、１、在经济高涨过程中，投资增加导致投资品生产增加，其中包括生产消费品的投资品 生产增加。在一定范围内，投资品生产增加可以孤立地进行。这样随着的增加，消费品大量增加。然而消费需求不足，于是导致生产过剩的经济危机。 第十一章氧化还原滴定补充习题 1 . 下面是测定As2O3-As2O5惰性物试样中两组分含量的分析流程图, 请将条件填在横线上。 (2) (5) 滴定剂______ 滴定剂______ (3) │(4) (6) │(7) pH______│指示剂______ 酸度_____│加______试剂 (1) ↓↓ 加______试剂┌──────┐┌───┐┌───┐ 试样──────→│As(Ⅲ)As(Ⅴ)│─────→│As(Ⅴ)│→│As(Ⅲ)│ 溶解└──────┘└───┘└───┘ [ 测As(Ⅲ) ] [测As(Ⅲ)+As(Ⅴ)含量] 2. 某同学配制0.02 mol/L Na2S2O3500 mL, 方法如下: 在分析天平上准确称取Na2S2O3·5H2O 2.482 g, 溶于蒸馏水中,加热煮沸, 冷却,转移至500 mL 容量瓶中, 加蒸馏水定容摇匀, 保存待用。请指出其错误。 3. 今有含PbO 和PbO2的混合物, 用高锰酸钾法测定其含量。称取该试样0.7340 g, 加入20.00 mL 0.2500 mol/L 草酸溶液, 将PbO2还原为Pb2+, 然后用氨水中和溶液, 使全部Pb2+形成PbC2O4沉淀。过滤后将滤液酸化, 用KMnO4标准溶液滴定, 用去0.04000 mol/L KMnO4溶液10.20 mL。沉淀溶解于酸中, 再用同一浓度的KMnO4溶液滴定, 用去30.25 mL。计算试样中PbO 和PbO2的质量分数。 [M r(PbO2)= 239.2, M r(PbO)= 223.2] 4. 设计用碘量法测定试液中Ba2+的浓度的方案, 请用简单流程图表示分析过程, 并指出主要条件: 滴定剂、指示剂以及Ba2+与滴定剂的计量关系。 5. 某同学拟用如下实验步骤标定0.02 mol/L Na2S2O3, 请指出其三种错误(或不妥)之处, 并予改正。 称取0.2315 g 分析纯K2Cr2O7, 加适量水溶解后, 加入1 g KI, 然后立即加入淀粉指示剂, 用Na2S2O3滴定至蓝色褪去, 记下消耗Na2S2O3的体积, 计算Na2S2O3浓度。[M r(K2Cr2O7)= 294.2] 6. 为何测定MnO4-时不采用Fe2+标准溶液直接滴定, 而是在MnO4-试液中加入过量Fe2+标准溶液, 而后采用KMnO4标准溶液回滴? 7. 称取0.8000g含Cr和Mn的钢样，溶解处理成Fe3+，Cr2O72-，Mn(Ⅱ)的试液。先在F-存 第十一章收入、费用和利润练习题 一、单项选择题 1．企业年末结账后，一定无余额的账户是( )。 A．“本年利润”B．“资本公积”C．“利润分配”D．“生产成本” 2．企业对外销售需要安装的商品时，若安装和检验属于销售合同的重要组成部分，则确认该商品销售收入的时间是（）。 A．发出商品时B．收到商品销售货款时C．商品运抵并开始安装时 D．商品安装完毕并检验合格时 3．下列项目中, 应列作营业外支出的是( )。 A．公益性捐赠支出B．无法收回的应收账款 Ｃ．退休职工的退休金D．低值易耗品摊销 4．应计入产品制造成本的费用中，不能直接分清应由何种产品负担的费用应( )。 A．直接计入当期损益B．直接计入产品制造成本 Ｃ．作为管理费用处理Ｄ．作为制造费用处理，期末分配计入产品制造成本 5．按现行会计准则规定，下列各项应计入管理费用的是( )。 A．出租包装物摊销B．自用无形资产摊销 C．出借包装物摊销 D. 车间领用低值易耗品摊销 6．工业企业的下列各项收入中，不属于营业收入的是( )。 A．销售产品取得的收入B．出租固定资产的租金收入 C．出售固定资产的价款收入D．出租包装物的租金收入 7．A公司为B公司承建厂房一栋，工期自2001年9月1日至2003年6月30日，总造价3000万元，B公司2001年付款至总价的25%，2002年付款至总造价的80%，余款2003年工程完工后结算。该工程2001年发生成本500万元，年末预计尚需发生成本2000万元；2002年发生成本2000万元，年末预计尚需发生成本200万元。则A公司2002年因该项工程应确认的收入为（）。 A．2777.78 B．2222.22 C．2177.78 D．1650 8．企业用当年实现的税前会计利润弥补以前的年度亏损时．正确的做法是( )。 A．借：利润分配——未分配利润 贷：利润分配——弥补以前年度亏损 B．借：应交税金——应交所得税 贷：利润分配——未分配利润 C．借：利润分配——其他转入 贷：利润分配——未分配利润 D．不作账务处理 9．专设销售机构发生的办公费用，应当计入( ) 会计科目。 A．营业外支出B．管理费用 C．销售费用D．财务费用 10．按照企业会计准则的规定．购货企业发生的现金折扣应( )。 A．冲减财务费用B．增加财务费用 C．冲减购货成本D．增加购货成本 11．企业应付账款确实无法支付的，在报经有关部门批准后，应当（）。 A．贷记“管理费用”账户B．贷记“资本公积”账户 C．贷记“其他业务收入”账户D．贷记“营业外收入”账户 12．按照会计制度制定，销售企业发生的销售折让应( )。 A．直接冲减主营业务收入B．直接增加补贴收入 C．计入销售折让科目D．直接冲减主营业务成本 第十一章数据库并发控制 一、选择题 1．为了防止一个用户的工作不适当地影响另一个用户，应该采取（D ）。 A. 完整性控制 B. 访问控制 C. 安全性控制 D. 并发控制 2. 解决并发操作带来的数据不一致问题普遍采用（A）技术。 A. 封锁 B. 存取控制 C. 恢复 D. 协商 3．下列不属于并发操作带来的问题是（C）。 A. 丢失修改 B. 不可重复读 C. 死锁 D. 脏读 4．DBMS普遍采用（C）方法来保证调度的正确性。 A. 索引 B. 授权 C. 封锁 D. 日志 5．事务T在修改数据R之前必须先对其加X锁，直到事务结束才释放，这是（A）。 A. 一级封锁协议 B. 二级封锁协议 C. 三级封锁协议 D. 零级封锁协议 6．如果事务T获得了数据项Q上的排他锁，则T对Q（C ）。 A. 只能读不能写 B. 只能写不能读 C. 既可读又可写 D. 不能读也不能写7．设事务T1和T2，对数据库中地数据A进行操作，可能有如下几种情况，请问哪一种不会发生冲突操作（D ）。 A. T1正在写A，T2要读A B. T1正在写A，T2也要写A C. T1正在读A，T2要写A D. T1正在读A，T2也要读A 8．如果有两个事务，同时对数据库中同一数据进行操作，不会引起冲突的操作是（D ）。 A. 一个是DELETE，一个是SELECT B. 一个是SELECT，一个是DELETE C. 两个都是UPDATE D. 两个都是SELECT 9．在数据库系统中，死锁属于（B）。 A. 系统故障 B. 事务故障 C. 介质故障 D. 程序故障 选择题答案： (1) D (2) A (3) C (4) C (5) A (6) C (7) D (8) D (9) B 二、简答题 1. 并发操作可能会产生哪几类数据不一致？用什么方法能避免各种不一致的情况？ 答：并发操作带来的数据不一致性包括三类：丢失修改、不可重复读和读“脏”数据。（1）丢失修改（Lost Update） 两个事务T1和T2读入同一数据并修改，T2提交的结果破坏了（覆盖了）T1提交的结果，导致T1的修改被丢失。 （2）不可重复读（Non-Repeatable Read） 不可重复读是指事务T1读取数据后，事务T2执行更新操作，使T1无法再现前一次读取结果。 （3）读“脏”数据（Dirty Read） 读“脏”数据是指事务T1修改某一数据，并将其写回磁盘，事务T2读取同一数据后，T1由于某种原因被撤销，这时T1已修改过的数据恢复原值，T2读到的数据就与数据库中的数据不一致，则T2读到的数据就为“脏”数据，即不正确的数据。 避免不一致性的方法和技术就是并发控制。最常用的并发控制技术是封锁技术。也可以 第十一章 恒定电流的磁场 11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。 （1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。 （2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。 解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离为13 OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应 强度的大小为 012(cos cos )4πBC I B d μββ=- 00(cos30cos150)4π/3 4πI I h h μ??= -= 方向垂直于纸面向外。 另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的大小和方向都与BC B 相同。因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即 0033 4π4πBC I I B B h h === 方向垂直于纸面向外。 （2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。由载流直导线的磁感强度一般公式 012(cos cos )4πI B d μββ=- 可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为 01(cos0cos30)4cos60) I B R μ= ?-? π(0(12πI R μ= 031(cos150cos180)4πcos60 I B B R μ?== ?- ?0(12πI R μ= I B 图11–2 图11–1 （a ） A E （b ） ） 第10章 二端口网络 求图示各二端口网络的Y 参数。 2 2u (b) 图题 解：(a) 列写节点电压方程如下： 121122 1212 2 23111() (1)111()3 (2) U U I R R R U U I I R R R ?+-=??? ?-++=+?? 式(1)代入式(2) 整理得： 1 121222*********()3441()()I U U R R R I U U R R R R ? =+-?? ??=-+++?? 所以Y 参数为： 12 2 1 2231 113441R R R R R R R -?? +??? ?=-??-+????Y " (b) 10i =, 11/i u R = 3212212112333()()/u u R R i u R R u R i R R R -+-+= ==1212133 1R R u u R R R +=-+ 所以 12 133001R R R R R ? ? ??=+??-???? Y 一个互易网络的两组测量值如图题所示。试根据这些测量值求Y 参数。 (a) (b) 2 2 - +U 图题 解：图(a)中 11222A,j2V 2j5j 10V j5A I U U I ===?==-,, ? 由Y 参数方程得： 11112221222j2j 10 (1) j5j2j 10 (2) I Y Y I Y Y ?==?+?? =-=?+?? 由图(b)得 222jA 1V I Y ==? (3) 对互易网络有： 1221Y Y = (4) 由式(3) 得： 22j 1S Y =，代入式(2) 得：2112( 2.5j5)S Y Y ==-- 再代入式(１)得：11(12.5j24)S Y =+ 所以 12.5j2425j52.5j5 j1.+--??=??--??Y S 求图示各二端口网络的Z 参数。 \ (b) 图题 解 (a)：按网孔列写KVL 方程得 1211221 (2)2 (1) 2(2)3 (2)R R I RI U RI R R I U U ++=?? ++=+? 将式(1)代入式(2)整理得 习题 一、名词解释 信息不对称逆向选择外部性外部经济外部不经济公共物品私人物品 市场失灵科斯定理 二、选择题 1、按照传统经济学的观点，哪项不是导致市场失灵的因素（） A、垄断； B、外部效应； C、公共物品； D、政府干预。 2、不完全竞争市场中出现低效率的资源配置是因为（） A、产品价格大于边际成本； B、产品价格小于边际成本； C、产品价格大于边际收益； D、产品价格小于边际收益。 3、下列哪项不是纠正外部效应所造成的资源配置不当的方法（） A、使用税收和津贴； B、规定财产权； C、企业合并； D、制定反托拉斯法 4、当某厂商的经济活动存在外部不经济时（） A、厂商产量大于帕累托最优产量； B、厂商产量小于帕累托最优产量； C、厂商产量等于帕累托最优产量； D、以上三种情况都有可能。 5、如果某一经济活动存在外部经济，则该活动的（D） A、私人成本小于社会成本； B、私人利益大于社会利益； C、私人利益等于社会利益； D、私人成本等于社会成本。 6、某人的吸烟行为会造成（） A、生产的外部经济； B、消费的外部经济； C、生产的外部不经济； D、消费的外部不经济。 7、当一个消费者的行动对他人产生了有利的影响，而自己却不能从中得到补偿，便产生了（） A、消费的外部经济； B、消费的外部不经济； C、生产的外部经济； D、生产的外部不经济。 8、科斯定理假设交易成本为（） A、0； B、1； C、大于1； D、介于0和1之间。 9、如果上游工厂污染了下游居民的饮水，按照科斯定理，下列说法中哪个正确？（） A、不管产权是否明确，只要交易成本为零，问题都可妥善解决； B、只要产权明确，且交易成本为零，问题都可妥善解决； C、只要产权明确，不管交易成本有多大，问题都可妥善解决； D、不论产权是否明确，交易成本是否为零，问题都可妥善解决。 10、根据科斯定理，当市场不能有效的配置资源时，问题的最终来源通常是（） A、价格没有高到使人们不过度消费； B、价格没有低到使企业不过度生产； C、没有很好的界定产权； D、政府没有出面加以管制。 11、在消费或使用上，公共物品的特点是（） A、竞争性和排他性 B、竞争性和非排他性 C、非竞争性和排他性 D、非竞争性和非排他性 12、市场不能提供纯粹的公共物品，是因为（） A、公共物品不具有排他性； B、公共物品不具有竞争性； C、消费者都想“免费搭便车”； D、以上三种情况都是。 13、造成交易双方信息不对称的原因有（） A、卖方故意隐瞒信息； B、买方认识能力有限； C、完全掌握信息的成本太高； D、以上三种情况都有可能。 三、判断题 1、垄断造成的资源配置的低效率通常只能由政府进行管制。 2、由政府提供的产品都是公共物品。 3、根据科斯定理，外部性总是要求政府为了使外部性内部化而进行干预。 4、如果交易成本大于受影响各方对外部性达成协议的潜在利益，就没有解决外部性的私人办法。 5、公共资源被过度使用是因为公共资源对消费者是免费的。 6、私人市场难以提供公共物品是由于无法避免搭便车的问题。 7、一条拥挤的收费道路仍然是一种公共资源。 8、品牌能成为提供有用的质量信号。 四、计算题 1、某一产品的市场需求函数为Q=1000-10P，成本函数为C=40Q，求： （1）若该产品为一垄断厂商生产，利润最大化时的产量、价格和利润为多少？ （2）要达到帕累托最优，产量和价格为多少？ （3）社会纯福利在垄断性生产时损失了多少？ 2 假定有一企业，从私人角度看，每多生产1单位产品可多得12元，从社会角度看，每多生产1单位产品还可再多得4元，产品成本函数为C=Q2-40Q，试问：为达到帕累托最优，若用政府补贴办法，可使产量增加多少? 3、设一个公共牧场的成本是C＝5X2+2 000，X是牧场上养牛的头数。每头牛的价格 第十一章 稳恒磁场习题 （一） 教材外习题 一、选择题： 1．如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N 极的指向 （A ）向外转90? （B ）向里转90? （C ）保持图示位置不动 （D ）旋转180? （E ）不能确定。 （ ） 2 i 的大小相等，其方向如图所示，问哪些区域中某些点的磁感应强度B 可能为零？ （A ）仅在象限Ⅰ （B ）仅在象限Ⅱ （C ）仅在象限Ⅰ、Ⅲ （D ）仅在象限Ⅰ、Ⅳ （E ）仅在象限Ⅱ、Ⅳ （ ） 3．哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ） （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） 4q 的点电荷。此正方形以角速度ω绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为： （A ）B 1=B 2 （B ）B 1=2B 2 （C ）B 1= 2 1B 2 （D ）B 1=B 2/4 （ ） x B x x B x B x B q q C 5．电源由长直导线1沿平行bc 边方向经过a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b 点沿cb 方向流出，经长直导线2返回电源（如图），已知直导线上的电流为I ，三角框的 每一边长为l 。若载流导线1、2和三角框在三角框中心O 点产生的磁感应强度分别用1B 、2B 和3B 表示，则O 点的磁感应强度大小 （A ）B =0，因为B 1=B 2， B 3=0 （B ）B =0，因为021=+B B ，B 3=0 （C ）B ≠0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠0。 （D ）B ≠0，因为虽然B 3=0，但021≠+B B 。 （ ） 6．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图（A ）~（E ）哪一条曲线表示B －x 的关系？ （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） 7．A 、B A 电子的速率是B 电子速率的两倍。设R A 、R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A 、T B 分别为它们各自的 周期。则： （A ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =2。 （B ）R A ∶R B = 2 1 ， T A ∶T B =1。 （C ）R A ∶R B =1， T A ∶T B = 2 1 。 （D ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =1。 8．把轻的正方形线圈用细线挂在截流直导线AB 的附近，两者在同一平面内，直导线AB 固定，线圈可以活动。当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将 （A ）不动 c x B B x x B x B x B 电流第十一章练习题
第十一章 氧化还原滴定补充习题
第十一章 收入补充练习题
第十一章练习题及答案
第十一章 恒定电流的磁场习题解
第10章习题解答哈工大习题册
微观第十一章习题及答案
第11章稳恒磁场