(江苏专用)高考数学二轮复习 专题14圆锥曲线学案
专题14圆_锥_曲_线
回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合．
预测在2013年的高考题中：
(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及．
(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解．
1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10
5
，则m 的值是________．
解析：当m >5时，
105＝m －5m
，解得m ＝25
3； 当m <5时，
105＝5－m 5
，解得m ＝3. 答案：3或25
3
2．若抛物线y 2
＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2
＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝32.
答案：32
3．双曲线2x 2
－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y 26－x 2
3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d
＝4－26(舍去)．
答案：26＋4
4．(20122江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2
m 2＋4
＝1的离心率为5，则m 的值为
________．
解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2
＋4，
∴c ＝m 2
＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4
m
＝5，
解得m ＝2. 答案：2
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1
PF 2
＝
e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．
解析：∵
PF 1
PF 2
＝e ，∴PF 1＝ePF 2＝e (2a －PF 1)， PF 1＝
2ae
1＋e
. 又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a (1－e )≤2ae 1＋e ≤a (1＋e )，1－e ≤2e
1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2
－1.
又0 [典例1] (20122四川高考)(1)椭圆x 24＋y 2 3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长 最大时，△FAB 的面积是________． (2)(20112福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________． [解析] (1)法一：依题意得知，点F (－1,0)，不妨设点A (2cos θ，3sin θ)(sin θ>0)，则有 B (2cos θ，－3sin θ)，|FA |＝|FB |＝2cos θ＋12 ＋3sin 2 θ＝2＋cos θ，|AB |＝23sin θ， |FA |＋|FB |＋|AB |＝4＋2cos θ＋23sin θ＝4＋4sin ? ????θ＋π6，当θ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝2k π＋π3，k ∈Z ，2cos θ＝1，3sin θ＝32时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积等于1 23(1＋1)33 ＝3. 法二：椭圆右焦点为F ′(1,0)． 由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 则△FAB 的周长l ＝|AF |＋|BF |＋|AB | ＝4a －(|F ′A |＋|F ′B |)＋|AB | ＝4a －||F ′A |＋|F ′B |－|AB ||≤4a . 所以△FAB 周长最大时，直线x ＝m 经过F ′(1,0)这时|AB |＝3， 此时S △FAB ＝1 2 3233＝3. (2)由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ， 当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ 4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ， 所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝1 2 ； 当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝ 2c 2a ＝3m 2m ＝32 . [答案] (1)3 (2)12或3 2 解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a ，b ，c 之间关系的区别． [演练1] (1)已知双曲线x 2a －y 2 2 ＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________； (2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 解析：(1)由a ＋2＝3，可得a ＝1， ∴双曲线方程为x 2 －y 2 2＝1， ∴其渐近线方程为x ± y 2 ＝0，即y ＝±2x . (2)由y 2 ＝4x 可知l 2：x ＝－1是抛物线的准线，所以P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝|4＋6|42 ＋3 2 ＝2. 答案：(1)y ＝±2x (2)2 [典例2] (20122北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2 2 .直线y ＝k (x － 1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求k 的值． [解] (1)由题意得????? a ＝2，c a ＝2 2， a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)由????? y ＝k x －1，x 24＋y 2 2 ＝1得 (1＋2k 2 )x 2 －4k 2 x ＋2k 2 －4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2， x 1x 2＝2k 2 －41＋2k 2， 所以MN ＝ x 2－x 12 ＋y 2－y 12 ＝ 1＋k 2 [x 1＋x 22 －4x 1x 2] ＝2 1＋k 2 4＋6k 2 1＋2k 2 . 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2 ， 所以△AMN 的面积为 S ＝12MN 2d ＝|k | 4＋6k 2 1＋2k 2 . 由|k | 4＋6k 2 1＋2k 2 ＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0， 解得k ＝±1. 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题． [演练2] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 解：直线AB 的方程是y ＝22? ????x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2 ＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2 ＝8x . [典例3] (20122南师大信息卷)已知双曲线x 2 －y 2 3＝1，椭圆与该双曲线共焦 点，且经 过点(2,3)． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准 线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M . ①若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值； ②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程． [解] (1)双曲线焦点为(±2,0)， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则???? ? a 2－ b 2 ＝4，4a 2＋9 b 2＝1.解得a 2＝16，b 2 ＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 2 12 ＝1. (2)①由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t >0)． ∵AM ＝MN ，∴M ? ? ??? 2，t 2. 由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故点M 的坐标为M (2,3)． 所以MA ＝(－6，－3)，MB ＝(2，－3)， MA 2MB ＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA 2MB | MA |2|MB | ＝－336＋924＋9＝－6565. ②设圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，F ，N 三点坐标代入，得 ???? ? 16－4D ＋F ＝0， 4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0， 得????? D ＝2， E ＝－t －72 t ， F ＝－8. 圆的方程为x 2＋y 2 ＋2x －? ?? ??t ＋72t y －8＝0， 令x ＝0，得y 2 －? ?? ??t ＋72t y －8＝0. 设P (0，y 1)，Q (0，y 2)， 由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝t ＋72 t ＝18. 此时，所求圆的方程为 x 2＋y 2 ＋2x －18y －8＝0. 本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程． [演练3] 心率为 3 2 ，以如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离 原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点 T .求证：点T 在椭圆C 上． 解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝ 22 ＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a ＝ 1－? ????c a 2＝1 2 . 所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2 2 ＝1. (2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1 x 0 x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝ y 0－2 －x 0 x ＋2. ② 设T 点的坐标为(x ，y )． 联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －4 2y －3 . 因为x 208＋y 20 2＝1，所以18? ????x 2y －32＋12? ????3y －42y －32 ＝1. 整理得x 28 ＋3y －42 2 ＝(2y －3)2 ， 所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2 －12y ＋9，即x 28＋y 2 2＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． [典例4] 已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 2 15＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线D 的方程； (2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长； ②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由． [解] (1)由题意，可设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)．由a 2 －b 2 ＝16－15＝1，得c ＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2. ∴抛物线D 的方程为y 2 ＝4x . (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． ①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立????? y ＝x －4， y 2 ＝4x ， 整理得x 2 －12x ＋16＝0. 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， 所以MN ＝ x 1－x 22 ＋y 1－y 22 ＝410. ②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ? ?? ??x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为H ，设直线 m 与圆E 的一个交点为G .可得GH 2＝EG 2－EH 2， 即GH 2 ＝EA 2 －EH 2 ＝ x 1－42 ＋y 2 1 4 －? ?? ? ?x 1＋42－a 2 ＝14 y 21＋x 1－42 －x 1＋42 4 ＋a (x 1＋4)－a 2 ＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2 ＝(a －3)x 1＋4a －a 2 . 当a ＝3时，GH 2 ＝3，此时直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意． 以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在． [演练4] 已知椭圆C 的离心率e ＝ 2 2 ，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N . (1)求椭圆的标准方程； (2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得c a ＝22，a 2 c ＝4，解得c ＝2，a ＝22， 则b 2＝a 2－c 2 ＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2 4＝1. (2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2 ＋y 2 ＝4. 设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t 6 (x ＋2)， 由????? x 2＋y 2 ＝4，y ＝t 6 x ＋2，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2 －36)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝－ 2t 2－36t 2＋36 ， 所以M ? ????－2t 2 －36t 2 ＋36，24t t 2＋36， 同理可得N ? ?? ??2t 2 －4t 2 ＋4，－8t t 2＋4. ①若MN ⊥x 轴，则－ 2t 2－36t 2＋36＝2t 2 －4t 2 ＋4 ，解得t 2 ＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线 MN 过定点(1,0)； ②若MN 与x 轴不垂直，即t 2 ≠12， 此时k MN ＝－8t t 2 ＋4－24t t 2＋36 2t 2－4t 2＋4＋ 2t 2 －36t 2＋36＝ －8t t 2－12 ， 所以直线MN 的方程为 y －－8t t 2＋4＝－8t t 2－12? ???? x －2t 2－4t 2＋4， 即y ＝ －8t t 2－12 (x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)． 综上，直线MN 过定点(1,0)． [专题技法归纳] (1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx 2 ＋ny 2 ＝1(mn ≠0)，这样可以避免对参数的讨论． (2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值． (3)在双曲线中由于e 2 ＝1＋b 2 a 2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关． 1．(20122上海春招)抛物线y 2 ＝8x 的焦点坐标为________． 解析：由p ＝4得焦点坐标为(2,0)． 答案：(2,0) 2．已知方程 x 2 m －1＋ y 2 2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________；若该方程表示双 曲线，则m 的取值范围是________． 解析：若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则???? ? m －1>0，2－m >0， 2－m >m －1， 解得1 2 ；若方程表示双曲线，则(m －1)(2－m )<0，解得m <1或m >2. 答案：? ?? ??1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞) 3．点P 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°， 则椭圆的离心率为________． 解析：由题意得∠F 1PF 2＝90°，PF 1＝2c cos 75°，PF 2＝2c sin 75°，所以2c (sin 75°＋cos 75°)＝2a ，e ＝1sin 75°＋cos 75°＝6 3 . 答案： 63 4．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________． 解析：直线AB 的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2 ＝0. 则y A ＋y B ＝2p ＝4，p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：x ＝－1 5．(20112天津高考)已知双曲线x 2a －y 2 b ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在 抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________． 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2 －y 2 ＝λ(λ>0)，即 x 2λ3 －y 2 λ＝1.于是c 2 ＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2 ＝4λ3＝36，于 是λ＝27. 所以双曲线的方程x 29－y 2 27＝1. 答案：x 29－y 2 27 ＝1 6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ， 则C 的离心率为________． 解析：不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，B 点为椭圆的上顶点，F (c,0)(c ＞0)为右焦点， 则由BF ＝2FD ，得D 点到右准线的距离是B 点到右准线距离的一半，则D 点横坐标x D ＝a 22c ，由BF ＝2 FD 知，c ＝2? ?? ??a 22c －c ，得3c 2＝a 2 ，e ＝33. 答案： 3 3 7．(20112江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点? ????1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －1 2 ＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0， 由 |－2k ＋1|4k 2 ＋4 ＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2 ＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A ? ????35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2 ＝b 2 ＋c 2 ＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 2 4 ＝1. 答案：x 25＋y 2 4 ＝1 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9 ＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率 的两倍，则双曲线的方程为________． 解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2 ＝c 2 －a 2 ＝3，故所求双曲线的方程是x 24－y 2 3 ＝1. 答案：x 24－y 2 3 ＝1 9．设P 点在圆x 2 ＋(y －2)2 ＝1上移动，点Q 在椭圆x 2 9＋y 2 ＝1上移动，则PQ 的最大值是________． 解析：圆心C (0,2)，PQ ≤PC ＋CQ ＝1＋CQ ， 于是只要求CQ 的最大值．设Q (x ，y )， ∴CQ ＝ x 2 ＋y －22 ＝ 91－y 2＋y －22 ＝ －8y 2 －4y ＋13， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－1 4时，CQ max ＝ 272＝362 ， ∴PQ max ＝1＋36 2. 答案：1＋36 2 10．(20122辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2 ＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1 ⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________ 解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2 ＝|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2 ＝4，可得2|PF 1|2|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2 ＝|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＋2|PF 1|2|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 3 11.(20112四川高考)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3 2 .椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一 点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP 2OQ 为定值． 解：(1)由已知得b ＝1，c a ＝3 2 ，解得a ＝2， 所以椭圆方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为 y ＝－ 3 3 x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝83 7 ， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－1 7， 所以D 点坐标为? ????83 7 ，－17. 故|CD |＝ ? ????837－02＋? ????－17－12＝16 7. (2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1? ????k ≠0且k ≠12. 代入椭圆方程化简得(4k 2 ＋1)x 2 ＋8kx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k ＋1 ， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 2 4k 2＋1 ， 所以D 点坐标为? ?? ??－8k 4k 2＋1，1－4k 2 4k 2＋1. 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1， 直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)， 联立解得??? ?? x ＝－4k ， y ＝2k ＋1. 因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)． 又P 点坐标为? ????－1k ，0. 所以OP 2OQ ＝? ?? ?? －1k ，02(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP 2OQ 为定值． 12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2 ，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程； (2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程； ②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程． 解：(1)由题设：??? ?? c a ＝22， a 2 c ＝2， ∴?? ? a ＝2 c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2 ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2 ＋? ?? ??y －t 22 ＝1＋t 2 4， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2 ? ????1＋t 2 4－? ?? ?????????2＋t 2 2－24＋t 22＝6， ∴t 2 ＝4，∴t ＝±2. ∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2 ＝2或 (x －1)2 ＋(y ＋1)2 ＝2. ②证明：法一：设P (x 0，y 0)， 由①知??? ?? x 0－12＋? ????y 0－t 22＝1＋t 2 4， 2x 0＋ty 0－2＝0 即? ?? ?? x 2 0＋y 2 0－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0， 消去t 得x 20＋y 2 0＝2 ∴点P 在定圆x 2 ＋y 2 ＝2上． 法二：设P (x 0，y 0)， 则直线FP 的斜率为k FP ＝ y 0 x 0－1 . ∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为k OM ＝x 0－1 y 0 ， ∴直线OM 的方程为y ＝－x 0－1 y 0 x ， 点M 的坐标为M ? ?? ?? 2，－ 2x 0－1y 0. ∵MP ⊥OP ，∴OP 2MP ＝0， ∴x 0(x 0－2)＋y 0? ??? ?? y 0＋ 2x 0－1y 0＝0 ∴x 20＋y 2 0＝2，∴点P 在定圆x 2 ＋y 2 ＝2上． 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1. 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值． 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 - 江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10. 答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） 1.设F 1，F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与 椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标； （2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （1）求△P AB 面积的最大值； （2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是 1B ，2B ，且21MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2 e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程； (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点. (i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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