高数第三章习题

习题3-1

1. 验证：函数()lnsin f x x =在π5π

[,

]66

上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.

证：()lnsin f x x =在区间π5π[,

]66上连续，在π5π

(,)66

上可导，且π5π()()ln 266

f f ==-，即在π5π

[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存

在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x

f x x x

'===得

ππ5π(,),266

x =∈故取π

2ξ=，可使()0f ξ'=.

2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？

⑴ 2, 01,

() [0,1] 0, 1,

x x f x x ?≤<=?=?；

⑵ ()1, [0,2] f x x =-；

⑶ sin , 0π,

() [0,π] . 1, 0,

x x f x x <≤?=?

=?

解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.

⑵ 1, 12,

()1, 0 1.

x x f x x x -≤

-<

(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而1, 12,

()1, 0 1.

x f x x <

-<

即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.

⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π

2

ξ=

，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的

π2

ξ=

. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.

3. 函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得

1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于

(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.

4. 验证：拉格朗日定理对函数3

()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.

验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得

ξ=

，即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立. 5. 如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >.

证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ?∈<<，使得()()

()0f x f a f x a

ξ''-''=>-,

于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >

6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.

证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且

()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ?∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ?∈，使

得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ?∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.

7. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，

b ）内至少有一点ξ，使得

()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.

证明：令()()e ,x

F x f x =?()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ?∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξ

ξ

ξξ'+=,即

()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈

8. 证明恒等式：

2

22arctan arcsin

π (1).1x

x x x

+=≥+ 证明：令2

2()2arctan arcsin 1x

f x x x =++,

22

2222

2

2(1)22()1(1)22

011x x x

f x x x x x

+-?'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即2

22arctan arcsin π.1x

x x +=+ 9. 利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数2

3

()(31)f x x x =-+.

解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以

(4)(5)(6)23456

(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!

f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++

计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-， (4)

(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.f

f f ==-=

故2

3

4

5

6

()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+ 10. 利用泰勒公式求下列极限：

⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 2

1lim[ln(1)].x x x x

→∞-+ 解：⑴

3

4sin 0()3!

x x x x =-+

3

43300[0()]

sin 13!lim lim 6

x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵

tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++

tan 200e 11tan 0(tan )1

lim

lim 1x x x x x x x

→→-++-∴== (3) 令1

x t

=

,当x →∞时，0t →， 2

22202

2011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}2

1()1lim().22

x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-= 11. 求下列函数在0x x =处的三阶泰勒展开式：

⑴

04);y x =

= ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=

解：⑴ 1357

(4)

222211315 , , ,.24816

y x y x y x y x ----''''''==-==-

所以113

(4) , (4) ,(4)432256

y y y ''''''=

=-=

(4)

7

2

15[4(4)]16[4(4)]y x x θθ+-=-+-

4

237

2

111

5(4)(4)(4)(4) (01).464512

128[4(4)]

x x x x x θθ----+--

<<+-

⑵

234

4

ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+

234

4345

2

4

(1)ln (1)ln[1(1)]

(1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]

y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-

12. 求函数()e x

f x x =的n 阶麦克劳林公式.

解：

2

1e 1e 2!

(1)!!

n n x x x x x x n n θ-=+++

++-

3

12()e e (01)2!

(1)!!

n n x

x

x x x f x x x x n n θθ+∴==+++

++<<- 习题3-2

1.选择题： （1）()arctan 2f x x x π??=-

???

，则lim ()x f x →+∞是哪种类型未定式的极限？（ ） A.∞-∞ B.0∞? C.∞+∞ D.∞?∞ （2）220001cos (1cos )sin 1lim

lim lim 1(1)22

x x x x x x x x x →→→'--==='++，则此计算（ ）.

A.正确

B.错误，因为21cos lim 1x x x →∞-+不是0

0型未定式

C.错误，因为20(1cos )lim

(1)x x x →'

-'

+不存在

D.错误，因为201cos lim 1x x x →-+是∞

∞

型未定式

（3）0

()lim

(()x f x A g x →'=∞'或为）是使用洛必达法则计算未定式0()

lim ()

x f x g x →的（ ）. A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 （4）下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）. A.

20

1

sin lim

sin x x x x

→ B.lim arctan 2x x x π→+∞??- ???

C.sin lim sin x x x x x →∞-+

D.2

sin lim x x x x →∞ （5）43

4334

lim 22x b x bx x bx b x b →-=-+-（ ）.（其中b 为非零常数）

A. 0

B.∞

C. 1

D. 1

4

-

（6）2

lim(sec tan )x x x π

→

-=（ ）. A.-∞ B.+∞ C.1 D.0 （7）0

ln sin 5lim ln sin 2x x

x

+

→=（ ）.

A.52

B.2

5 C.1 D.∞

2. 利用洛必达法则求下列极限：

⑴ πsin 3lim

tan 5x x x →; ⑵ 3π2

ln sin lim (2)x x

x π→

-;

⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim

x a x a

x a

→--; ⑸ lim m

m

n n x a x a x a →--; ⑹ 1

ln(1)

lim cot x x arc x →+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x

x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +

→;

⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )x

x x

+→;

解：⑴ 原式=2π3cos33

lim

5sec 55

x x x →=-

. ⑵ 原式=2ππ2

2

1cot 1csc 1

lim

lim 4π-2428

x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11

lim lim lim e 1e 2e e 22

x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.

⑷ 原式=cos lim

cos 1

x a x

a →=.

⑸ 原式=11lim

m m n

n x a mx m a nx n

---→=. ⑹ 原式=2222

1

()

11lim lim 11

1x x x x x x x x x →+∞→+∞?-++==+-

+.

⑺ 原式=22

001

sin lim lim 0csc x x x x x x

++→→=-=-. ⑻ 原式=001

ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x

++→→==-?. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1

=lim 2x x x x

→--

204e e 3

=lim

22

x x x →-=. ⑽ 原式=0

lim(1ln )x

x x +

→- 令(1ln )x

y x =-

0002

0011

()

ln(1ln )1ln lim ln lim lim

11

1

lim lim 0

1

1ln x x x x x x x x y x x

x x x

+++++→→→→→?---==-===-- ∴原式=0

lim e 1x y +

→==. 3. 设21lim

51

x x mx n

x →++=-,求常数m , n 的值. 解：要使21lim

51x x mx n

x →++=-成立，则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112lim

lim 2511

x x x mx n x m

m x →→+++==+=- 得3,4m n ==- 4. 设()f x 二阶可导，求2

()2()()

lim

h f x h f x f x h h

→+-+-. 解：

2000()2()()()()

lim

lim

21()()()()

lim []

21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h h

f x h f x f x h f x h h →→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()

m lim ]1

[()()]

2

().

h h f x h f x f x h f x h h

f x f x f x →→''''+---+-''''=+''=

习题3-3

1． 1. 确定下列函数的单调区间：

(1) 3

2

26187y x x x =---； (2) 8

2 (0)y x x x

=+

>； (3)

ln(y x =； (4) 3

(1)(1)y x x =-+； (5) e (0,0)n x

y x n x -=>≥； (6) sin 2y x x =+； (7) 5

4

(2)(21)y x x =-+.

解：(1)所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且

2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-

可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.

(2)函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且28

2y x

'=-

，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.

(3)函数定义域为(,)-∞+∞

，0y '=

>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.

(4)函数定义域为(,)-∞+∞,2

2(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2

x x =-=

,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1

[,)2

+∞内， 0y '>，函数单调增加.

(5)函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x

n x x n y nx

x x n x -----'=-=-

函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.

(6)函数定义域为(,)-∞+∞,

πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2

x x x n n n y x x x n n n ?

+∈+∈??=??-∈-∈??Z Z

1) 当π

[π,π]2x n n ∈+

时， 12cos 2y x '=+，则 1π

0cos 2[π,π]23y x x n n '≥?≥-?∈+；

πππ

0cos 2[π,π]232y x x n n '≤?≤-?∈++.

2) 当π

[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则

1ππ

0cos 2[π,π]226y x x n n '≥?≤?∈--

1π

0cos 2[π,π]26

y x x n n '≤?≥?∈-.

综上所述，函数单调增加区间为πππ

[,] ()223

k k k z +∈，

函数单调减少区间为ππππ

[,] ()2322

k k k z ++∈.

(7)函数定义域为(,)-∞+∞.

44533

4

5(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)

y x x x x x x x '=-++-+?=+--

函数驻点为123111

,,2218

x x x =-=

=, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，

在111

[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，

在11

[,2]18

上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.

故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11

[,)18

+∞. 2. 证明下列不等式: (1) 当π

02

x <<

时， sin tan 2;x x x +> (2) 当01x <<时， 2

e sin 1.2

x

x x -+<+ 证明: (1)令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)

()cos x x x f x x

-++'=,

当π

02

x <<

时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->

(2) 令2()=e sin 12

x

x f x x -+--,则()=e cos x

f x x x -'-+-,

()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故

()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2

e sin 1.2

x

x x -+<+

3. (1)证明：不等式

()()ln 101x

x x x x

<+<>+；

(2)设0,1a b n >>>，证明：

()()11n n n n nb a b a b na a b ---<-<-；

(3)设0a b >>，证明：

ln a b a a b

a b b

--<<； (4)设0x >，证明：

1

12

x +>4. 试证:方程sin x x =只有一个实根.

证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.

5. 求下列函数的极值:

(1) 2

23y x x =-+； (2) 3

2

23y x x =-；

(3) 32

26187y x x x =--+； (4) ln(1)y x x =-+；

(5) 42

2y x x =-+； (6) y x =+

解: (1) 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.

又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 2

66y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,

126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,

故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 2

612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.

1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,

故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) 1

101y x

'=-

=+，令0y '=，得驻点0x =. 2

01

,0(1)

x y y x =''''=

>+,故(0)0y =为极大值. (5) 3

2

444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.

210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>

故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值. (6) 1

y '=-

,令0y '=，得驻点13

,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点

21x =，当34x >

时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故13

4

x =为极大值点，且极大值为35

()44

y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.

6. 设,,,a b c d 为常数，试证明：如果函数3

2

y ax bx cx d =+++满足条件2

30b ac -<，那

么这函数没有极值.

证明：2

32y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2

320ax bx c ++=，

由于 2

2

(2)4(3)4(3)0b a c b ac ?=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.

7. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π

3

x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π

3

x =

处取得极值，必有 π3

π

0()(cos cos3)3x f a x x =

'==+，得a =2. 又

π3

π

0()(2sin 3sin 3)

3

x f x x =''=<=--，

所以π3x =

是极大值点，极大值为π

()3

f = 习题3-4

1. 求下列函数的最大值、最小值：

254

(1) (), (,0)f x x x x

=-

∈-∞；

(2) () [5,1]f x x x =∈-； 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.

解：(1)y 的定义域为(,0)-∞，32

2(27)

0x y x +'=

=，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞

=+∞，故f (x )无最大值.

(2)10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点3

4x =，

又

5

3,(1)1,(5)54

4y y y ??

=

=-= ??? , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为

5

4

5.

(3)函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，

而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 2.

求数列1000n ?

??

?

+??

的最大的项.

解：令1000

y x =

+

,

y '==

=令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,

所以x =1000为函数y

的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000

y y ==

.

故数列1000n ?

??

?+??

的最大项为1000

a =.

3. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和b

a

为端点的闭区间上的最大值和最小值.

解：20y ax b '=+=得2b x a =-

不可能属于以0和b

a

为端点的闭区间上, 而 2

2(0)0,b

b y y a a ??== ???

,

故当a >0时，函数的最大值为2

2b

b y a a ??= ???，最小值为(0)0y =;

当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为2

2b

b y a a ??= ???

.

4. 已知a >0，试证：11()11f x x x a =

+++-的最大值为21a

a

++. 证明： 1

1,0111

1(),01111

,11x x x a f x x a x x a x a x x a

?+

?=+≤≤?+-+??+>?++-?

当x <0时，()

()

2

2

1

1

()011f x x x a '=

+

>--+;

当0

11

()11f x x x a '=-

+

+-+;

此时令()0f x '=，得驻点2a x =

，且422a f a ??= ?+??，

当x >a 时，()()22

1

1

()011f x x x a '=-

-

<++-,

又lim ()0x f x →∞

=，且2(0)()1a

f f a a

+==

+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得

故 {

}

max 242(),,0121a a

f x a a a

++=

=+++. 5. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

解：设圆柱体的高为h , 则圆柱体底圆半径为2

2

4

h r -，

2

2232πππ44h V h r h h r ??=?=-- ??

?

令0V '=, 得23

.3

h r =

即圆柱体的高为

23

r 时，其体积为最大. 6. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知

2

1π22x xy a ??+?= ???

得 21π

18π8

a x a y x x x -==-

6题图

截面的周长

2121

12π

()2πππ,

2424

π2()1,

4a a l x x y x x x x x x x x a

l x x

=++?=+-+=++'=+-

令()0l x '=得唯一驻点84π

a

x =

+，即为最小值点. 即当84π

a

x =

+时，建造材料最省. 7. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为

2222222

()1 1.5(3)(03)2.25(3)(3)1

()1 2.25(3)L x x x x x x x x L x x x =+++-<<+---+'=

++-

7题图

在0

23222

2

(2)44128V a x x x ax a x V x ax a

=-?=-+'=-+

令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6

a x =. 即小正方形边长为

6

a

时方盒容积最大. 习题3-5

1. 判定下列曲线的凹凸性：

2(1)4y x x =－； (2)sin(h )y x =；

1

(3) (0)y x x x

=+> ； (4) arctan y x x =.

解：(1) 42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.

(2)cosh ,sinh .y x y x '''==

由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的. (3)23

12

1,0y y x x

'''=-

=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) 2

arctan 1x

y x x

'=+

+，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的. 2. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：

32(1) 535y x x x =-++； (2)e x y x -=； 4(3) (1)e x y x =++； ()

2(4) ln 1y x =+； arctan (5) e x y = 4(6) (12ln 7)y x x =－.

解：(1)2

3103y x x '=-+

610y x ''=-，令0y ''=可得5

3

x =.

当53x <时，0y ''<，故曲线在5

(,)3-∞内是凸弧；

当53x >时，0y ''>，故曲线在5

[,)3

+∞内是凹弧.

因此520,

327??

???

是曲线的唯一拐点.

(2)(1)e , e (2)x

x

y x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2

当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －

2)为唯一的拐点.

(3)32

4(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.

(4)2222

22(1)

, 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.

当－1，即曲线在[－1，1]内是凹的.

当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2). (5)arctan arctan 222

112e ,e 1(1)

x x

x y y x x -'''=

=++ 令0y ''=得1

2

x =. 当12x >

时，0y ''<，即曲线在1

[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1

(,]2

-∞内是凹的，

故有唯一拐点1

arctan 21(,e

)2

. (6)函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.

324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=

令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.

当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0

3. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

()1(1) (0,0,,1)22n

n n x y x y x y n x y +??>>>≠>+ ???

；

2e e (2)e ()2

x y x y x y ++>≠ ；

(3) ln ln ()ln

(0,0,)2

x y

x x y y x y x y x y ++>+>>≠ . 证明：(1)令 ()n

f x x =

12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，

则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +

?∈，

()()22f x f y x y f ++??<

???

, 即 1()

22n

n n x y x y +??<+ ?

??

. (2)令f (x )=e x

()e ,()e 0x x f x f x '''==> .

则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ?∈≠

则 ()()22f x f y x y f ++??<

?

??

即 2

e e e

2

x y

x y ++<.

(3)令 ()ln (0)f x x x x =>

1

()ln 1,()0(0)f x x f x x x

'''=+=

>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +

?∈，x ≠y ，有

()()22f x f y x y f ++??<

???

即 1

ln (ln ln )222

x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln 2

x y

x x y y x y ++>+.

4. 求下列曲线的拐点：

23(1) ,3;x t y t t ==+ 2(2) 2cot ,2sin x a y a θθ==.

解：(1)22223

d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-==

令22d 0d y

x

=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4

当t >1或t <－1时，22d 0d y

x >，曲线是凹的，

当0

x

<，曲线是凸的，

故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).

(2)

32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )

y a x a θθθθθ??==-?- 2224422

22

d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a

θθθθθθ=-+?=?-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3

θ=-，

不妨设a >0tan θ>>ππ

33θ-<<时，22d 0d y x >，

当tan θ>tan θ<π3θ<-或π

3

θ>时，22d 0d y x <,

故当参数π3θ=

或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,2a ???及3,2a ??

???. 5. 试证明：曲线2

1

1

x y x -=

+有三个拐点位于同一直线上. 证明：222

21

(1)x x y x -++'=+，

23

2(1)(22(1)x x x y x +--+''=

+

令0y ''=，得1,22x x x =-=+=-当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；

当(1,2x ∈-时0y ''>；

当(22x ∈+时0y ''<；

当(2)x ∈+∞时0y ''>,

因此，曲线有三个拐点(－1，－1)

，(2-+. 因为

11

1212-+=0 因此三个拐点在一条直线上.

6. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？ 解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有

3

620

a b a b +=??

+=? 解得 39,22

a b =-=

. 习题3-6

1. 选择题： （1）曲线2

41

(2)

x y x -=

-（ ）. A.只有水平渐近线 B.只有铅直渐近线

C.没有渐近线

D.有水平渐近线也有铅直渐近线 （2）函数3

2ln

3x y x

+=-的水平渐近线方程为（ ）. A.2y = B.1y = C.3y =- D.0y =

（3）曲线2(1)

x y e +=-（ ）.

A.只有水平渐近线

B.只有铅直渐近线

C.没有水平渐近线和铅直渐近线

D.有水平渐近线也有铅直渐近线