2008年高考数学(江苏卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（江苏卷）

本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂

黑．

参考公式：

样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差

锥体体积公式

s =

13

V Sh =

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh =

24πS R =，34π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6

cos()(π

ω-

=x x f 最小正周期为

5

π

，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲

3．

),(11R b a bi a i

i

∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}

73)1(2

-<-=x x x A ，则集合A Z 中有 ▲ 个元素

5．b a ,的夹角为

120，1,3a b == ，则5a b -= ▲

6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ 7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时S 的值为 ．

8．直线b x y +=

2

1

是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲ 9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一

同学已正确算的OE 的方程：01111=???

?

??-+??? ??-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=???

?

??-+y a p x 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲

11．2

*

,,,230,y x y z R x y z xz ∈-+=的最小值为 ▲

12．在平面直角坐标系中，椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的

圆，过点???

?

??0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲

13．若BC AC AB 2,2=

=，则ABC S ?的最大值 ▲

14．13)(3

+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = ▲

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B

（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

16．（14分）在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD

（2）面EFC ⊥面BCD

17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

B

C A F

D

E

B

18．（16分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。求： （1）求实数b 的取值范围 （2）求圆C 的方程

（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。 19．（16分）（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当4=n 时，求d

a 1

的数值；②求n 的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20. （16分）

若1

2

12()3,()23

x p x p f x f x --==?，x R ∈，12,p p 为常数，且???>≤=)()(),()

()(),()(212

211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示） （2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f =

求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2

a

b -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）

卷2

21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2

ED EB EC = ．

B ．选修4—2 矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22

41x y +=在矩阵A=????

2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，

求F 的方程．

C ．选修4—4 参数方程与极坐标

在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

213

x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．

D ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ，b ，c

为正实数，求证：3

33111

abc a b c

+++≥

B C E

D A

必做题

22．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点，记11D P

D B

λ=．

当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．

23．请先阅读：在等式2

cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：

2(cos2)(2cos 1) x x ''=-，

由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=- ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =

． （1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n

＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++ （

x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1

[(1)

1]n n x -+-＝1

1

C n

k k n k k x

-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证： （i ）

1(1)

C n

k

k n k k =-∑＝0；

（ii ）

21

(1)

C n

k

k

n

k k =-∑＝0； （iii ）11

121

C 11n n

k n k k n +=-=

++∑．

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差

s =其中x 为样本平均数

柱体体积公式

V Sh =

其中S 为底面积，h 为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω??

=-

??

?

的最小正周期为

5

π

，其中0ω>，则ω= ▲ ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105

T π

π

ωω

=

=

?=

【答案】10

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．

【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，

故316612P =

=? 【答案】1

12

3.11i i

+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 锥体体积公式 1

3

V Sh =

其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式

24S R π=，34

3

V R π=

【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()2

1112

i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】1

4.A={()}2

137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2

137x x -<-得2

580x x -+<,∵

Δ＜0，∴集合A 为? ，因此A Z 的元素不存在． 【答案】0

5.a ，b 的夹角为120?，1a =

，3b = 则5a b -= ▲ ．

【解析】本小题考查向量的线性运算．()

2

222

552510a b a b

a a

b b -=-=-+

=2

2

125110133492???-???-+= ???

，5a b -= 7

【答案】7

6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．2

144

16

P ππ

?=

=

?

【答案】

16

π

7.算法与统计的题目

8.直线1

2

y x b =

+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'

1y x = ，令112

x =得2x =，故切点（2，

ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．

【答案】ln2－1

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ??

??-+-= ?

?????

，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ??

+-=

??

?. 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填

11

c b

-．事实上，由截距式可

得直线AB ：

1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ??

??-+-= ? ?????

，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】

11b c

- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）

个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．

【答案】26

2

n n -+

11.已知,,x y z R +

∈，230x y z -+=，则2

y xz

的最小值 ▲ ．

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2

y xz

得

229666344x z xz xz xz

xz xz

+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．

【答案】3

12.在平面直角坐标系中，椭圆22

22x y a b

+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，

过点2,0a c ??

???

作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?

【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故

2

a c =，解得c e a ==

【答案】

2

13．若

，则ABC S ?的最大值 ▲ ． ?

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC

， 根据面积公式得ABC S ?

=

1

sin 2

AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 2

44x x

-=，代入上式得

ABC S ?

=

=

由三角形三边关系有2

2x x +>+

>??

解得22x <<

，

故当x =ABC

S ?最大值

【答案】14.()3

31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()3

31f x ax x =-+≥0可化为，2331

a x x

≥

- 设()2331g x x x =

-，则()()'

4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12??????

上单调递减，因此()max 142g x g ??

== ???

，从而a ≥4；

当x ＜0 即[)1,0-时，()3

31f x ax x =-+≥0可化为a ≤

2331x x -，()()'

4

312x g x x

-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4

【答案】4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位

圆相交于

A,B 两点，已知A,B

的横坐标分别为

105

．

（Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的cos 105αβ=

=，因为α,β为锐角，所以sin α

=,sin 105

β=

因此1

tan 7,tan 2

αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=

tan tan 31tan tan αβ

αβ

+=--

（Ⅱ） 2

2tan 4tan 21tan 3βββ=

=-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβ

αβαβ

++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<

，∴2αβ+=34

π

16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；

（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．

【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，

∵EF ?面ACD ，AD ? 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.

又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．

17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10

cos cos AQ OA θθ

=

=, 故 C

B

P

O

A

D

10

cos OB θ

=

，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=

++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=

+04πθ?

?<< ??

?

②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=

所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()

'

22

10cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----=

= 令'

y =0 得sin 1

2

θ=

，因为04πθ<<，所以θ=6π，

当0,6πθ?

?

∈ ??

?

时，'

0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ??

∈

???

时，'0y > ，y 是θ的增函数，所

以当θ=

6

π

时，min 10y =+。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km 处。 18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()2

2f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个

交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）； 令()2

20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 2

0y Dx Ey F ++++=

令y ＝0 得2

0x Dx F ++=这与2

2x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为2

2

2(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12

＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19.（Ⅰ）设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

1

a d

的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．

若删去2a ，则有2314,a a a = 即()()2

11123a d a a d +=+ 化简得214a d d +＝0，因为d ≠0，所以

1

a d

=4 ； 若删去3a ，则有214a a a = ，即()()2

1113a d a a d +=+ ，故得1

a d

=1． 综上

1

a d

=1或－4． ②当n ＝5 时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．

若删去2a ，则有15a a ＝34a a ，即()()()1111423a a d a d a d +=++ ．故得1

a d

=6 ； 若删去3a ，则15a a ＝24a a ，即()()()111143a a d a d a d +=++ ． 化简得32

d ＝0，因为d ≠0，所以也不能删去3a ；

若删去4a ，则有15a a ＝23a a g ，即()()()111142a a d a d a d +=++g g ．故得

1

a d

= 2 ． 当n ≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列1a ，2a ，3a ，…，2n a -，1n a -，n a 中， 由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有1n a a ＝32n a a - ，这与d ≠0 矛盾；同样若删 去2n a -也有1n a a ＝32n a a - ，这与d ≠0 矛盾；若删去3a ，…，2n a - 中任意一个，则必有

1n a a ＝21n a a - ，这与d ≠0 矛盾．

综上所述，n ∈{4，5}．

（Ⅱ）略 20.若()1

13x p f x -=，()2

223

x p f x -= ，12,,x R p p ∈为常数，

且()()()()()()

()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤??=?

>?? （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为

2

b a

-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）． 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）()()1f x f x =恒成立?()()12f x f x ≤?1

2

3

23

x p x p --≤ ?12

3log 23

3x p x p ---≤

?1232x p x p log ---≤（*）

因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=- 所以，故只需12p p -32log ≤（*）恒成立

综上所述，()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件是：12p p -32log ≤

（Ⅱ）1°如果12p p -32log ≤，则的图象关于直线1x p =对称．因为()()f a f b =，所以区间

[],a b 关于直线1x p = 对称．

因为减区间为[]1,a p ，增区间为[]1,p b ，所以单调增区间的长度和为2

b a

- 2°如果12p p -32log >.

（1）当12p p -32log >时.()[][]11

1113,,3,,x p

p x x p b f x x a p --?∈?=?∈??，()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+?∈?=?∈??

当[]1,x p b ∈，

()

()

213log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x <， 故()()1f x f x ==1

3x p -

当[]2,x a p ∈，

()

()

123log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x > 故()()2f x f x ==23log 2

3

p x -+

因为()()f a f b =，所以231

log 23

3p a b p -+-=，所以123log 2,b p p a -=-+即

123log 2a b p p +=++

当[]21,x p p ∈时，令()()12f x f x =，则231log 233x p p x

-+-=，所以123log 2

2

p p x +-=

，

当1232log 2,

2p p x p +-??∈????

时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 2

3x p -+ 1231log 2,2p p x p +-??

∈????

时，()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==13p x -

()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12312log 2

2

p p b p p +--+

-

=123log 2222

p p a b b a

b b +++--

=-=

（2）当21p p -32log >时.()[][]11

1113,,3,,x p

p x x p b f x x a p --?∈?=?∈??，()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+?∈?=?∈??

当[]2,x p b ∈，

()

()

213log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x >， 故()()2f x f x ==23log 2

3

x p -+

当[]1,x a p ∈，()

()

123log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>，所以()()12f x f x <

故()()1f x f x ==13

p x

-

因为()()f a f b =，所以231log 23

3b p p a

-+-=，所以123log 2a b p p +=+-

当[]12,x p p ∈时，令()()12f x f x =，则231

log 233p x x p -+-=，所以123log 2

2

p p x ++=

，

当1231log 2,

2p p x p ++??∈????

时， ()()12f x f x ≤，所以()()1f x f x ==1

3x p - 1231log 2,2p p x p ++??

∈????

时，()()12f x f x ≥，所以()()2f x f x ==23log 23p x -+

()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12321log 2

2

p p b p p ++-+

-

=123log 2222

p p a b b a

b b +-+--

=-=

综上得()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为

2

b a

-

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学附加题参考答案

21：从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分 A ．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2

ED EB EC = ．

证明：如图，因为AE 是圆的切线， 所以，ABC CAE ∠=∠,

又因为AD 是BAC ∠的平分线， 所以 BAD CAD ∠=∠

从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠, DAE CAD CAE ∠=∠+∠ 所以 ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.

因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知,

2

E A E C

E B =?, 而EA ED =,所以2

ED EC EB =

B ．选修4—2 矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22

41x y +=在矩阵???

?

2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．

解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点

'''

00(,)P x y 则有

'

0'0020 01x x y y ??????=??????????????，即'00'

002x x y y ?=??=??，所以'

0'

02x x y y ?=

???=? 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'2

00()()1x y +=

所以，曲线F 的方程是 22

1x y +=

C ．选修4—4 参数方程与极坐标

在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

213

x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． B C E

D A

解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φ

φφ

?=??=??为参数）

故可设动点P 的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.

因此1sin 2(sin )2sin()223

S x y π

φφφφφ=+=+=+=+ 所以。当6

π

φ=

是，S 取最大值2

D ．选修4—5 不等式证明选讲

设a ，b ，c 为正实数，求证：

333

111

a b c +++abc ≥．

证明：因为,,a b c 为正实数，由平均不等式可得

333111a b c ++≥ 即 3331113

a b c a b c ++≥ 所以3331113

abc abc a b c abc

+++≥

+，

而

3abc abc +≥=

所以

333

111

a b c +++abc ≥

22．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记

11D P

D B

λ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围． 解：由题设可知，以DA 、DC 、1DD

为单位正交基底，

建

立如图所示的空间直角坐标系D x y z -，则有

(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)D

由1(1,1,1)D B =- ，得11(,,)D P D B λλλλ==-

，所以

11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---

11

(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=--- 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角等价于

cos cos ,0PA PC

APC PA PC PA PC

∠=<>=<

，则等价于0PA PC <

即 2

(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得1

13

λ<< 因此，λ的取值范围是1(,1)3

23．【必做题】．请先阅读：

在等式2

cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2

(cos2)(2cos 1) x x ''=-，

由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=- ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =

． （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n n

n n n n x x x ++++ （

x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1

1

2

[(1)

1]C n

n k k n k n x k x

--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：

（i ）1(1)C 0n

k

k

n

k k =-=∑； （ii ）2

1(1)C 0n

k

k n

k k =-=∑； （iii ）11121

C 1

1n n

k n k k n +=-=

++∑． 证明：（1）在等式0122(1+x)=C C C C n n n

n n n n x x x ++++ 两边对x 求导得

112121

(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+

移项得 1

1

2

[(1)

1]n

n k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）

（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得

1

1

(1)

n

k k

n k kC -=-=∑ 所以

1

(1)0n

k k

n k kC =-=∑ （ii ）由（1）知112121

(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥ 两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-

在上式中，令1x =-

23220232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--

即

22

(1)(1)0n

k

k n

k k k C

-=--=∑，

亦即

2

2

(1)(

)0

n

k

k

n k k k C =--=∑ （1） 又由（i ）知

1

(1)0

n

k

k

n

k kC

=-=∑ （2） 由（1）+（2）得

21

(1)

C 0n

k

k

n k k =-=∑

（iii ）将等式0122(1+x)=C C C C n n n

n n n n x x x ++++ 两边在[0,1]上对x 积分

1

1

01220

(1)(C C C C )n n n

n n n n x dx x x x dx +=++++?

?

由微积分基本定理，得1

1

11

00

1

1(1)()1

1n

n k k n k x C x n k ++=+=++∑

所以 1

0121

1

1n n

k n k C k n +=-=

++∑