2008年高考数学(江苏卷)

2008年高考数学(江苏卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（江苏卷）

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的

准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的

标号涂黑．

参考公式：

样本数据1

x ，2

x ，L ，n

x 的标准差 锥体体

积公式

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++-L

13

V Sh

=

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh

=

2

4πS R =，3

4π3

V R = 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π

，其中0>ω，则=ω ▲

2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲

3．),(11R b a bi a i

i

∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}7

3)1(2

-<-=x x x A ，则集合A Z I 中有 ▲ 个元

素

5．b a ρ?,的夹角为ο

120，

1,3

a b ==r r ，则

5a b -=

r r

▲

6．在平面直角坐标系xoy 中，设

D 是横坐标与纵坐标的绝对值

均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ 7．某地区为了解70~80岁老人

的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表： 序号 （i ） 分组 睡眠时间 组中值

（G i ） 频数 （人

数）

频率 （F i ） 1 [4，5） 4.5 6 0.12 2 [5，6） 5.5 10 0.20 3 [6，7） 6.5 20 0.40 4

[7，

7.5

10

0.20

开始 S ←0 输入i ←1

S ← S ＋i ≥5 i ← i N Y

输出结束

8） 5

[8，9]

8.5

4

0.08

在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ． 8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲

9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=???

?

?

?-+??

? ?

?-y a

p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=???

?

?

?-+y a p x

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲

11．

2

*

,,,230,

y x y z R x y z xz

∈-+=的最小值为 ▲

12．在平面直角坐标系中，椭圆

)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点

???

? ??0,2c a 作

圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ 13．若BC AC AB 2,2==，则ABC

S ?的最大值 ▲

14．13)(3

+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a =

▲

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为5

5

2,102 （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。

16．（14分）在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且E 、

F 分别是AB 、BD 的中点，

求证：（1）直线EF//面ACD （2）面EFC ⊥面BCD

B C A

F

D

E y

O A B

17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式；

②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污

水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

B

C D A

O P

18．（16分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2

()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。求： （1）求实数b 的取值范围 （2）求圆C 的方程 （3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。 19．（16分）（1）设n

a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当4=n 时，求d a 1

的数值；②求n 的所有可能值；

（2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n

b b b ,......,2

1

，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20. （16分） 若1

2

1

2

()3,()23

x p x p f x f x --==?，

x R

∈，

12

,p p 为常数，且

?

?

?>≤=)

()(),()

()(),()(2

122

1

1

x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1

x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用2

1

,p p 表示）

（2）设b a ,为两实数，b a <且),(,2

1b a p p ∈若)()(b f a f =

求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2

a

b -

（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）

卷2

21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲

如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2

ED EB EC

=g ．

B ．选修4—2 矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2

2

41x y +=在矩阵A=????????2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．

B C E

D A

C ．选修4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

213

x y +=上的

一个动点，求S x y =+的最大值．

D ．选修4—5 不等式证明选讲

设a ，b ，c 为正实数，求证：3

3

3

11123abc a b c +++≥

必做题

22．记动点P 是棱长为1的正方体11

1

1

-ABCD A B C D 的对角

线1

BD 上一点，记11

D P

D B

λ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．

23．请先阅读：在等式2

cos 22cos 1

x x =-（x ∈R ）的两边求

导，得：

2(cos 2)(2cos 1)

x x ''=-，

由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-g g ，化简得等式：

sin 22cos sin x x x

=g ．

（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0

122C

C C C n n

n

n n n x x x

++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：

1

[(1)

1]

n n x -+-＝1

1

C n

k

k n

k k x -=∑．

（2）对于正整数3n ≥，求证： （i ）1(1)C n

k

k n

k k =-∑＝0；

（ii ）2

1

(1)C n

k

k n

k k =-∑＝0；

（iii ）11

121C 11n n

k

n k k n +=-=++∑．

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1.【解析】本小题考查三角函数的周期公

式.2105

T ππ

ωω==?= 【答案】10 2．

【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故

316612

P ==? 【答案】112

3.

【解析】本小题考查复数的除法运算．∵

()2

1112

i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b +=

【答案】1

4.【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()

}

2

137x x -<-得2

580

x

x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为

?

，因此A I Z 的元素不存在．

【答案】0 5.

【解析】本小题考查向量的线性运

算．()2

2

2

2

552510a b a b a a b b -=-=-+r r r r r r r r

g

=

2

212511013349

2??

?-???-+= ???

，

5a b -=

r r 7

【答案】7

6.【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表

示单位圆及其内部，因此．2

14416P ππ?==?

【答案】16π

7. 【解析】由流程图

1122334455

S G F G F G F G F G F =++++

4.50.12

5.50.20

6.50.40

7.50.2

8.50.08=?+?+?+?+? 6.42= 【答案】6.42 8.

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求

法．'

1y x = ，令11

2

x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1． 【答案】ln2－1

9

【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由

对称性可猜想填11

c b

-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a

+=，直线CP ：1x y

c p

+= ，两式相减得

11110x y b c p a ??

??-+-= ? ?????

，显然直线AB 与CP 的交点F 满

足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

【答案】11

b c

- 10．

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即

22

n n

-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第

22

n n -＋3个，即为

26

2

n n -+．

【答案】26

2

n n -+

11.

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由

230

x y z -+=得

32

x z y +=

，代入2y xz

得

2296663

44x z xz xz xz

xz xz

+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．

【答案】3

12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故

2

2a a c

=，解得22

c e a

==．

【答案】2

13．

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC 2x

，

根据面积公式得ABC

S ?=21sin 1cos 2

AB BC B x

B

=-g 根据余弦定

理得

2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 2

44x x -=

，代入上式得

ABC

S ?=

()2

221281241416x x x x --??

--=

???

由三角形三边关系有22

22x x x x

?+>??+>??解得2

22222

x <<，

故当22x =时取得ABC

S ?最大值22【答案】2214.

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x

＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即

[]

1,1x ∈-时，()3

31

f x ax

x =-+≥0可化为，2

3

31a x x ≥-

设()2

3

31g x x x =-，则()()'

4

312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2??

?

??

上单调递增，在区间

1,12??????

上单调递减，因此

()max 14

2g x g ??

== ???

，从而a ≥4；

当x ＜0 即[)1,0-时，()3

31

f x ax

x =-+≥0可化为a ≤2

3

31x x -，

()()

'4

312x g x x -=

0>

()

g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()

()ma 14

n

g x g =-=，从

而a ≤4，综上a ＝4 【答案】4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

由条件的225cos ,cos 105

αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α

=2510β=

因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)= tan tan 3

1tan tan αβ

αβ

+=--

（Ⅱ）

22tan 4

tan 21tan 3βββ=

=

-，所以()tan

tan 2tan 211tan tan 2αβ

αβαβ

++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π

16．

【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ， ∵EF ?面ACD ，AD ? 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD. 又EF I CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ． 17．

【解析】本小题主要考查函数最值的应用． （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠

BAO=θ(rad) ，则10

cos cos AQ OA θθ==

, 故 10cos OB θ

=

，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，

所以1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ

=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ

-=+04πθ??<< ??

?

②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以OA ()2

2

2

101020200x x x -+=-+所求函数关系式为)

2220200010y x x x x =+-+<<

（

Ⅱ）选择函数模型

①

，

()()()

'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----=

=

g

令'

y =0 得sin 12

θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π

， 当0,6πθ??∈ ???时，'

0y < ，y 是θ的减函数；当,64

ππθ??

∈ ???

时，'0

y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min

10103

y

=+这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

103km 处。

18．

【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆