2008年高考数学(江苏卷)

2008年高考数学(江苏卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学(江苏卷)

本试卷分第I卷(填空题)和第II卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的

准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.

5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的

标号涂黑.

参考公式:

样本数据1

x ,2

x ,L ,n

x 的标准差 锥体体

积公式

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++-L

13

V Sh

=

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh

=

2

4πS R =,3

4π3

V R = 其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π

,其中0>ω,则=ω ▲

2.一个骰子连续投2次,点数和为4的概率 ▲

3.),(11R b a bi a i

i

∈+-+表示为的形式,则b a += ▲ 4.{}7

3)1(2

-<-=x x x A ,则集合A Z I 中有 ▲ 个元

5.b a ρ?,的夹角为ο

120,

1,3

a b ==r r ,则

5a b -=

r r

6.在平面直角坐标系xoy 中,设

D 是横坐标与纵坐标的绝对值

均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率 ▲ 7.某地区为了解70~80岁老人

的日平均睡眠时间(单位:h ),现随机地选择50位老人做调查,下表是50位老人日睡眠时间频率分布表: 序号 (i ) 分组 睡眠时间 组中值

(G i ) 频数 (人

数)

频率 (F i ) 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4

[7,

7.5

10

0.20

开始 S ←0 输入i ←1

S ← S +i ≥5 i ← i N Y

输出结束

8) 5

[8,9]

8.5

4

0.08

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S 的值为 . 8.直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线,则实数b 的值为 ▲

9.在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ,点P (0,p )在线段AO 上(异于端点),设p c b a ,,,均为非零实数,直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,,一同学已正确算的OE 的方程:01111=???

?

?

?-+??

? ?

?-y a

p x c b ,请你求OF 的方程: ( ▲ )011=???

?

?

?-+y a p x

10.将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第n 行(3≥n )从左向右的第3个数为 ▲

11.

2

*

,,,230,

y x y z R x y z xz

∈-+=的最小值为 ▲

12.在平面直角坐标系中,椭圆

)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点

???

? ??0,2c a 作

圆的两切线互相垂直,则离心率e = ▲ 13.若BC AC AB 2,2==,则ABC

S ?的最大值 ▲

14.13)(3

+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立,则a =

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(14分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,以ox 轴为始边做两个锐角βα,,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点,已知A 、B 的横坐标分别为5

5

2,102 (1)求)tan(βα+的值; (2)求βα2+的值。

16.(14分)在四面体ABCD 中,BD AD CD CB ⊥=,,且E 、

F 分别是AB 、BD 的中点,

求证:(1)直线EF//面ACD (2)面EFC ⊥面BCD

B C A

F

D

E y

O A B

17.(14分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式:

①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式;

②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污

水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。

B

C D A

O P

18.(16分)设平面直角坐标系xoy 中,设二次函数2

()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C 。求: (1)求实数b 的取值范围 (2)求圆C 的方程 (3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论。 19.(16分)(1)设n

a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列(4≥n ),且公差0≠d ,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:

①当4=n 时,求d a 1

的数值;②求n 的所有可能值;

(2)求证:对于一个给定的正整数)4(≥n n ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列n

b b b ,......,2

1

,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。

20. (16分) 若1

2

1

2

()3,()23

x p x p f x f x --==?,

x R

∈,

12

,p p 为常数,且

?

?

?>≤=)

()(),()

()(),()(2

122

1

1

x f x f x f x f x f x f x f (1)求)()(1

x f x f =对所有实数x 成立的充要条件(用2

1

,p p 表示)

(2)设b a ,为两实数,b a <且),(,2

1b a p p ∈若)()(b f a f =

求证:)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2

a

b -

(闭区间[]n m ,的长度定义为m n -)

卷2

21.(选做题)从A ,B ,C ,D 四个中选做2个,每题10分,共20分. A .选修4—1 几何证明选讲

如图,设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ,∠BAC 的平分线与BC 交于点D .求证:2

ED EB EC

=g .

B .选修4—2 矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆2

2

41x y +=在矩阵A=????????2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ,求F 的方程.

B C E

D A

C .选修4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy 中,点()P x y ,是椭圆2

213

x y +=上的

一个动点,求S x y =+的最大值.

D .选修4—5 不等式证明选讲

设a ,b ,c 为正实数,求证:3

3

3

11123abc a b c +++≥

必做题

22.记动点P 是棱长为1的正方体11

1

1

-ABCD A B C D 的对角

线1

BD 上一点,记11

D P

D B

λ=.当APC ∠为钝角时,求λ的取值范围.

23.请先阅读:在等式2

cos 22cos 1

x x =-(x ∈R )的两边求

导,得:

2(cos 2)(2cos 1)

x x ''=-,

由求导法则,得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-g g ,化简得等式:

sin 22cos sin x x x

=g .

(1)利用上题的想法(或其他方法),试由等式(1+x )n =0

122C

C C C n n

n

n n n x x x

++++L (x ∈R ,正整数2n ≥),证明:

1

[(1)

1]

n n x -+-=1

1

C n

k

k n

k k x -=∑.

(2)对于正整数3n ≥,求证: (i )1(1)C n

k

k n

k k =-∑=0;

(ii )2

1

(1)C n

k

k n

k k =-∑=0;

(iii )11

121C 11n n

k

n k k n +=-=++∑.

绝密★启用前

2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数 学

一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.

1.【解析】本小题考查三角函数的周期公

式.2105

T ππ

ωω==?= 【答案】10 2.

【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6×6 个,点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个,故

316612

P ==? 【答案】112

3.

【解析】本小题考查复数的除法运算.∵

()2

1112

i i i i ++==- ,∴a =0,b =1,因此1a b +=

【答案】1

4.【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由()

}

2

137x x -<-得2

580

x

x -+<,∵Δ<0,∴集合A 为

?

,因此A I Z 的元素不存在.

【答案】0 5.

【解析】本小题考查向量的线性运

算.()2

2

2

2

552510a b a b a a b b -=-=-+r r r r r r r r

g

=

2

212511013349

2??

?-???-+= ???

5a b -=

r r 7

【答案】7

6.【解析】本小题考查古典概型.如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表

示单位圆及其内部,因此.2

14416P ππ?==?

【答案】16π

7. 【解析】由流程图

1122334455

S G F G F G F G F G F =++++

4.50.12

5.50.20

6.50.40

7.50.2

8.50.08=?+?+?+?+? 6.42= 【答案】6.42 8.

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求

法.'

1y x = ,令11

2

x =得2x =,故切点(2,ln2),代入直线方程,得,所以b =ln2-1. 【答案】ln2-1

9

【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由

对称性可猜想填11

c b

-.事实上,由截距式可得直线AB :1x y b a

+=,直线CP :1x y

c p

+= ,两式相减得

11110x y b c p a ??

??-+-= ? ?????

,显然直线AB 与CP 的交点F 满

足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程.

【答案】11

b c

- 10.

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n -1 行共有正整数1+2+…+(n -1)个,即

22

n n

-个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第

22

n n -+3个,即为

26

2

n n -+.

【答案】26

2

n n -+

11.

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由

230

x y z -+=得

32

x z y +=

,代入2y xz

2296663

44x z xz xz xz

xz xz

+++≥=,当且仅当x =3z 时取“=”.

【答案】3

12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA ,所以△OAP 是等腰直角三角形,故

2

2a a c

=,解得22

c e a

==.

【答案】2

13.

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC =x ,则AC 2x

根据面积公式得ABC

S ?=21sin 1cos 2

AB BC B x

B

=-g 根据余弦定

理得

2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 2

44x x -=

,代入上式得

ABC

S ?=

()2

221281241416x x x x --??

--=

???

由三角形三边关系有22

22x x x x

?+>??+>??解得2

22222

x <<,

故当22x =时取得ABC

S ?最大值22【答案】2214.

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若x

=0,则不论a 取何值,()f x ≥0显然成立;当x >0 即

[]

1,1x ∈-时,()3

31

f x ax

x =-+≥0可化为,2

3

31a x x ≥-

设()2

3

31g x x x =-,则()()'

4

312x g x x -=, 所以()g x 在区间10,2??

?

??

上单调递增,在区间

1,12??????

上单调递减,因此

()max 14

2g x g ??

== ???

,从而a ≥4;

当x <0 即[)1,0-时,()3

31

f x ax

x =-+≥0可化为a ≤2

3

31x x -,

()()

'4

312x g x x -=

0>

()

g x 在区间[)1,0-上单调递增,因此()

()ma 14

n

g x g =-=,从

而a ≤4,综上a =4 【答案】4

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.

由条件的225cos ,cos 105

αβ==,因为α,β为锐角,所以sin α

=2510β=

因此1tan 7,tan 2αβ== (Ⅰ)tan(αβ+)= tan tan 3

1tan tan αβ

αβ

+=--

(Ⅱ)

22tan 4

tan 21tan 3βββ=

=

-,所以()tan

tan 2tan 211tan tan 2αβ

αβαβ

++==-- ∵,αβ为锐角,∴3022παβ<+<,∴2αβ+=34π

16.

【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定.

(Ⅰ)∵ E,F 分别是AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF ∥AD , ∵EF ?面ACD ,AD ? 面ACD ,∴直线EF ∥面ACD .

(Ⅱ)∵ AD ⊥BD ,EF ∥AD ,∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点,∴CF ⊥BD. 又EF I CF=F ,∴BD ⊥面EFC .∵BD ?面BCD ,∴面EFC ⊥面BCD . 17.

【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠

BAO=θ(rad) ,则10

cos cos AQ OA θθ==

, 故 10cos OB θ

=

,又OP =1010tan θ-10-10ta θ,

所以1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ

=++=++-, 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ

-=+04πθ??<< ??

?

②若OP=x (km) ,则OQ =10-x ,所以OA ()2

2

2

101020200x x x -+=-+所求函数关系式为)

2220200010y x x x x =+-+<<

Ⅱ)选择函数模型

()()()

'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----=

=

g

令'

y =0 得sin 12

θ=,因为04πθ<<,所以θ=6π

, 当0,6πθ??∈ ???时,'

0y < ,y 是θ的减函数;当,64

ππθ??

∈ ???

时,'0

y > ,y 是θ的增函数,所以当θ=6π时,min

10103

y

=+这时点P 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边

103km 处。

18.

【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆

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