高等数学基础课程教学及考核要求
高等数学基础课程教学及考核要求
第一部分教学内容和教学要求
一、函数、极限与连续（10学时）
（一）教学内容
函数：常量与变量，函数的定义
函数的表示方法：解析法，图示法、表格法
函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性
初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系
极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量及其性质，两个重要极限
连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点，初等函数的连续性
重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算
难点：建立函数关系，极限概念
（二）教学基本要求
1.理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。
2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。
3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
4.了解复合函数、初等函数的概念。
5.会列简单应用问题的函数关系式。
6.了解极限的概念，会求左右极限。
7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质。
8.掌握极限的四则运算法则.
9.掌握用两个重要极限求一些极限的方法。
10.了解函数连续性的定义。
11.了解函数间断点的概念。
12.知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质。
二、一元函数微分学（22学时）
（一）教学内容
导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，高阶导数
微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性
中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理的叙述
导数应用：函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，最大值、最小值问题
重点：导数概念和导数的计算，极值
难点：导数的应用
（二）教学基本要求
1.理解导数与微分概念(微分用dy＝y'dx 定义)，了解导数的几何意义。会求曲线的切线方程。知道可导与连续的关系。
2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。
3.熟练掌握复合函数的求导法则。
4.掌握隐函数的微分法。
5.知道一阶微分形式的不变性。
6.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。
7.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式。
8.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念。
9.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。
10.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点。
11.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。
三、一元函数积分学（22学时）
（一）教学内容
不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表
积分法：第一换元积分法，分部积分法
定积分：定积分的定义及几何意义。定积分的性质，积分中值定理。原函数存在定理，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元积分法、分部积分法。广义积分。
积分的应用：求平面曲线围成图形的面积，旋转体(绕坐标轴旋转)体积 重点：积分概念与计算，在几何上的应用 难点：积分的计算及其应用 （二）教学基本要求
1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系。
2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。
3.了解定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和定积分的性质。
4.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。
5.熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。
6.掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
7.了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。
8.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。
第二部分 课程考核
本课程的考核对象是中央广播电视大学专科开放教育建筑施工与管理、水利水电工程管理等专业的学生。
本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的形式。考核成绩由平时作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分及格。其中平时作业成绩占考核成绩的20％，期末考试成绩占考核成绩的80％。
考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次。有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。
试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和应用题，解答题包括计算题和应用题，解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种类型分数的百分比为：单项选择题20％，填空题20％，解答题60％。
期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 第三部分 样卷
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1. 设函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，则函数()()f x f x --的图形关于（ ）对称。
A ．y x =
B ．x 轴 C. y 轴 D.坐标原点 2. 当0x →时，变量（ ）是无穷小量
A
1x B sin x x C 1x e - D 2x x
3. 设()x
f x e =，则()()()011lim
x f x f x ?→+?-=? A 2e B e C 14e D 1
2
e
4. ()()2
d xf x dx dx
=? A ()2
xf x B ()12f x dx C ()12
f x D ()2xf x dx 二、填空题（每小题4分，共20分）
1. 函数y =的定义域是（ ）
2. 函数1,0
sin ,0
x x y x x ->?=?
≤?的间断点是（ ）
3. 曲线()1f x =
在（1，2）处的切线斜率是（ ）
4. 函数()2
11y x =++的单调减少区间是（ ）
5.
()sin x dx '?
=（ ） 三、计算题（每小题11分，共44分）
1. 计算极限0sin 6lim
sin 5x x
x
→
2. 设2sin 2y x x =+，求y '
3. 计算不定积分cos3x xdx ?
4. 计算定积分
1
2ln e
x
dx x
+?
四、应用题（本题16分）
圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 高等数学基础学习指导 第一部 函数、极限与连续
第一章 函数
1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值
要掌握函数的两要素——定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题：
（1）掌握求定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式非负，等等。
例1：求函数
y =
的定义域
3x ≤，()ln 1x -的定义域是1x >，但由于()ln 1x -在分母上，因此
()ln 10x -≠，而当2x =时，()ln 10x -=，所以2x ≠。
函数()
ln 1y x =
-的定义域就是上述函数定义域的公共部分，故定义域为13x <≤且2x ≠，
也可以表示为()(]1,22,3
（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为f （x ）。例如，对于函数()2
ln 2x
y f x x x ==++，f 表示运算：
()()()
2
l n 2
++ 于是，()()2122
11ln123,22ln 228ln 2f f =++==++=+
例2：设()2
134,f x x x +=++求()f x
解：由于()f 中的表达式是x+1，可将等式右端表示为
()()()()()()()2
22
2
34113114
12113134 112
x x x x x x x x x ++=+-++-+=+-++++-+=++++
说明f 表示运算：()()2
2++
因此，()2
2f x x x =++
（3）会判断两函数是否相同
从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量所用字母无关。
例3：下列函数中，哪两个函数是相等的函数：
A ．()()2
ln ,2ln f x x g x x ==
B ．()()3
ln ,3ln f x x g x x ==
解：A 中的两个函数当0x >时对应规则相同，但定义域不同，故它们是不相等的函数；而B 中的两个函数定义域相同，对应规则也相同，故它们是相等的函数。
（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法
例4：设(
)1,1
1
x x f x x ->??=≤，求函数定义域及()()2,0f f
解：函数的定义域是()()(
),,2211,01f f -∞+∞=-===
2. 了解函数的基本属性（单调性、奇偶性、周期性和有界性）
基本属性中以奇偶性为主，单调性将在导数应用部分讨论。判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即
（1） 若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数 （2） 若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数
也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数?偶函
数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
例5：下列函数中，（ ）是偶函数
A ．()3sin f x x x =
B ．()31f x x =+
C ．()x x f x a a -=-
D ．()3cos f x x x =
解：根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的结论，可以验证A 中3
x 和sin x 都是奇函数，故它们的乘积()3sin f x x x =是偶函数，因此A 正确。我们所做的选择题都是单选题，既然A 正确，那么其他的选项都是错误的。
3. 熟练掌握六种基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形
基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形在微积分中常要用到，要熟悉基本初等
函数的主要特征，例如指数函数x
a 和对数函数log a x 当1a >时单调递增，01a <<时单调递减；
正弦函数sin x 和余弦函数cos x 都是以2π为周期的有界函数，sin x 时奇函数，cos x 是偶函数，等等。
4. 了解复合函数、初等函数的概念
例6：将初等函数()cos ln 21y x =+????分解成基本初等函数的四则运算或复合运算。 解：cos ,ln ,21y u u v v x ===+
第二章
极限与连续
1. 了解极限的概念，会求左右极限
知道数列极限、函数极限、左右极限的概念。函数()f x 在点0x x =处有：()0
lim x x f x →存在的充
分必要条件是()0lim x x f x →-
与()0lim x x f x →+
都存在且
()0lim x x f x →-
＝()0lim x x f x →+
2. 掌握极限的四则运算法则。掌握求极限的一些方法 求极限的常用方法有
（1）利用极限的四则运算法则 （2）利用重要极限
（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量） （4）利用连续函数的定义 例1：求下列极限：
（1）0sin 3lim x x x → （2）()21sin 1lim 1x x x →-- （3）0tan lim 3x x x → （4）2236
lim 12
x x x x x →-+--- 解：（1）利用重要极限0sin lim
1x x
x
→=，得 000sin 3sin 3sin 3lim
lim33lim 31333x x x x x x
x x x
→→→===?= （2）利用第一重要极限和四则运算法则计算 ()()()()
()21111sin 1sin 1sin 1111
lim
lim lim lim 111111112x x x x x x x x x x x x →→→→---===?=--+-++
（3）利用第一重要极限和四则运算法则计算 0000tan sin 1sin 111
lim
lim lim lim 133cos 3cos 33
x x x x x x x x x x x x →→→→===?=
（4）利用因式分解，消去零因子，再利用极限和四则运算法则计算
()()()()22333326
25lim lim
lim 123447
x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+-+--===--+-- 3. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量得运算性质
无穷小量就是以0为极限得变量。无穷小量得和与乘积都是无穷小量；无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量；无穷小量的倒数是无穷大量。 例2：下列变量中，是无穷小量的为（ ）
A ．()1
sin
0x x → B. ()()ln 10x x +→ C ．()1
x e x →∞ D.()22
24x x x -→-
解：A ：因为0x →时，1sin x 的极限不存在，所以1
sin x
不是无穷小量
B ：因为0x →时，()ln 10x +→，所以()ln 1x +是无穷小量
C ：因为x →∞时，1
0x
→，此时11x e →，所以1
x e 不是无穷小量
D ：因为当2x ≠时，22142x x x -=-+，当2x →时，22144x x -→-，所以22
4
x x --不是无穷小量
4. 了解函数的连续性和间断点的概念
函数()f x 在点0x 连续，即等式()()0
0lim x x f x f x →=成立，要会判断某点的连续性，会求函数的
间断点。
例3：当k ＝（ ）时，()()1
31,0
,0
x x x f x x k x ?
?+<=??+≥?在x ＝0处连续。
A. 0
B. e
C.2
D.1
解：函数()f x 在点x ＝0连续，则()0
lim x f x →存在。此时有
()0lim x f x →-
＝()0lim x f x →+
而()()100lim lim 1x
x x f x x e →-
→-
=+=
()()
3
00lim lim x x f x x k k →+
→+
=+=
由此得出k ＝e ，而当k ＝e 时，()()0
lim 0x f x e f →==，所以当k ＝e 时，f （x ）在x ＝0出连续。
正确的选项是B
例4：函数()2sin 2,01,0x
x f x x x x ?
=??+≥?
得间断点是（ ）
解：在点x ＝0处有 ()00sin 2lim lim
2x x x
f x x
→-→-==
而()()2
00lim lim 11x x f x x →+
→+
=+=
因()0lim x f x →-≠()0lim x f x →+
故()0
lim x f x →不存在。因而f （x ）在x ＝0处不连续。而当x ≠0时，由初等函数的性质可知()
f x
是连续的。综上得出()f x 的间断点是x ＝0
5. 知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质 初等函数在其定义域内是连续的。
第二部 一元函数微分学
第三章 极限与连续
1. 理解导数与微分的概念
理解导数定义时，要解决下面几个问题：
（1）熟记导数定义的极限表达式()()()
0000lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
（2）会求曲线的切线方程()()()000y f x x x f x '=-+
（3）知道可导与连续的关系（函数在一点可导则一定连续，函数在一点连续不一定可导）
例1：设()ln f x x =，则()
1lim 1
x f x x →-＝（ ）
A.1
B.12
e
- C.0 D.不存在
解：如果单看求极限()11ln lim
lim 11
x x f x x
x x →→=--，很难求出结果。但是若令1x x -=?，则当1x →时，
有0x ?→，联系到()1ln10f ==，可得
()()()
()()11
011lim
lim 1ln |11x x x f x f x f f x x x =→→+?-''====-? 故正确的选项是A 例2：极限()()00
0sin sin lim
x x x x x
?→+?-=?
A. 1
B.0cos x
C.0sin x
D.不存在
解：这个极限的表达式是导数的定义，即有
()()000
00sin sin lim
sin |cos x x x x x x x x x
=?→+?-'==? 故正确的选项是B
例3：设()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()
()0
lim
x f x x
→=
A.不存在
B.()0f '
C.0
D.1
解：因为已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，将()f x 看成()()0f x f -，x 看成0x -。则
()()()
000lim
lim 0
x x f x f x f x x →→-=-就是()f x 在0x =处的导数，故
()
()0l i m
0x f x f x →'= 故正确选项是B
例4：曲线3
y x x =-在点()1,0处的切线方程是（ ）
A.22y x =-
B. 22y x =-+
C. 22y x =+
D. 22y x =--
解：根据导数的几何意义知，
()()()32111|31|2x x y x x x ==''=-=-=
是曲线3
y x x =-在点()1,0处的切线斜率，故切线方程是
()()()111y y x y '=-+ 即22y x =-
故正确的选项是A
例5：函数(
)f x =在点9x =处的导数值()()9f '=
解：因为(
)
f x '
'=
=
，所以(
)196f '== 2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握求导数方法
具体方法有:
（1） 利用导数（或微分）的基本公式 （2） 利用导数（或微分）的四则运算法则 （3） 利用复合函数微分法 （4） 利用隐函数求导法则 例6：求下列导数或微分
（1）设2cot ln y x x x =+，求y ' （2）设2
sin 5x y =，求y '
（3）设()y y x =是由方程21sin x y e y +=确定的函数，求y ' （4
）设()
3x
y e =，求dy 解：（1）由导数四则运算法则 (
)()()22
cot ln cot ln y x x x x x
x ''''=+=+
()()222
1
ln ln sin x x x x x ''=-
++ 2221112ln 2ln sin sin x x x x x x x x x
=-
++=-++ （2）设22sin ,u x v x ==，则有25,sin ,u y u v v x ===
由复合函数求导法则
()()()2
5
s i n 5l n 5c o s 2
u
u
u v x v
u
x
y y u v v
x v x '''''''===
2
s i n 2
25l n 5c o s
x x x = （3）等式两端同时对x 求导，可得
2sin cos x x y y e y e y y ''=+
整理得 sin 2cos x x
e
y
y y e y
'=- （4）由导数四则运算法则
()()
3x
y e '
'=＝()33
2233x
x x e x e '????'+++ ? ?????
1322332x x x e x e ??=++ ???
13
22332x x x e ??=++ ???
13
22332x dy y dx x x e dx ??
'==++ ???
3. 了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法
例7：已知4
14
y x =
，则()y ''= A. 3
x B. 23x C. 6x D. 6
解：直接利用导数的公式计算:
()43321,34y x x y x x '?
?''''==== ???
故正确的选项是B
例8：已知函数()y f x =的微分为2dy xdx =，则()y ''=
A.0
B.2x
C.2
D.2
x
解：由于函数()y f x =的微分为2dy xdx =，故2y x '=，于是2y ''=
故正确的选项是C
第四章 导数的应用
1. 掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系
通常的方法是利用一阶导数的符号判断单调性，也可以利用已知的基本函数的单调性进行判断。
例1：在指定区间[]10,10-内，函数y=( )是单调增加的。
A. sin x
B. x e -
C.2
x D.()ln 20x +
解：这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数，从图形上就比较容易看出它们的单调性。
A 中正弦函数，它的图形在指定区间[]10,10-内是波浪形的，因此不是单调增加函数。
B 中x
e -是指数函数，()0x
x
e e
--'=-<，故它是单调减少函数
C 中2x 是幂函数，它在指定区间[]10,10-内的图形是抛物线，因此不是单调增加函数。
根据排除法可知正确答案应是D 。也可以用求导法验证：因为在指定区间[]10,10-，有
()()1
ln 20020
x x '+=
>+
正确的选项是D
例2：函数()ln f x x x =-的单调增加区间是（ ） 解：用求导的方法，因为()()1ln 1f x x x x
''=-=-
令()1
10f x x '=-
>，则1x >，则函数的单调增加区间是()1,+∞ 例3：函数()2
31y x =-的驻点是（ ）
解：根据驻点的定义，令()610y x '=-=，得1x = 例4：函数()12f x x =-+得极小值点是（ ）
解：因为函数()12f x x =-+在点1x =处连续但导数不存在，且当1x >或1x <时，
()()1f x f >。所以点1x =是函数()12f x x =-+的极小值点
2. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。
例5：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：如图所示，圆柱体高h ，与底半径r 满足
222
h r l += 圆柱体的体积公式为 2
V r h π=
将222
r l h =-代入得()
22V l h h π=-
求导得(
)(
)()2
22
2
223V h l h l
h ππ'=-+-=-
令0V '=得h =，并由此解得r =，即当底半径为r =，高h =时，圆柱体得体积最大。
例6：求曲线2
y x =上的点，使其到点A （3，0）的距离最短。
解：曲线2y x =上的点到点A （3，0）的距离公式为
d =
d 与2d 在同一点上取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点，将2y x =代入得
()
2
2
3d x x =-+
令()()2
3D x x x =-+ 求导得 ()()231D x x '=-+
令()0D x '=得52x =
。并由此解出y =，即曲线2y x =上的点52? ??
和点
5,22?- ??
到点A （3，0）的距离最短。 例7：欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用料为y ，由已知2
2
108
108,x h h x == 2
2
2
210843244y x xh x x
x x x
=+=+=+ 令243220y x x '=-
=，解得6x =是唯一驻点，且63
24322|0x y x =???''=+> ???
说明x ＝6是函数的极小值点，所以当6x =，2108
36
h ==用料最省
第三部 一元函数积分学 第五章 不定积分
1. 理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系
这里主要解决下面几个问题： （1） 什么是原函数？ 若函数()F x 的导函数是()f x ，即()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 的原函数 （2）原函数不是唯一的
由于常数的导数是0，所以若()F x 是()f x 的原函数，则()F x C +都是()f x 的原函数（其中c 是任意常数）
（3）什么是不定积分？
原函数的全体()F x C +（其中c 是任意常数）称为()f x 的不定积分，记为
()()f x d x
F x c
=+? （4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系
不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即
()()()()(),f x dx f x f x dx f x c ''==+??
例1：在某区间上，如果()F x 是()f x 的一个原函数，c 为任意常数，则下列等式成立的是（ ）
A. ()()F x c f x '+=
B. ()()F x dx c f x dx +=
C. ()()
()F x c f x '+= D.()()F x f x c '=+
解：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +都是()f x 的原函数，故有
()()()F x c f x '+=
即正确的选项是C
例2：如果
()sin 2f x dx x c =+?，则()()f x =
A.2sin 2x
B. 2cos 2x -
C.2sin 2x -
D.2cos 2x
解：根据不定积分的性质知 ()()()
()s i n 22c o s 2f
x f x
d x x c x
'
'==+=? 故正确选项是D
例3：设()F x 是()f x 的一个原函数，则(
)
()2
xf x dx -=?
A. ()2F x c -+
B. ()
2
F x c --+
C. ()212F x c --+
D. ()21
2
F x c -+ 解：因为()F x 是()f x 的一个原函数，即有()()f x dx F x c =+?
故有(
)()()()()2
2
2
222
1112
22
x f x
dx f x dx f x d x F x c -=-=-
--=--+??? 故正确选项是C
例4：设()f x 的一个原函数是2x
e -，则()(
)f x =
A. 2x
e
- B. 22x
e
-- C. 24x
e
-- D. 24x
e
-
解：因为()f x 的一个原函数是2x
e
-，故()(
)222x
x
f x e e
--'==-
故正确的选项是B
例5：设函数()g x x =，则()
2
g x dx ?＝（ ）
A. 2
x c + B.
313x c + C.x c + D.21
2
x c + 解：因为()g x x =，故()22
g x x =，于是
()22
313
g x dx x dx x c ==+?? 故正确的选项是B
例6：已知()sin xf x dx x c =+?
，则()(
)f x =
A.
sin x x
B.sin x x
C.cos x x
D.cos x x
解：对()sin xf x dx x c =+?两端求导，得()cos xf x x =
故()cos x
f x x
=
，正确的选项是C 例7：试证明()()2
x x F x e e -=+与()()2
x x
G x e e -=-是同一函数的原函数 证明：因为()()()()2x x
x
x F x e e
e
e G x --''=+-=
所以()F x 与()G x 是同一函数的原函数
2. 熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法 常用的积分方法有
（1）运用积分基本公式直接进行积分 （2）第一换元积分法（凑微分法）
（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分 ①幂函数与指数相乘 ②幂函数与对数函数相乘
③幂函数与正（余）弦函数相乘 例8：
(
)ln 2x
dx x =?
A.()2ln 2x
B.
()2
1ln 22x c + C. ()22ln 2x c + D. ()2
1ln 24
x c +
解：两种方法，其一是凑微分直接计算：
()()()2
ln 2ln 212ln 2ln 2ln 222
x x dx d x xd x x c x x ===+??? 其二是求导计算：四个备选答案中都含有()2ln 2x 项，对它求导
()()()()2
2ln 22ln
22ln 22x x x x x
'== 与被积函数比较可知，()2
1ln 22x c +是()ln 2x x
的原函数
正确的选项是B
例9：计算下列积分
（1
）21
sin
x dx x ? （2） （3）ln x dx x ? （4）x
xe dx -? （5）ln a x xdx ? （6）sin 2x xdx ?
解：（1）由凑微分法
21
sin
111sin cos x dx d c x x x x ??=-=+ ???
?
?
（2
）由凑微分法
2c ==?
（3）由凑微分法
()()2
ln ln ln ln 2
x x
dx xd x c x ==
+?? （4）由分部积分法
() x x x x x x
xe dx xd e xe e dx
xe e c
------=-=-+=--+???
（5）由分部积分法
()111
ln ln ln ln 11
1a a a a
x x x x xdx xd x d x a a a +++??==
- ?+++????? 1111ln 11a a x x x dx a a x ++=
-++? 11ln 11a a
x x x dx a a +=-++? ()
11
2
ln 11a a x x x c a a ++=-+++ （6）由分部积分法
()111
sin 2cos 2cos 2cos 2222x xdx xd x x x xdx =-
=-+??? 11
cos 2sin 224
x x x c =-++
第六章 定积分及其应用
1. 了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数
()
x
a
f t d t
? 称为被积函数()f x 的变上限定积分，若将其记为()x Φ，则当()f x 连续时，()x Φ可导，即
()()()
()x
a
x f t dt f x '
'Φ=
=?
上式也被称为原函数存在定理。
奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果： 若()f x 是奇函数，则有
()0a
a f x dx -=?
若()f x 是偶函数，则有()()()0
22a
a
a
a
f x dx f x dx f x dx --==?
??
例1：若()F x 是()f x 的一个原函数，则下列等式成立的是（ ）
A.
()()x a f x dx F x =?
B.
()()()x a f x dx F x F a =-? C. ()()()b
a
F x dx f b f a =-? D. ()()()b
a
f x dx F b F a '=-? 解：由牛顿—莱布尼兹公式()()()()|b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-?
可知，正确的选项是B 例2：已知()1
1x a x dx -=?，那么常数()a =
A.
83 B. 63 C. 43 D. 23 解：因为()12310011
|12323a a x a x dx x x ??-=-=-= ????
故8
3a =，即正确的选项是A
例3：()()2
ln 1a x d t dt dx
+=? A. ()2ln 1x -+ B. ()2ln 1x + C. ()2
2ln 1x x + D. ()22ln 1x x -+
解：根据变上限定积分的性质可知
()()()222
ln 1ln 1ln 1a x x a d d t dt t dt x dx dx
+=-+=-+?? 故正确的选项是A 例4：积分
()1
1
xdx -=?
解：在对称区间上求定积分，首先要考虑被积函数的奇偶性，可以利用奇偶函数在对称区间上的积
分性质简化计算。
因为()f x x =是偶函数，故
1
1
21010
2|1xdx xdx x -===?
?
应该填写1
例5：
(
)1
21
sin x xdx -=?
解：因为()2
sin f x x x =是奇函数，故
1
21
sin 0x xdx -=?
应该填写0
2. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法 常用的分部积分方法有：
（1）运用积分基本公式直接进行积分 （2）第一换元积分法（凑微分法）
注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数） （3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的定积分：
①幂函数与指数函数相乘 ②幂函数与对数函数相乘
③幂函数与正（余）弦函数相乘 例6：计算下列定积分
（1）1
2
21x
e
dx x ? （2）21
? （3）120x xe dx -?
（4）
1
e ? （5）21ln e x dx x ? （6）20cos 2x xdx π
?
解：（1）利用凑微分法，211dx d x x ??
=- ???
，得
1
112
2212111|x
x x e dx e d e e x x ??=-=-=- ???
?? 或设1u x =，则当1x =时，1u =；2x =时，1
2
u =
原积分=11221
1
|u
u e du e e -
=-=?
（22dx d
=，得
()
2
2
2
1
1
1
22|2e ===-?
?
或设u =1x =时，1u =；2x =时，u =
原积分=
()
1
22u u e du e e =-
（3）利用分部积分法
1
122120001|2
x
x x xe dx xe e dx ---??=--?????? ()2212
0111|31224x e e e ---??=-+=--????
（4）利用分部积分法
11
1
12ln |1e
e x x
x e ??=--=- ????
（5）利用分部积分法
12
1
ln 1
12ln |1e
e x dx x x x
x e ??=--=- ????
（6）利用分部积分法
2222
0001111cos 2sin 2|sin 2cos 2|2242
x xdx x x xdx x π
πππ
=-==-?? 3. 了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分 例7：广义积分()0
2x e dx -∞
=?
解：因为
()0
2202111lim |lim 1222x x b
b b b e dx e e -∞→-∞→-∞??==-= ???
?
或者
22021111|1lim 12222
x x x x e dx e e -∞-∞
→-∞==-=-=?
因此填写
12
例8：下列无穷积分中收敛的是（ ） A.
1
ln xdx +∞
?
B.
2
1
1
dx x +∞
?
C. 0
x
e dx +∞
?
D.
1
+∞
?
解：由
11
p dx x +∞
?的收敛性，当1p >时，11p dx x +∞?收敛；
可知当1p ≤时，11
p
dx x +∞?发散； 显然211
dx x +∞?是收敛的，所以正确的选项是B 例9：若012
kx
e dx +∞=?，则k=（ ）
A.1-
B.1
C.1
2 D. 2-
解：因为当0k <时，00111|2kx
kx e dx e k k +∞+∞==-=?
即当2k =-时，012
kx
e dx +∞=?成立。所以正确选项是D
4. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积
求平面图形面积的一般步骤： （1） 画出所围平面图形的草图
（2） 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限 （3） 利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分 例10：求曲线2
y x =与直线4y x =及()11x x =≤所围成的平面图形的面积
5
333
另外，如果要求曲线2
y x =与直线4y x =及()11x x =≥所围成的平面图形的面积。则曲线的
交点是()()()1,1,1,4,4,16，所求面积为
()4
23411164142|829333S x x dx x x ?
?????=-=-=---= ? ? ????
????
如何提高高等数学课堂教学的质量
第25卷第2期大 学 数 学Vol.25,№.2 2009年4月COLL EGE MA T H EMA TICS Apr.2009 如何提高高等数学课堂教学的质量 李志飞 (西安建筑科技大学理学院,西安710055) [摘 要]数学的课堂教学过程是在教师的传授和指导下进行学习、掌握数学知识、技能、思想、方法的一 种认识过程.影响数学课堂教学质量的因素是多方面的,本文仅就提高高等数学课堂教学质量谈几点个人的 认识. [关键词]数学教育;数学课堂教学;数学思想方法;启发式教学 [中图分类号]G424.1 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2009)022******* 数学的课堂教学是在教师的传授和指导下进行学习、掌握数学知识、技能、思想、方法的一种认识过程.影响数学课堂教学质量的因素是多方面的,本文仅就提高高等数学课堂教学质量谈个人的几点认识. 1 正确认识高等数学课堂教学的重要性是提高教学质量的根本 对于理工科学生而言,数学教育的重要性是无需置疑的.随着当今科学技术知识更新的日益加快,各学科发展日益呈现出数学化的趋势,以及数学在各学科中应用的日益普及,数学教育不再仅仅只是整个大学教育的基础,而已成为人们终身教育的基础.数学教育质量的高低不仅决定着大学整体教育质量的高低,也决定着学生今后在其专业方面所能取得成就的大小,同时在一定程度上也决定着整个社会科学技术的水平.由此可见数学教育在整个教育中所占据的重要地位.但由于数学的教学内容所具有的高度抽象性,使得数学教学过程中学生的认识活动只能是在教师的指导下,有计划、有组织并在特定的学校教学环境中进行的,即数学教育主要是通过数学课堂教学得以实现的.好的数学课堂教学不仅能使学生学会数学的基础知识,更重要的是能使学生学会数学的思想方法,即学会科学地思考问题、解决问题的方法,并且在使学生体会到数学魅力的同时激发起其学习的兴趣以及创造的欲望.而不当的数学教学可能使数学学习变成一堆数学概念、定义、定理的罗列和灌输,不仅使学生难以理解消化,甚至会引起学生对数学学习的畏惧感.所以只有正确地认识到数学课堂教学的重要性,加大对数学课堂教学的重视、投入及管理才可能从根本上保证数学课堂教学质量的提高. 2 明确认识数学教学的目的是提高数学教学质量的基础 数学教学的目的中第一位的是:培养学生的数学思想方法以及应用数学思想方法的能力,即教给学生如何正确地思考问题,解决问题.这是数学教学中的首要任务,而教会学生数学的知识是第二位的.正如数学教育家波利亚所指出的数学教育宗旨是:“教青年人学会思考.”从教育意义上讲,数学是培养科学思维能力的一种最好的训练.作为数学教育的实施者———数学教师必须明确数学教学的目的,只有这样才能知道如何组织教学内容,如何突出数学的重点,只有在数学教学的过程中更加注重挖掘、整理、突 [收稿日期]2006212204
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
【免费下载】高等数学课程教案
授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
高等数学2课程教学大纲
高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
高数一基础知识
高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质
(1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）；
(整理)《高等数学AⅠ、AⅡ》课程教学大.
《高等数学AⅠ、AⅡ》课程教学大纲 课程编号：0701111002 0701111003 课程名称：高等数学AⅠ、AⅡ 英文名称：Advanced Mathematics AⅠ、AⅡ 课程类型：公共基础课 总学时：176 讲课学时：176 实验学时： 学分：11 适用对象：四年制本科工程类各专业 先修课程：无 一、课程性质、目的和任务 高等数学是高等学校工科类最重要的基础理论课之一。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。 二、教学基本要求 1、要正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的敛散性、无穷级数的和、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。 2、要掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱布尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，格林公式，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。 3、熟练掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区域，函数展开成幂级数的间接展开法，函数展开成傅里叶级数，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 4、应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题。 三、教学内容及要求 (一)函数与极限 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会建立简单函数关系式。 4、掌握基本初等函数的性质和图形。 5、理解极限的概念，了解分段函数的极限。 6、掌握极限四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高等数学基本知识
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高等数学的数学思想方法研究.doc
讲座题目高等数学的数学思想方法研究所属学科数学教育学 讲座时间2007年5月持续时间 最后学历研究生最后学位硕士 研究方向数学教育研究专长教育管理职称教授职务 学术特长及成果简介： 学术特长是数学教育学有关的课题和教育管理有关的课题。主要研究成果如下： 1、2006年9月完成了2004——2005年度中国职业技术教育学会科研规划项目《高职院校推进 学分制管理的研究与实践》，并获得结题证书。 2、论文《完善选课制是实行学分制的精髓》2005年12月发表在《长春教育学院学报》上。 3、论文《专升本院校实行学分制的几点思考》2006年10月发表在《中国育人杂志》上。 讲座内容介绍：（包括：选题意义和价值、研究现状、主要内容、观点和创新之处、主要 参考文献等。限2000字以内。） 一、选题意义和价值 为适应二十一世纪科技与社经的发展，培养大批具有高综合素质的创新型人才，我国正在进行从 应试教育向素质教育转轨的伟大改革，并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现 代教育目标。为实现这一目标，自九十年代初以来，高等数学教育也和其它学科教育一样，从教学思 想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段等方面进行了一系列的改革试验，并取得了初步的成 效。例如随着人们愈来愈认识到高等数学在大学人文素质教育中不可或缺的普遍和重要的作用，我国 许多重点的文史、外语和艺术等文科专业都开设了《大学数学》这一课程，又如为了加强教学建模和 运用计算机解决实际问题的能力，有些院校在高等数学中开设了《数学实验》或《数学建模》的课程，这是可喜的试验，但是高等数学的教育改革涉及面广，内容庞杂，矛盾和问题都较多，因此它的改革 是一项复杂的系统工程。当前如何把高等数学教育改革有序和有效地深入下去？当然这有许多方面的 工作要协同配合去做，我们认为其中根本的一项就是要改革在高等数学教学中相当普遍存在的形式主 义弊端——只注重纯数学知识与技能的传授而忽视对蕴涵于其中的数学思想方法的教学。为此必须认 真研究在高等数学教学全过程中，如何有效地加强数学思想方法教学的问题，提升一点来说，就是要 在所有数学教学活动中，结合具体的数学内容和活动形式，适当进行数学方法论的教育。 二、研究现状及主要内容 著名数学家和数学教育家徐利治教授认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”。[1]自80年代初，徐教授倡导数学方法论以来，这一学科在国内至今已有了很大发展，取得了不少理论成果，出版了许多有关的著作，特别自90年代以来，不少数学教育工作者把它应用于指导中学数学教育改革的具体实践，取得了很大的成效[2]。至于应用数学方法论指导高校数学教育改革的研究与实践至今只看到少量个别的报导，看来这方面还 未引起高校广大数学教育工作者足够的重视，本讲座试图对高等数学加强数学思想方法教学的意义， 它包含那些基本的数学思想方法以及如何加强这方面的教学作一初步阐述。 三、观点和创新之处 1．首先，各方在思想上要真正重视，尽快把数学思想方法的教学正式纳入高等数学教学大纲。 要在大纲中明确规定数学思想方法的教学目标、基本教学内容和具体的要求。这是落实加强数学思想
高等数学B1---教学大纲
《高等数学B1》课程教学大纲 课程代码：090011041 课程英文名称：Advanced Mathematics B1 课程总学时：64 讲课：64 实验：0 上机：0 适用专业：全校各适用专业 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是一门重要公共基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的数学思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学好其它理工学科课程的重要基础。本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）。内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 （三）实施说明 1．本大纲适用于学习公共基础课《高等数学》科目的全校各适用专业的本科生。 2．因教学学时所限，课堂教学要做到突出重点，精讲难点，有针对性地解决理论与实际应用中可能遇到的基本数学问题。教师在授课中可酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考。 3．注意知识的内在联系与融合贯通，注意采用课堂讲授、讨论、多媒体教学相结合的教学方式，启发学生自学并不断积累学科前沿最新知识，学会独立思考，独立提出问题与独立解决问题的能力。 4．对于与其它课程交叉部分的内容，要分工明确，突出本课程在课程设置中的地位、作用与特色。 （四）对先修课的要求 本课程对先修课没有要求，学生只需具备初等数学知识。 （五）对习题课、实践环节的要求 习题的选取应体现本课程的基本概念、基本原理，并应结合实际的应用，使学生理解和消化所学的知识，考察并提高掌握知识的质量与解决问题的能力。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生用高等数学的解题思想去解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩占20%，平时成绩包括作业，出勤，小考及课堂表现；期末考试（闭卷）成绩占80%。 （七）参考书目
高等数学_课程教案
_____________高等数学_______________课程教案 授课类型 理 论 课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求： 理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容： 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 2、平面薄片的质量 3、二重积分的定义 ()()∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 ,lim ,σηξσλ 几何意义：若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。如果()y x f ,是负的，柱体就在xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正，xoy 下方的柱体体积取成负，则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ ?+?=?+???????f x y g x y d f x y d g x y d D D D 其中:α β,是常数。 2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则 f x y d f x y d f x y d D D D (,)(,)(,)σσσ =+??????2 1 3、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则： σσσ ==????1d d D D 几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
《高等数学》教学大纲
《高等数学》教学大纲 （2010年3月讨论稿） 全院专升本各专业适用 一、课程的性质与任务 《高等数学》课程，是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。 通过本课程的学习，要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素质，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。 二、本课程的基本要求与重点 专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式，因学生是专科毕业生，已初步获得一元微积分的基本知识。因此，根据成人高等教育以培养应用型人才的目标，按基础理论教材“必需、够用”的原则，本课程的基本要求： 1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用； 2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。 本课程的重点为：微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。（说明：曲线积分和无穷级数经管类不作要求） 三、课程内容和考核要求 第一章函数、极限与连续性 （一）课程内容 1.初等函数与非初等函数； 2.函数的特性； 3.数列的极限； 4.函数的极限； 5.极限的运算法则； 6.两个重要极限； 7.无穷小量及其性质和无穷大量； 8.无穷小量的比较； 9.函数的连续性概念和连续函数的运算； 10.函数的间断点； 11.闭区间上连续函数的性质。 （二）考核要求 1.掌握求函数的定义域和函数值，理解函数记号的运用。 2.了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图像。
高等数学》课程教学大纲
《高等数学》课程教学大纲 （适用于计算机专业本科） 广东金融学院应用数学系基础数学教研室
《高等数学》课程教学大纲 课程类别：学科基础课 开课单位：应用数学系 授课对象：本科层次计算机科学与技术专业 学时与学分：150学时 8学分 使用教材：同济大学数学教研室，《高等数学》，高等教育出版社， 一、教学目的与教学要求：（五号黑体） 高等数学是高等学校工科类最重要的基础理论课之一。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。 1、要正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的敛散性、无穷级数的和、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。 2、要掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，格林公式，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。 3、熟练掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区域，函数展开成幂级数的间接展开法，函数展开成傅里叶级数，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 4、应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题，用边际与弹性分析常用的经济问题。 二、课程主要内容 第一章函数、极限、连续 一．教学内容 函数：常量与变量，函数的定义 函数的表示方法：解析法，图示法、表格法 函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系。 极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限。 连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述。 二．本章教学重点与难点
关于高等数学课堂教学的思考
关于高等数学课堂教学的思考 一问题的提出 近年来，随着我国高等教育的发展，大学教育不再是面向少数的‘精英’，而是日趋普及化、大众化。作为大学基础课程的高等数学，也不再仅仅是学习数学知识和数学方法，为其他学科提供工具，更重要的是传授数学思想、培养创新能力、提高学生的数学素养。随着科学技术的发展，数学的作用日益突出，不仅自然科学和工程技术离不开数学，人文社会学科的许多领域中数学的应用也越来越广泛。社会对人才的数学素养提出了较高的要求，全国高校大部分专业的学生都在接受不同层次的高等数学教育。但是，高等数学教学质量的问题也凸现了出来，很多院校的教师反映说，学生中无故旷课、迟到早退、课堂上不认真听课、抄作业等现象严重;即使考题非常简单，不及格率也在30%左右，有的高达40%以上，而且两极分化现象非常严重[1]。在课堂听课方面，多数大一新生不能适应大学数学教学方式和方法，普遍反映高等数学难学[2]。高等数学课程不及格率居高不下，学生厌学和逃课现象严重。高等数学课堂教学应该教什么？怎么教？如何确保高等数学课堂教学质量，提高课堂教学效率，成为广大教师思考和关注的问题。
二高等数学课堂教学的重要性 大学数学教育是整个学校教育的重要组成部分，而课堂教学是学校最基本的教学组织形式，是人才培养工作的主要环节，是教师传授知识、培养学生良好道德品质的主要途径，也是影响教学质量的基础性因素。课堂教学质量与人才培养质量密切相关，提高人才培养质量首先是提高课堂教学的质量。高等数学课堂教学是高等数学教学的基本的教学组织形式，是学生获得高等数学课程知识的主要渠道，是提高学生数学素质的主要途径，也是提高教学效率的中心环节。作为大学重要的基础课程，高等数学教学时数多、授课时间长、基础性强，大多数高校把高等数学课程放在大学第一学年，授课对象都是刚刚结束高考离开中学的大一新生。对这个阶段的学生而言，课余时间不多，自学能力也较弱，学生没有能力按自身需要进行课后学习，加上高等数学中高度抽象的数学概念、丰富的数学内容和大量抽象的数学符号，增大了学生认知的难度。所以，高等数学的基础知识、基本方法和数学思想主要靠教师在课堂上对学生进行传授、引导和启发获得。课堂学习是学生获取课程知识最快捷有效的途径，课堂也是学生接受数学思维训练的主要场所。大学新生能否学好高等数学，课堂教学起着很重要的作用。高等数学课堂教学效率的高低，教学质量的优劣，直接影响后续课程的学习和专业的发展，影响学生综合素质的培养。提高
高等数学课程教学大纲.docx
“高等数学（上）”课程教学大纲 一、课程基本信息 开课单位：经济学院 课程名称：高等数学（上） 课程编号： 101001212 英文名称： Advanced Mathematics 课程类型：专业基础课 总学时： 72理论学时：72实验学时：0 学分： 3 开设专业：所有专业 先修课程：无 二、课程任务目标 （一）课程任务 本课程是理科院校经管类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。通过本课程的学习，要使学生掌握一元函数极限、微分学、积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。b5E2RGbC （二）课程目标 在学完本课程之后，学生能够：基本了解一元函数极限、微积分学的基础理论；充分理解一元函数极限、微积分学的背景及数学思想。掌握极限、微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用极限、微积分学的思想方法解决应用问题。p1EanqFD 三、教学内容和要求 第一章函数、极限与连续 1．内容概要 函数，初等函数，数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则及两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。 DXDiTa9E 2．重点与难点
重点：函数的概念、性质；极限的概念，无穷大、无穷小的概念；极限的运算；连续的概念。 难点：函数的记号及所涉及到的函数值的计算；极限的ε—Ν ，ε—δ 定义；极限中一些定理的论证方法；极限存在性的判定，连续性的判断。RTCrpUDG 3．学习目的与要求 （1）了解函数的概念、函数的单调性，反函数和复合函数的概念，熟悉基本初等函数的性质及其图 形，能列出简单实际问题中的函数关系。5PCzVD7H （2）了解极限的ε —Ν，ε —δ定义；能根据定义证明本课程内容中有关极限的简单定理（对于给出的ε，求Ν或δ 不作过高要求），在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。jLBHrnAI （3）掌握极限的四则运算法则，了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会灵活使用 两个重要极限。 xHAQX74J （4）理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小的比较，特别是常见的等价无穷小。 （5）理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。 （6）了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。 第二章导数与微分 1．内容概要 导数的概念，函数的求导法则，高阶导数，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，函数的微分。2．重点和难点 重点：导数和微分的概念；复合函数微分法。 难点：微分的概念；隐函数及参数式二阶导数。 3．学习目的与要求 （1）理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 （2）熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性）和导数的基本公式，了解高阶导数概念， 能熟练的求一阶、二阶导数。 LDAYtRyK （3）掌握隐函数和由参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。 （4）了解微分是函数增量的线性主部的概念及函数局部线性化的思想。 第三章中值定理与导数的应用
高等数学教学方法
高等数学教学方法 一、衔接对比式教学 高等数学是一门非常枯燥的学科，在数学中的各个分支之间有着千丝万缕的关系，各个知识点之间是环环相扣的。高等数学教学中存在的问题也非常多，在学习高等数学时学生往往会觉得内容很多，很零碎。而实际上高等数学是一门系统性非常强的课程，其前后章节的内容关联度很高。因而教师在教学过程中，应该将前后的知识点进行衔接对比。衔接对比法，就是指通过两个对象相似之处的衔接和比较，由已有知识引出新知识的方法。在教学过程中，衔接对比的过程是培养学生创造性思维，形成创新能力的过程。通过衔接对比可以使学生了解新旧知识的关系，激发他们对新知识学习的积极性，还可以使深奥的知识形象化，激发学生的学习兴趣。例如在讲解定积分这一知识点时，引导学生与不定积分相比较。看起来很相似的两个概念，可是它们产生的途径居然是完全不同，它们的运算结果一个是数，而另一个却是函数的集合。但是，它们又通过微积分基本公式紧密地联系在一起。通过这样的衔接对比就可以将这两个概念理解透，掌握应用好。又如我们在讲函数极限时就可以强调，后面的导数和定积分实际上都是极限，极限的理论是微积分的一个基础。而不定积分是计算定积分的基础。在强调知识之间的联系时，还应对相关的内容进行对比，通过比较可以加深学生对知识
的理解。一元和多元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同的结论，我们应引导学生进行对比。如在一元函数微分学中，可导和可微是互为充要条件，但是在多元函数中，函数的两个偏导存在是可微的必要不充分条件。通过这些知识的衔接和对比，可以加深学生学习的系统性，巩固学生已学知识。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 二、背景式教学 高数知识有深刻的应用背景和内涵，教师在讲解知识的同时应当告诉学生这个概念或知识点的背景与精神实质，让学生了解为什么要这么定义，然后再告诉学生该怎么做。教学中，如微分概念的引入，应当首先告诉学生，一元函数微分是函数增量关于的线性主部，是求函数增量的一种近似的方法，一元函数微分几何上是用曲线切线的增量代替函数的增量，二元函数微分是用曲面切平面的增量代替函数的增量等。这
高等数学课的教学方法
《高等数学》课的教学方法 高等数学是一门基础学科，它可以为大学生其它科目的学习提供解决问题的方法和思路，还可以为学生今后的工作和生活提供数学知识、数学思想和思维方式，因此，良好的数学教学就显得尤为重要.可是数学自身所具有的高度的抽象性和严密的逻辑性，不但给教师的教学带来了一定的难度，而且也给学生的学习也造成了困难.学生在学习过程中觉得枯燥，常常会产生厌学情绪，针对这种情况，就需要反思教师个人的教学方法，要教会学生用数学的眼光看问题，用数学的思维想问题，将数学思维植入到学生的大脑里，从而使教学效果达到最好. 作者在最初的教学中，由于教学经验不足，往往只重视了对教材内容的传授教，却忽视了对学生自学能力的培养重知识结论，轻思想方法渗透;重知识训练、轻情感激励;教师苦教，学生苦学，只是充当了课本与学生之间的转送带，并没有把真正的学习方法教给学生.结果是付出多回报少，学生学到的只是应试的数学，并不能真正体会数学的精髓，学生的素质得不到全面的发展.在随后几年的教学中，作者越来越深刻地感受到，要改变以上状况，必须转变个人的教学理念，真正体现教是为学服务的思想;真正实现教是为了不教的目的. 1丰富教学内容，激发学生学习兴趣 1.1引入数学史 教育的目标是育人，育人不但包括知识的传授，更重要的是培养对
社会能够起到推动作用的人才.作为数学教师，如何在教好书的同时能育好人呢?这个问题曾经困扰了作者许久.当初作者认为，理科的教学不像文科类教学内容丰富、形式灵活、容易引起学生的兴趣，特别是数学课，内容相对来说比较枯燥，乏味，学生容易产生厌学、畏难情绪，很难达到教书与育人双赢的目的.可是在多年的教学实践中，作者发现，数学课也可以讲得很精彩，比如在教学过程当中适当地讲解一些数学史的内容，可以激起学生的好奇心，有利于激发学生的学习兴趣，使学生能够体会到数学创作过程中所产生的的魅力，从而理解数学的文化和应用价值.例如在讲解极限概念的时候，作为引例，可以介绍我国古代数学家刘徽(公元263年)曾用他所创造的割圆术计算圆的面积，我国另一伟大数学家祖冲之( 429~500)进一步利用割圆术求得圆周率在3. 141 592 6与3. 141 592 7之间，这个结论，直到九百年后才被中亚西亚数学家阿尔卡西(Al-kashi?-1429)突破.这说明极限的思想最初是来自于我国的，这样的历史事实可以激发学生的自豪感和爱国热情，更加清晰了学生的学习目标与定位.数学史是数学以及科学史的分支，在高等数学的教学过程中引入数学史，使得理论与实际相结合，既活跃了课堂气氛，又激发了学生的学习兴趣，可以说是一举两得.各国著名数学家的传记、轶闻对培养学生的人格素质可以起到潜移默化的作用，学生从这些大家那里可以学习追求真理的科学精神，学生还要学习数学家们不迷信权威的批判精神. 1. 2发掘数学中蕴含的辩证思想 数学是反映现实世界空间形式、数量关系的一门科学，数学曾经是