高阶系统的时域分析(课程设计)

课程设计任务书

学生姓名： 专业班级： 指导教师： 肖 纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为2

()

()(48)()

p K s b G s s s s s a +=+++

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

（1） 当K=10，a=1，b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性。

（2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用

Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。

（3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值

重复第2个要求。

（4） 绘制a=1，b=4时系统的根轨迹。

时间安排：

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

目录

1 高阶系统的数学模型 (1)

2 系统稳定性分析 (1)

3 高阶系统的时域分析 (3)

3.1 单位阶跃响应 (4)

3.1.1 求单位阶跃响应 (4)

3.1.2 单位阶跃响应动态性能 (7)

3.1.3 单位阶跃响应稳态性能 (9)

3.2 单位斜坡响应 (10)

3.2.1 求单位斜坡响应 (10)

3.2.2 单位斜坡响应稳态性能 (11)

3.3 单位加速度响应 (11)

3.3.1 求单位加速度响应 (11)

3.3.2 单位加速度响应稳态性能 (13)

4 系统根轨迹 (13)

5 设计心得体会 (15)

参考文献 (15)

高阶系统的时域分析

1 高阶系统的数学模型

一个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为：

10111011()(),()m m m m

n n n n

b s b s b s b C s s m n R s a s a s a a ----++++Φ==≤++++

对分子、分母进行因式分解，得到零极点形式：

11

()

()

()()

()

m

i i n

j

j K s z C s s R s s p ==-Φ=

=-∏∏ (1)

式(1)中，K=b 0/a 0；z i ,p j 分别为系统闭环零、极点。

本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为

2

()

()(48)()p K s b G s s s s s a +=+++ (2) 则其闭环传递函数为（假设为负反馈）：

2432()()

()(48)()()(4)(84)(8)K s b K s b s s s s s a K s b s a s a s a K s Kb

++Φ==++++++++++++ (3)

2 系统稳定性分析

线性系统稳定的充分必要条件为：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于s 左半平面。

若求出闭环系统特征方程的所有根，就可判定系统的稳定性。但对于高阶系统来说，求特征方程根很困难，并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系统稳定性的方法—劳斯稳定判据。

设系统的特征方程为10110()0,0n n n n D s a s a s a s a a --=++++=>，则可列出劳斯表如

表1所示。

表1 劳斯表

n s

1n s -

2

n s -

3

n s

-

…

2s 1s 0s

按照劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各值均为正。否则系统不稳定，且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。

当K=10，a=1，b=4时，代入式(3)得到系统闭环传递函数

40

18125)

4(10)(2

34+++++=

Φs s s s s s 则系统的闭环特征方程为：D(s)=s 4+5s 3+12s 2+18s+40=0. 按劳斯判据可列出如下劳斯表：

4s 1

12

40

3s 5

18 0 2s 542 40

0 1s 21122

- 0

0s

40

由于劳斯表第一列数值符号有两次变化，故系统不稳定，且存在2个正实部根。现继续用劳斯稳定判据求原给定系统稳定时K ，a ，b 的取值范围。

原给定系统的闭环特征方程为：D(s)=s 4+(4+a)s 3+(8+4a)s 2+(8a+K)s+Kb=0，按劳斯判据可列出如下劳斯表：

4s 1 84a + Kb

3s 4a + 8a K +

2

s

a

K a a a ++-++4)

8()48)(4(

Kb 0

1

s

)

8()48)(4()4()8)](8()48)(4[(2

K a a a a Kb K a K a a a +-+++-++-++

0 0

0s Kb

根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元素为正，即：

2

40

(4)(84)(8)0

4[(4)(84)(8)](8)(4)0(4)(84)(8)0

a a a a K a a a a K a K K

b a a a a K Kb +>??++-+?>+?

?++-++-+?>?++-+?

>? 即K 、a 和b 必须满足：

???

????>>--+-++-++>-++>+001632)88256()4128(320

32164042

232

Kb K Kb K a Kb K a Kb K a K a a a (4) 系统才稳定。

3 高阶系统的时域分析

取K=15，a=2，b=2时系统闭环传递函数

4322

15(2)15

()6163130(3)(5)s s s s s s s s s +Φ==+++++++ (5) 分析，此时K 、a 、b 的值满足不等式组(4)，系统稳定。

3.1 单位阶跃响应

3.1.1 求单位阶跃响应

单位阶跃输入r(t)=1(t)，R(s)=1/s.对于n （n ≥3）阶系统先将系统闭环传递函数一般形式化成如(1)式所示零极点形式，则在单位阶跃输入作用下，系统输出可表示为（假设系统闭环极点均不相同）：

12

21

1

()

1

(),2()(2ζ)

Πm

i i q r

j

k k k j k K s z C s n q r s

s p s

s ωω===-=

?

=+-++∏∏ 将该式展开成部分分式的形式，响应可表示为

011()()q

r j j k j k k k

A A C s s s p ===++-∑式中，A 0、A j (j=1,2,…,q)、

B k 和

C k (k=1,2,…,r)是由部分分式展开时获得的系数。

对上式取拉普拉斯反变换得到系统时域响应表达式：

ζζ01

1

1

()cos()sin()j k k k k q

r

r

p t

t

t j k k j k k c t A A e

B e

t C e t ωωωω--====+++∑∑∑

由上式可知，高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量组成。对于稳定系统，上式瞬态响应分量的指数衰减项和正弦衰减项均随响应时间t 趋于无穷而趋于零，系统达到稳态值。各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数ζj k k p ω、的值及相应系数项A j 、B k 、C k 的大小。

在瞬态过程中，某衰减项的指数|p j |或ζk k ω的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。而|p j |和ζk k ω就是系统的极点到虚轴的距离。因此，如果分布在s 平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。

各衰减项的系数不仅与相应的极点在s 平面中的位置有关，而且还与零点的位置有关。极点的位置距原点越远，则相应分量的系数越小，该分量对系统过渡过程的影响就越小。如果某极点与零点很靠近，则相应分量的系数也很小，这时零极点对系统过渡过程的影响也将很小。

因此，高阶系统的瞬态响应特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的

极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似地认为系统的瞬态响应特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对）极点就称为高阶系统的主导极点。

下面以选取的系统进行分析，其闭环传递函数为上面的式(5)。在单位阶跃输入作用下，系统输出为

4322

115(2)15

()()()6163130(3)(5)

s C s R s s s s s s s s s s s +=?Φ=?=+++++++ 对上式进行部分分式展开：

210.45450.5455 1.9092()35

s C s s s s s +=--+++

对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位阶跃响应：

130.50.5()[()]10.45450.5455cos(2.1794)0.7509sin(2.1794)t t t c t L C s e e t e t ----==--- (6) 对于高阶系统，用上述解析法求解系统单位阶跃响应比较复杂，若借助MATLAB 软件将十分简单。MATLAB 中tf2zp()函数能将传递函数模型转化为零极点模型，residue()函数可以直接求出传递函数部分分式展开，由这些结果可以直接写出系统的输出解析解。另外，利用step()函数还能准确绘制系统单位阶跃响应曲线。

式(5)所表示系统可以用下面的MATLAB 语句求解系统单位阶跃响应。 num=[15 30];den=[1 6 16 31 30]; %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式

sys=tf(num,den);

%高阶系统建模

[z,p,k]=tf2zp(num,den);

%对传递函数进行因式分解 zpk(z,p,k)

%给出闭环传递函数的零极点形式

[r,p,k]=residue(num,[den,0]) %对C(s)部分分式展开

%在分母多项式后补零相当于乘以s

step(sys)

%绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线

grid %添加栅格 title(‘单位阶跃响应’); %标注标题

xlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’);

%标注横、纵坐标轴

程序运行后得到系统零极点形式、部分分式展开式，这里不列出。绘制的单位阶跃响应曲线如图1所示。

2468101214

00.20.40.60.8

1

1.2

1.4

单位阶跃响应

t (sec)

c (t )

图1 单位阶跃响应曲线

由(6)式单位阶跃响应时域表达式可知系统闭环稳定时，单位阶跃响应的指数项和阻尼正弦余弦项均趋近于零，稳态输出为常数项1，这与用MATLAB 绘制的响应曲线相符。

现将(6)式中三个瞬态分量曲线用MATLAB 软件画出，如图2所示。其中曲线1为瞬态分量310.4545t y e -=-，曲线2为分量0.520.5455cos(2.1794)t y e t -=-，曲线3为分量

0.530.7509sin(2.1794)t y e t -=-.由比较曲线可以看到，各分量的衰减速率和初始值都与相应的极点到虚轴的距离密切相关。与e -3t 项相比，e -0.5t 项具有慢得多的衰减速率。因此，对于除了t 趋近于零以外的所有时间，e -3t 项在合成的时域响应中的贡献可以忽略不计。所以可以说，e -0.5t 项在响应中起着主导作用，相应地，s = -0.5±2.1794i 是该系统的主导极点。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-0.6

-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4t (sec)

y

图2 单位阶跃响应瞬态分量比较

3.1.2 单位阶跃响应动态性能

动态性能指标是指稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t 的变化状况的指标，体现系统动态过程特征。用解析法求解高阶系统的动态性能指标很困难，这里用MATLAB 编程求解。调用单位阶跃响应函数step()，获得系统的单位阶跃响应，当采用[y,t]=step(sys)的调用格式时，将返回值y 及相应的时间t ，通过对y 和t 进行计算，可以得到高阶系统各项动态性能指标。

利用MATLAB 编程求取系统动态性能指标流程图如图3所示。

图3求取系统动态性能程序流程图

利用MATLAB编程求取系统动态性能指标程序如下：

sys=tf([15 30],[1 6 16 31 30]); %系统建模

%计算峰值时间tp和对应最大超调量Mp

C=dcgain(sys) %取系统终值

[y,t]=step(sys); %求取单位阶跃响应，返回变量输出y和时间t [Y,k]=max(y); %求输出响应的最大值Y（即峰值）和位置k tp=t(k) %取峰值时间

Mp=(Y-C)/C %计算最大超调量

%计算上升时间tr

n=1;

while y(n)

%计算调节时间(误差带取2%)

i=length(t); %求取仿真时间t 序列的长度 while (y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1; end ts=t(i)

程序运行后，输出结果为：

C=1 tp=1.8265 Mp=0.3685 tr=1.2645 ts=7.5868

即上升时间为1.2645s ，峰值时间为1.8265s ，最大超调量为36.85%，并且系统在7.5868s 后进入稳态。

3.1.3 单位阶跃响应稳态性能

稳态性能是系统在典型输入作用下，当时间t 趋于无穷大时，系统输出量的最终复现输入量的程度。稳态性能分析主要是指稳态误差的计算。稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。现采用静态误差系数法计算单位阶跃响应稳态误差。

将K=15，a=2，b=2代入（2）式，得待分析系统的开环传递函数为215

()(48)

p G s s s s =++，

其静态位置误差系数为：

20

15

lim ()lim

(48)

p p s s K G s s s s →→===∞++

所以单位阶跃输入作用下系统的稳态误差为：

1

()01ss p

e K ∞=

=+ 3.2 单位斜坡响应

3.2.1 求单位斜坡响应

单位斜坡输入2

1

(),()r t t R s s ==

，此时 2215

()()()(3)(5)

C s R s s s s s s =?Φ=

+++

展开为部分分式：

2210.53330.15150.38180.1636()35

s C s s s s s s -=

-+++++ 对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位斜坡响应：

30.50.5()0.53330.15150.3818cos(2.1794)0.1627sin(2.1794)t t t c t t e e t e t ---=-++- (7) 用MATLAB 绘制系统单位斜坡响应曲线使用lsim()函数，lsim()可以绘制线性定常系统在任意输入信号作用下的时间响应曲线，程序代码如下：

sys=tf([15], conv([1 3],[1 1 5])); %系统建模 t=0:0.01:10; %响应时间

u=t;

%单位斜坡输入

lsim(sys,u,t) %单位斜坡响应

grid

xlabel(‘t ’); ylabel(‘c(t)’) %标注横、纵坐标轴 title(‘单位斜坡响应’); %标注标题 程序运行后得到系统单位斜坡响应曲线如图4所示。

1

2

3

4

56

7

8

9

10

0123456

789

10单位斜坡响应

t (sec)

c (t )

图4 单位斜坡响应曲线

由(7)式单位斜坡响应时域表达式分析可知，本系统的单位斜坡响应的稳态分量为(t-0.5333)，系统稳态输出速度恰好与单位斜坡输入速度相同，即系统能跟踪斜坡输入，在位置上存在稳态跟踪误差，这与图4所示曲线相符合。

3.2.2 单位斜坡响应稳态性能

待分析系统的开环传递函数为2

15

()(48)

p G s s s s =

++，其静态速度误差系数为 201515

lim ()lim 488

v p s s o K sG s s s →→===++

所以系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差为

18

()0.533315

ss v e K ∞=

=≈ 3.3 单位加速度响应

3.3.1 求单位加速度响应

单位加速度输入2311

(),()2r t t R s s

==，此时

32

15

()()()(3)(5)

C s R s s s s s s =?Φ=

+++ 展开为部分分式形式：

2320.01780.533310.05050.03270.4145

()35

s C s s s s s s s +=

-+-++++ 对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位加速度响应：

230.50.5()0.01780.53330.50.05050.0327cos(2.1794)0.1827sin(2.1794)t t t c t t t e e t e t ---=-+-++

(8)

下面用MATLAB 绘制系统单位加速度响应曲线，仍然使用lsim()函数。在MATLAB 工作空间中输入如下程序代码：

num=[15]; den=conv([1 3],[1 1 5]);

sys=tf(num,den); %系统建模 t=0:0.01:10;

%响应时间序列

u=0.5*t.^2; %单位加速度输入 lsim(sys,u,t) %绘制单位加速度响应曲线 grid

xlabel('t'); ylabel('c(t)'); title('单位加速度响应');

程序运行后，得到系统单位加速度响应曲线如图5所示。

由(8)式单位加速度响应时域表达式分析可知，系统单位加速度响应的稳态输出为(20.01780.53330.5t t -+)，稳定时系统不能跟踪加速度输入，随响应时间t 的增大，稳态位置误差将越来越大，从图5所示单位加速度响应曲线也可以看出。

1

2

3

4

56

7

8

9

10

0510********

354045

50单位加速度响应

t (sec)

c (t )

图5 单位加速度响应曲线

3.3.2 单位加速度响应稳态性能

待分析系统的开环传递函数为2

15

()(48)

p G s s s s =

++，其静态速度误差系数为： 220015lim ()lim 048

a p s s s

K s G s s s →→===++

所以在单位加速度输入作用下的系统稳态误差为：

1

()ss a

e K ∞=

=∞ 4 系统根轨迹

绘制a=1，b=4时系统的根轨迹图，将a 、b 的值代入式(2)，得到系统开环传递函数为

2

(4)

()(48)(1)p K s G s s s s s +=+++ (9) MATLAB 中提供了rlocus()函数，可以直接用于绘制开环系统的闭环根轨迹。先在MATLAB 中输入系统开环传递函数，然后调用rlocus()函数就可以绘制出精确的根轨迹曲

线，具体MATLAB 程序代码如下：

num=[1 4]; den=conv([1 0],conv([1 4 8],[1 1])); sys=tf(num,den);

rlocus(sys) %绘制根轨迹图 title(‘根轨迹图’)

xlabel(‘实轴’); ylabel(‘虚轴’);

程序运行后，得到系统根轨迹图如图6所示。

根轨迹图

实轴

虚轴

-6-4-2

024

-6

-4

-2

2

4

6

图6 系统根轨迹图

单击根轨迹上的点，则可以显示出该点处的增益值和其他相关信息。例如，若单击根轨迹和虚轴相交的点，则可以得出该点处增益的临界值为6.64，如图6所示。可以看出，当0

5设计心得体会

对高阶系统进行时域分析，运用经典解析方法，采用拉普拉斯反变换求解瞬态响应时域表达式比较复杂，要计算出各项动态性能指标也很困难。但对于许多高阶系统，利用主导极点法可以简化系统的分析和性能指标的估算。而利用MATLAB软件可以方便地对高阶系统时域响应进行准确分析。

通过本次课程设计，加深了对所学自动控制原理课程知识的理解，特别是系统稳定性分析，系统各项动态性能指标，稳态误差以及系统根轨迹等相关知识的理解。设计时借助MATLAB软件进行控制系统分析，进一步熟悉了MATLAB语言及其应用，例如MATLAB 中部分分式展开函数residue()，计算单位阶跃响应函数step()，计算任意输入响应函数lism()，二维绘图函数plot()，根轨迹绘制函数rlocus()等等。书写课程设计说明书时使用WORD软件，使我掌握了许多WORD编辑和排版技巧。

在此次课程设计中，我觉得查阅各类书籍是很重要的，通过查阅图书馆的书籍可以开拓我们的视野，使我们的思维不仅仅局限在一个很小的圈子里，对同一个问题有多种分析思路、解决方法。另外，我认为光靠自己一个人的力量是远远不够的，当自己遇到问题实在解决不了时，可以和同学共同探讨，寻找解决办法。正所谓“三人行，则必有我师”。

总之，这次课程设计不仅增加了我的知识积累，为将来的毕业设计打下了基础，还让我懂得自主学习的重要性，还有做什么事情都要有恒心，有信心，动脑子去想，就一定有所收获。在此还要感谢老师对我不厌其烦的指导，使我能够顺利完成此次课程设计。

参考文献

[1] 薛定宇. 控制系统计算机辅助设计. 北京：清华大学出版社，2006

[2] 胡寿松. 自动控制原理(第五版). 北京：科学出版社，2007

[3] 李道根. 自动控制原理. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007

[4] 吴晓燕，张双选. MATLAB在自动控制中的应用. 西安：西安电子科技大学出版社，

2006

[5] 王正林，王胜开等. MATLAB/Simulink与控制系统仿真(第2版). 北京：电子工业

出版社，2008

本科生课程设计成绩评定表

指导教师签字：

年月日