二次函数最值问题专题
二次函数最值问题专题?知识点梳理：
y=ax2+bx+c(a≠0)
配方法得y=a(x+
b
2a
)2+4ac?b2
4a
顶点坐标（?
b
2a
，4ac?b2
4a
）对称轴为 x=?b
2a
一、不限定x的取值范围情况
(1) a>0时，开口向上，二次函数有最小值。最小值为y=4ac?b 2
4a
(2) a<0时，开口向下，二次函数有最大值。最大值为y=4ac?b 2
4a 二、当m≤x≤n时
?a>0时
（1）x=?b
2a
在m≤x≤n中
二次函数最小值为当x=?b
2a 时，y=4ac?b
2
4a
二次函数最大值为当y m,，y n,中的最大值。（2）?b
2a
>n即对称轴在自变量取值范围右侧。二次函数最大值为x=m时y的值。
二次函数最小值为x=n时y的值。
（3）?b
2a
二次函数最大值为x=n时y的值。 二次函数最小值为x=m时y的值。 ?a<0时 （1）x=?b 2a 在m≤x≤n中 二次函数最大值为当x=?b 2a 时，y=4ac?b 2 4a 二次函数最小值为当ym,， yn,中的最小值。 （2）?b2a>n即对称轴在自变量取值范围右侧。 二次函数最大值为x=n时y的值。 二次函数最小值为x=m时y的值。 （3）?b 2a 二次函数最大值为x=m时y的值。 二次函数最小值为x=n时y的值。 ?典例分析 类型一：常规类求最值问题 类型二：含有自变量取值限制的求最值问题 类型三：实际问题中的最值问题（考虑自变量x的取值范围） 一、利润最值问题 公式：总利润=总售价-总成本 总利润=每件商品的利润×销售量 例1：一玩具厂去年生产某种玩具，成本价为10元每件。出厂价为12元每件年销售量为2万元今年计划通过适当增加成本提高产品档次，以拓展市场。若今年这种玩具每件成本比去年增加0.7x倍。今年这种玩具每件出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍。则预计今后年销售量增加x倍。（0≤x≤1） （1）用含X的代数式表示今年生产的这种玩具每件成本价为元？今年生产的这种玩具每件出厂价为元？ （2）求今年这种玩具每件的利润y与x之间的函数关系式。 （3）设今年这种玩具年销售利润w万元，求当x取何值时,今年的销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？ 变式训练 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格提高1元，平均每天少销售3箱。 （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 二、线段和或三角形周长最值问题（找对称点） 例：已知抛物线y=ax2+bx?3的对称轴是x=-1，与x轴交点为A、B两点，与Y轴交点为C点，其中A（-3,0） （1）求这条抛物线的解析式 （2）已知这条抛物线的对称轴上存在一点P，使得?PBC的周长最小，求点P坐标。 变式训练 如图，抛物线y=?x2+bx+C经过A（-1,0），B （3,0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶 点，连结BD，点H为BD中点。请回答下列问 题。 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。 （2）在y轴上找一点P，使得PD+PH的值最小， 求PD+PH的最小值。 三、围矩形，建围墙 例：某居民小区在一块靠墙（墙长15米）的空地上，修建一个矩形的花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成。若设花园的宽为X（米），花园的面积为Y（平方米） （1）Y与X间的函数关系式，并写出自变量取值范围。 （2）根据（1）中的函数关系式，描述其图像的变化趋势，并结合题意判断当X取何值时，花园的面积最大，最大面积是多 少？ 变式训练 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成一个中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为X米。（1）要使鸡场的面积最大，鸡场的长度应为多少米？ （2）如果中间有n（n为大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面 积最大，鸡场的长应为多少米。 X 二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值． （2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． （2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上． 一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到 二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值． 二次函数最值问题专题资料 名校冲刺班一题80问（最值篇） 01、如图，二次函数212124 y x x =-++与x 轴交于B C 、两点，与y 轴交于D 点，对称轴为直线l . （1）若E 为l 上一动点，求DE BE +的最小值，并求出此时E 点的坐标； （2）若E 为l 上一动点，求DE EC -的最大值，并求出此时E 点的坐标； （3）若K 为直线CD 上一动点，求BK OK +的最小值，并求出此时K 点坐标； （4）若F N 、分别为直线CD 、x 轴上的动点，求DN FN BF ++的最小值，并求出此时F N 、的坐标； （5）若R 为y 轴上一点，满足CR BD ⊥，S T 、为直线CD 上的动点，且满足2ST =，求 RS ST TO ++的最小值，并求出此时tan TOC ∠的值； （6）若M 点从C 点出发，以1个单位每秒的速度运动到y 轴，再以10个单位每秒的速度 沿着y 轴运动到D 点，求从C 点到D 点的最短时间； （7）若一点从O 点出发以1个单位每秒的速度先到达直线BD 上一点Z ，再从Z 到达y 轴 上一点K ，求整个过程的最短时间； （8）E 为对称轴与x 轴的交点，从E 出发以1个单位每秒的速度运动到直线CD 上一点F ， 再从F 运动到y 轴，求整个运动过程的最短时间； （9）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作y 轴平行线交线段CD 于R ，求线段QR 的 最大值； （10）如图，Q 为一象限抛物线上一点，过Q 作QS 垂直于直线CD ，求QS 的最大值； （11）如图，Q 为一象限抛物线上一点，连接BQ 交直线CD 于点R ，求QR BR 的最大值； （12）如图，Q 为一象限抛物线上一点，求DQC 面积的最大值； 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验周前猛 一、选择题 1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( ) A. ab D不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A、- 7 4 B、3或-3 C、2或-3D2或-3或- 7 4 答案：C ∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 7 4 ， 2 765 y x 416 ?? =-++ ? ?? 此时，它 在－2≤x≤l的最大值是65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符. 当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m的值为2或-3. 故选C． 3．已知0≤x≤1 2 ，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C 解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值. 练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（） A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m． 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 初中数学之二次函数最值问题 一、选择题 1.（2008年山东省潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 2.（2008浙江杭州）如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份．设分点分别为，，，，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…，这样就有，，…；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（）A．B．C．D． 3．（08绵阳市）二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表： 利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（）． A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x ＜3 4．（2008年浙江省嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论： ①当时，函数值最大； ②当时，函数随的增大而减小； ③存在，当时，函数值为0． 其中正确的结论是（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ 5.(2008 湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的 小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.（2008泰安）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（） A．4 B．C．D． 7．（2008山东泰 安）函数的图象如 图所示，下列对该 的是（） 函数性质的论断不可能正确 ．．．．． A．该函数的图象是中心对称图形 B．当时，该函数在时取得最小值2 C．在每个象限内，的值随值的增大而减小 D．的值不可能为1 8.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（） A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值 二、填空题 1.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元 第四讲 二次函数与最值问题专题讲座 一、考点梳理 考点1：二次函数的解析式 一般式：y=ax 2+bx+c 顶点式：y=a(x+k)2+h 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2：二次函数的图象：抛物线 考点3 二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值. 二、题型透视 （一）、填空题 1、（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y = B 、2 25 4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是（ ） A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3 3、（2010 荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122 +-x x ）可以由E （x ，2 x ）怎样平移得到？（ ） A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 4、（2010 咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 5（2010 襄樊）若函数22(2)2x x y x ?+=?? ≤ （x>2） ，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ） A B ．4 C 4 D ．4 6、（2010 东营）二次函数c bx ax y ++=2 的图形如图所示，则一次函数ac bx y -=与 c b a y +-= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 7、（2010 荆门）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．． 的是( ) (A)ab ＜0 （B)ac ＜0 (C)当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小 二次函数的最值问题 二次函数y ax2bx c ( a 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情 况(当 a 时， 函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a 0时，函数在 x b处取得 2a 4a 2a 4ac b2，无最小 值． 最大值 4a 本节我们将在这个基础上继续学习当自变 量x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应 用． 二次函数求最值（一般范围类） 例 1．当 2 x 2 时，求函数 y x22x 3 的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草 图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变 量x 的值． 解：作出函数的图象．当x 1时， y min 4 ，当 x 2 时， y max 5． 例 2．当 1 x 2 时，求函数yx2x 1的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当 x 1 时， y min1，当 x 2 时， y max5 ． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例 3．当 x 0 时，求函数y x(2 x) 的取值范围． 资料 解： 作出函数 y x(2 x ) x 2 2x 在 x 0 内的图 象． 可以看出： 当 x 1 时， y min 1，无最大值． 所以，当 x 0 时，函数的取值范围 是 y 1 ． 例 4． 当 t x t 1 时，求函数 y 1 x 2 x 5 的最小值 (其中 t 为常 数 )． 2 2 分析： 由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相 对位 置． 解： 函数 y 1 x 2 x 5 的对称轴为 x 1 ．画出其草图． 2 2 1 5 (1 ) 当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 时： 当 x t 时， y min t 2 t ； t 1 t 1 0 t 1 2 2 (2 ) 当对称轴在所给范围之间．即 时： 当 x 1时， y min 1 12 1 5 3； 2 2 (3 ) 当对称轴在所给范围右侧．即 t 1 1 t 0 时： 当 x t 1 时， y min 1 (t 1)2 (t 1) 5 1 t 2 3． 2 2 2 1 t 2 3, t 0 2 综上所述： y3,0 t 1 1 t 2 t 5 , t 1 2 2 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值 ( 经济类问题 ) 例 1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定 对购买彩电的农户实行政府补贴． 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元， 经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补 贴款额 x 的不断增大， 销售量也不断增加， 但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． 专题五 二次函数的最值问题 【要点回顾】 1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值． 二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法． 第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值． 如：2 y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论： (1)若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。 (2) 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02 m n x +≤ ，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。 【例题选讲】 例1求下列函数的最大值或最小值． （1）5322--=x x y ； （2）432 +--=x x y ． 同步练习：已知函数1x 2x 2 1y 2++= （1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点； （3）观察图象：x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （4）观察图象：当x 为何值时，y>0时，当x 为何值时，y=0；当x 为何值时，y<0。 例2 已知函数2 ,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值． 同步练习：当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 同步练习：已知二次函数,322--=x x y （1）x 为何值时0=y ？ （2）x 为何值时0>y ？ （3）x 为何值时0 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 二次函数中的最值问题重难点复习 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2 ()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 44222 2-+??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 自变量x 取任意实数时的最值情况 （1）当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值； （2）当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． （3）二次函数最大值或最小值的求法． 第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值． 如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a ==- ； 第二步：讨论： [1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤ ，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++； ②对称轴02 m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧，在x m =处取最大值2max y am bm c =++ 小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 第07讲求二次函数的最值 考纲要求: 1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。 2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。 基础知识回顾: 二次函数的图象和性质 二次函数的图象和性质图象x y y=ax2+bx+c(a＞0) O x y y=ax2+bx+c(a＜0) O 开口向上向下 对称 轴 x＝ 2 b a - 顶点 坐标 2 4 , 24 b a c b a a ?? - - ? ?? 增减 性 当x> 2 b a -时，y随x的增大而 增大；当x＜ 2 b a - 时，y随x的 增大而减小. 当x> 2 b a -时，y随x的增大而减 小；当x＜ 2 b a -时，y随x的增大 而增大. 最值x= 2 b a - ， y 最小 ＝ 2 4 4 ac b a - . x= 2 b a - ， y 最大 ＝ 2 4 4 ac b a - . 应用举例: 招数一、利用二次函数的图像和性质，用最值的公式解决最值问题问题．【例1】二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是________． 【答案】7 【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7， 即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7， 故答案为：7． 【例2】已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则整数m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2 【答案】C 【解析】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，分类讨论： （1）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时，有m＜1，此时y随x的增大而减小， =m=（m+1）2-2（m+1）+2， ∴当x=m+1时，函数取得最小值，y 最小值 方程无解． （2）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，即有m≤1≤m+1， 解这个不等式，即 0≤m≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y =1， 最小值 ∴m=1． （3）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，即m＞1时，y随x的增大而增大， =m=m2-2m+2，解得m=2或1（舍弃） ∵当x=m时，函数取得最小值，y 最小值 ∴m=1或2． 故选：C． 招数二、解决与二次函数的增减性有关的最之问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得出结论，不限定自变量的取值范围求最值． 【例3】如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）+. 【解析】（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）， 二次函数解析式最值问题1.线段最值 例1：二次函数y=? 2 x+mx+n的图象经过点A(?1,4),B(1,0),y=?2 1 x+b经过点B,且与二次函数y=? 2 x+mx+n 交于点D. (1)求二次函数的表达式； (2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN 的最大值。 考点：[待定系数法求二次函数解析式, 一次函数的性质, 一次函数图象上点的坐标特征 例2：二次函数y=? 2 x+b x+c的图象与x轴交于A(1,0)，且当x=0和x=?2时所对应的函数值相等。(1) 求此二次函数的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC 的周长最小?如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由。 (3)设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积。考点：[抛物线与x轴的交点, 二次函数的最值, 待定系数法求二次函数解析式, 轴对称-最短路线问题] ax+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A.B两点,A点在B点左侧。点B 例3：已知：如图,抛物线y=2 的坐标为(1,0)，OC=3BO. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值。 例5：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=25 4x +bx+c 与y 轴交于点A ，与x 轴交于B(1,0),C(5,0)两点，其对称轴与x 轴交于点M. （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使ΔPAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC ，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N ，使ΔACN 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 例6：如图,已知抛物线y=2 ax ?3x+c 与y 轴交于点A(0,?4),与x 轴交于点B(4,0)，点P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点。 (1)求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标； (2)当点P 移动到抛物线的什么位置时,∠PAB=90°求出此时点P 的坐标； (3)当点P 从点A 出发，沿线段AB 下方的抛物线向终点B 移动，在移动中，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求t 为何值时S 有最大值，最大值是多少? 1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD 于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C （0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3． 二次函数中几何图形的最值问题 教情分析： 二次函数中与几何图形的结合题变化多端，关于几何图形的最值问题只是这些变化中的一类，在教学中如何引导学生在复杂的变化中发现解题的路径，关键是训练学生在题目中寻找不变的已知元素，运用“两点间的线段最短”“垂线段最短”“二次函数的最值”“三角形中的三边关系”等知识点，来实现问题的转化与解决。 教学目标： 引导学生掌握处理二次函数中的最值问题，明确解决最值问题的思考方向。 思想方法： 由于这类问题有一定的综合性和探索性，解题中需要运用数形结合、转化和化归、动态思维、特殊与一般等数学思想。 教学过程： 问题：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c的图象 A的坐标为(3，0)，B的坐标为(0，3)， (1)求直线AB和抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上的动点，过E作x 交抛物线于点F，设点E的横坐标为t， 求线段EF的最大值，并求出此时点E 点F的坐标呢？ (3)在直线AB上方的抛物线上有一动点P使得 ?ABP的面积最大？若存在求出点P的坐标及最大面积；若不存在请说明理由解题思路： (1)求出直线AB的解析式; (2)若直线AB上有一动点E的横坐标为t，那么它的纵坐标如何表示? (3)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A和点C，与y轴交于点B，求此抛物线的解析式； (4)若在上题中的抛物线上有一动点P的横坐标为m，那么它的纵坐标如何表示? 已知抛物线y=-x2+2x+3经过A(3，0)、B(0，3)两点； (5)点E是线段AB上的动点，过E作x轴的垂线交抛物线于点F，设点E的横坐标为t，求线段EP的最大值，并求出此时点E的坐标；点P的坐标呢？(6)在直线AB上方的抛物线上有一动点P使得?ABP的面积最大？若存在求出点P的坐标及最大面积；若不存在请说明理由. 小结： 练习：在直线AB上方(6)题中的抛物线上有一动点G，当G到直线AB的距离最大时，求G点的坐标及距离最大值 因材教育二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3二次函数的几何最值问题
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