高数上答案解析

机密★启用前

2013届全国硕士研究生入学统一考试

（启航考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案）

高数上

答题注意事项

1．本试卷考试时间90分钟，满分100分。

2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。

一、(本题满分5分) 【答案】A ．

【解析】由已知易得n x ＞0,n y ＞0．因为,2

11++=+≤

=n n

n n n n y y x y x x 所以 ,1n n n n n n x x x y x x =≥=+

故 ,2

21n n

n n n n y y y y x y =+≤+=

+ 所以，数列{n x }单调递增, 数列{n y }单调递减．又,121b y y x x x a n n =≤≤≤≤≤≤= 所以，数列{n x },数列{n y }都有界,根据“单调有界数列必收敛”准则,知n n x ∞

→lim 与n n y ∞

→lim 都

存在,故排除选项C 和D ．

下面讨论两个数列是否收敛于同一值．

设lim n n x A →∞

=,lim n n y B →∞

=,由21n n n y x y +=

+,有2

lim lim 1n

n n n n y x y +=∞→+∞→,即

2

A B

B +=

,解得A ＝B ,故选A ．

二、(本题满分5分) 【答案】B ．

【解析】当0＜x ≤3时,

2

]

)3(1ln[3ln lim 2]})3(1[3ln{lim )(+++=++=∞→∞→n x

n n x x f n n n n n

)13

0(2]

)3(1ln[lim 23ln lim ≤<++++=∞→∞→x n x

n n n n n ;3ln 03ln =+= 当x ＞3时,

2

]

1)3ln[(ln lim 2]}1)3[(ln{lim )(+++=++=∞→∞→n x x n n x x x f n n n n n

)130(2]

1)3

ln[(lim 2ln lim <<++++=∞→∞→x

n x n x n n n n ,ln 0ln x x =+= 所以 ??

?>≤<=,

3,

ln ,

30,

3ln )(x x x x f 显然)(x f 在(0,＋∞)内连续,故选B ．

三、(本题满分5分) 【答案】D ．

【解析】因为5)

1e (lim 3sin 0=--→h

f h h h ,且0lim 30=→h h ,所以),0(0)1e (lim sin 0f f h h h ==--→ 从而函数)(x f 在x ＝0处连续,排除选项A ．

sinh sin sin 3sin 300(e 1)(e 1)(0)e 1

lim lim .e 1h h h h h h h h h f f f h h ----→→----=- sinh 332

000e 1sinh 1cosh (0)lim (0)lim (0)lim 3h h h h h f f f h h h -→→→---='='='

2

20112(0)lim (0)5,36

h h

f f h →='='=从而到)0('f ＝30,故选D ．

四、(本题满分5分) 【答案】C ．

【解析】由定积分的几何意义可知,321,,I I I 分别表示的是曲线)(x f y =,)(x g y =,

m mx y -=与直线2,1==x x 及x 轴所围成图形的面积,故有

x x g x m mx x x f ??

?≤-≤2

1

2

1

21

d )(d )(d )(,即231I I I ≤≤．

五、(本题满分5分)

【答案】y ＋2x －1＝0． 【解析】等式1e )3cos(e

2+=++xy y

x 两端同时对x 求导,有

,0)33)(3sin()2(e 2='+-'++xy y xy y y x

将x ＝0,y ＝1代入上式,得2)0(-='y ,故所求切线方程为

y －1＝－2(x －0),即y ＋2x －1＝0．

六、（本题满分5分） 【答案】π

ln 2I a a

=

． 【解析】令t

x 1

=,则t at t t at t x a x x I d )

(1ln d )(1ln d ln 020

0222??

?+∞+∞

∞++-=+=+=

,

令at a

u

=,得222

22220

00ln ln ln 1

d d 2ln d u a u I u u a u a u a u a u +∞

+∞+∞-=-=-++++?

?? 02ln πarctan ln a

u I I a a

a a +∞

??=-+=-+????,所以 .ln 2πa a I =

七、(本题满分15分)

已知函数2

)2(91)(++

=x x

x f ,求函数的：(1)增减区间与极值；(2)凹凸区间与拐点．

【解析】(1)所给函数)(x f 的定义域为(,2)(2,)-∞--+∞,且

3)2()2(9)(+-=

'x x x f ,?+-="4

)

2()

4(18)(x x x f )(x f '的零点为2=x ,)(x f "的零点为4,x =而2x =-是函数的间断点．由

4,2,2==-=x x x 把定义域分成四部分,在各部分)(x f '及)(x f "的符号如下表所示．

x

)2,(--∞

(－2,2) 2 (2,4) 4 ),4(+∞

)(x f ' － ＋ 0 － － － )(x f "

－ － － － 0 + )(x f

极大

拐点

由上表可知,函数)(x f 在(－2,2)内单调增加,在(,2)(2,4)(4,)-∞-+∞内单调减

少；因此,在2=x 处取得极大值

8

17． (2)由上表可知,函数图形的凹区间为),4(+∞,凸区间为(,2)(2,4)-∞--；所以(4,2)

为拐点．

八、(本题满分15分)

设函数)(x f ,)(x g 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且1)1()0(==f f ．若0)(',0)(')(≠≠+x g x f x f ,证明：存在ξ,)1,0(∈η,使得)].()([e )(e )(ξξηξξη'+'='f f g g

【证明】 令)(e )(x f x x =?,则由题设可知)(x g ,)(x ?在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,于是存在)1,0(∈ξ,使得