函数及其表示典型例题及详细解答

1．函数与映射

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

4．常见函数定义域的求法

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )

(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )

1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x

答案 C

解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，

故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1

(log 2x )2－1

的定义域为( )

A.???

?0，12 B ．(2，＋∞) C.????0，1

2∪(2，＋∞) D.????0，1

2∪[2，＋∞) 答案 C

解析 要使函数f (x )有意义，需使?

????

x >0，

(log 2x )2－1>0，

解得x >2或0

2

.故f (x )的定义域为????0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝?

????

1＋log 2(2－x )，x ＜1，

2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 答案 C

解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2

2log 121

－＝2

2log 12

×2－1＝12×1

2

＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.

4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

答案 B

解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②

解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函

数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.

题型一 函数的概念

例1 有以下判断：

①f (x )＝|x |

x 与g (x )＝?

????

1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；

④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ???

?f ????12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③

解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |

x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝???

1 (x ≥0)－1 (x <0)

的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ????12＝????12－1－????12＝0，所以f ????f ????12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.

思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．

(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()

A．y＝x－1与y＝(x－1)2

B．y＝x－1与y＝x－1 x－1

C．y＝4lg x与y＝2lg x2

D．y＝lg x－2与y＝lg x

100

(2)下列所给图象是函数图象的个数为()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 (1)D (2)B

解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.

(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.

题型二 函数的定义域

命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1

x ＋3

的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪(－3,0]

D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

(2)函数f (x )＝lg (x ＋1)

x －1的定义域是( )

A ．(－1，＋∞)

B ．[－1，＋∞)

C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．[－1,1)∪(1，＋∞)

答案 (1)A (2)C

解析 (1)由题意知?

????

1－2x

≥0，

x ＋3>0，解得－3

(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)

x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.

命题点2 求抽象函数的定义域

例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)

x －1的定义域是( )

A ．[0,2 015]

B ．[0,1)∪(1,2 015]

C ．(1,2 016]

D ．[－1,1)∪(1,2 015]

(2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]

答案 (1)B (2)C

解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．

所以使函数g (x )有意义的条件是?????

0≤x ≤2 015，

x －1≠0，

解得0≤x <1或1

义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.

(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.

命题点3 已知定义域求参数范围

例4 若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]

解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以2

22＋－x ax a

－1≥0对x ∈R 恒成立，即2

22＋－x ax a

≥20，

x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：

①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．

(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．

(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数

g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2)的定义域是________．

(2)函数y ＝

ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4

的定义域为___________________________．

答案 (1)[12，3

2

] (2)(－1,1)

解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，

所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2)中的自变量x 需要满足???

0≤x ＋1

2≤2，0≤x －1

2≤2，解得：12≤x ≤32

，

所以函数g (x )的定义域是[12，3

2

]．

(2)由?????

x ＋1>0，

－x 2

－3x ＋4>0，

得－1

题型三 求函数解析式

例5 (1)已知f (2

x

＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.

(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1

x )·x －1，则f (x )＝________.

答案 (1)lg

2x －1

(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13

解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2

t －1

，

∴f (t )＝lg

2t －1，即f (x )＝lg 2x －1

(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，

则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，

∴????? a ＝2，b ＋5a ＝17，解得?????

a ＝2，

b ＝7，

∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)

在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1

x 代替x ，

得f (1x )＝2f (x )1

x

－1，

将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，

可求得f (x )＝23x ＋13.

思维升华 函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；

(4)消去法：已知f (x )与f ????

1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．

(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝

________.

(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.

(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－1

2x (x ＋1)

(3)23lg(x ＋1)＋1

3lg(1－x ) (－1

(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－1

2x (x ＋1)．

(3)当x ∈(－1,1)时，

有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，

2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，

f (x )＝23lg(x ＋1)＋1

3

lg(1－x )，x ∈(－1,1)．

2．分类讨论思想在函数中的应用

典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝?????

e x －

1

，x <1，

13x ，x ≥1，

则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．

(2)(2015·山东)设函数f (x )＝?

????

3x －1，x ＜1，

2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )

A.????

23，1 B ．[0,1] C.????23，＋∞

D ．[1, ＋∞)

解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.

当x ≥1时，13

x ≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.

当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴2

3≤a <1.

当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥2

3，故选C.

答案 (1)(－∞，8] (2)C

温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解．

(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．

[方法与技巧]

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是

否相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．

3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．分段函数问题要分段求解．

[失误与防范]

1．复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．

2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

A组专项基础训练

(时间：30分钟)

1．下列各组函数中，表示同一函数的是()

A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2

B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2

C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|

D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x

答案C

解析在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．

2．已知函数f(x)＝

1

1－x2

的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(?R N)等于()

A ．{x |x <1}

B ．{x |x ≥1}

C ．?

D ．{x |－1≤x <1}

答案 A

解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(?R N )＝{x |x <1}，故选A.

3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ????－π3＋f (4)等于( )

A ．－3＋2

B ．1

C ．3 D.3＋2 答案 D

解析 因为f ????－π3＝f ????π3＝2sin π

3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ???

?－π

3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x

答案 B

解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴????

?

a ＋

b ＋

c ＝1，

a －

b ＋

c ＝5，c ＝0，

解得????

?

a ＝3，

b ＝－2，

c ＝0，

∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.

5．已知函数f (x )满足f (2

x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )

A ．f (x )＝log 2x

B ．f (x )＝－log 2x

C ．f (x )＝2－

x D ．f (x )＝x －

2

答案 B

解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21

x ＝－log 2x .

6．已知函数f (x )＝log 21

x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.

答案 －7

8

解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1

＝23，解得a ＝－7

8.

7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 答案 [2，4]

解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴1

2

≤2x ≤2.

∴在函数y ＝f (log 2x )中，1

2≤log 2x ≤2，

∴2≤x ≤4.

8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝?????

x ＋2x －3，x ≥1，

lg (x 2＋1)，x ＜1，

则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3

解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，

当x ≥1时，f (x )＝x ＋2

x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；

当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.

9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.

∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，

∴?????

2a ＋b ＝b ＋1，

a ＋

b ＝1，解得???

a ＝1

2

，b ＝12.

∴f (x )＝12x 2＋1

2

x .

10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．

解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －7

2；

当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －1

2；

当1≤x <2时，f (x )＝1.

所以f (x )＝???

－32x －7

2

，－3≤x <－1，32x －12

，－1≤x <1，

1，1≤x <2.

B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)

11．若函数y ＝ax ＋1

ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．

答案 [0,3)

解析 因为函数y ＝ax ＋1

ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，

所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，

即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．

当a ＝0时，函数y ＝1

3的图象与x 轴无交点；

当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0

x 2＋1，则

(1)f (2)

f (12

)＝________；

(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (1

2 017)＝________.

答案 (1)－1 (2)0

解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x

2

1＋x 2

＝0，

∴

f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)

f (12

)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (1

4)＝0，…，

f (2 017)＋f (1

2 017

)＝0，

∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (1

2 017

)＝0.

13．已知函数f (x )＝4

|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整

数数对(a ，b )共有________个． 答案 5

解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4

|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－

2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．

14．具有性质：f ????

1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝

?

????

x ，0

0，x ＝1，－1

x

，x >1.

其中满足“倒负”变换的函数是________．

答案 ①③

解析 对于①，f (x )＝x －1

x ，f ????1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；

对于②，f ????1x ＝1

x ＋x ＝f (x )，不满足；

对于③，f ????1x ＝?????

1x ，0<1

x

<1，0，1x

＝1，－x ，1x

>1，

即f ????1x ＝?????

1

x

，x >1，0，x ＝1，

－x ，0

故f ????

1x ＝－f (x )，满足．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.

15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．

(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？

解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．

(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．

(3)斜率表示票价．

(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．