关于应力应变状态问题
关于应力应变状态问题（含组合变形）
2009年10月29日星期四
应力应变状态重点公式： 基本公式：ατασ
σσ
σσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
ατασ
σσ
σσα2sin 2cos 2
2
90xy y
x y
x +--
+=
+
ατασ
στα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
y
x
xy
σ
σ
τ
α--
=22tan
()2
2
max 4212
xy y
x
y
x τσ
σσ
σσ+-+
+=
()
2
2
min 42
12
xy y
x
y
x τσ
σ
σ
σσ+--
+=
应力圆的绘制及其应用：①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即：点面对应，转向相同，转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力；②、确定主应力的大小和方向；③、三向应力圆的绘制及其应用。 广义胡可定律及其公式：
(){}z
y
x
x E σ
σ
μσε+-=
1 G
xy xy
τγ
=
(){}x
z
y
y
E σ
σ
μσε
+-=
1 G
yz
yz τ
γ=
(){}y
x
z
z E
σ
σμσ
ε+-=
1 G
zx
zx
τγ
=
(){}32
1
11σσ
μσε+-=
E
；(){}13221σσμσε+-=E
；(){}2
1331σ
σμσε+-=E
习题：P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、
四种常用强度理论：
最大拉应力理论（第一强度理论）[]σσ≤1
最大伸长线应变理论（第二强度理论）()[]σσσμσ≤+-321 最大切应力理论（第三强度理论）[]σσσ≤-31
畸变能密度理论（第四强度理论）
()()()
[][]σσσσσ
σ
σ
≤-+-+-2
132
32
22
1
2
1
01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。即： 90++=+αασσσ
σ
y
x
或min
max
σ
σ
σ
σ
+=+y
x
。（7分）（2009吉大）
02、4、已知平面应力状态如图（应力单位MPa ），试计算主应力大小及方位，在图上标出主应力方位。（15分）（2009北工大）
题二.4图
03、5、已知铸铁构件上危险点的应力状态如图3-5所示。若铸铁拉伸许用应力[ζ]
+
=
30MPa ，试校核该点处的强度。（15分）（2008华南理工）
04、5、（20分）如图所示的平面应力状态，求主应力并画出主单元体，应力单位为MPa 。（2009燕山大学）
题5图
05、五、（15分）木制的构件中的某一微元应力如图所示，图中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：（1）面内平行于木纹方向的剪应力；（2）垂直木纹方向的正应力；（3）该点的三个主应力和最大剪应力。（2008南航） （答案：MPa 615=-τ，MPa 4.3815-=-σ，01=σ，MPa 162-=σ，MPa 403-=σ，MPa 20max =τ
题五图
06、4、如图所示，直角三角形单元体，已知其斜边上无应力。则该应力状态为_____向应力状态，且应力分量ζx 与ζy 之间的大小关系为__________。（6分）（2007武汉理工）
题一4图
07、三、某点的两个方向面的应力如图，求其主应力、最大切应力及主平面的方位。（15分）
（答案：ζ1＝500MPa ，ζ2＝100MPa ，ζ3＝0MPa ，ηmax ＝250MPa 。以A 方向面的法线为基准，顺时针方向旋转60°即为作用着ζ1的主方向；逆时针旋转30°即为作用着ζ2的主方向）（2006南航）
题三图
08、四、（20分）一点处（平面应力状态）两相交平面上的应力如图3所示。求ζ值以及该点的主应力和最大剪应力。（2006华东理工）
图3
09、6、已知A 点应力状态如图所示，求斜面上的剪应力τ及A 点的主应力1σ，
2σ和3σ。（20分）（2008湖南大学）
10、6．自平面受力物体内取出一微体，其上受应力σ 及3/στ=如图示。求此点的三
个主应力及画出其主单元体。（15分）（2006华南理工）
a
b
c
题三、6图
11、5．如图示单元体，试证明切应力互等定理仍然成立。即
η=η′。（5分）（2008华南理工）（提示：对Z 轴求矩即可）
12、10、单元体的应力状态如图所示，已知材料常数E ＝200GPa ，μ＝0.3，试求：（1）画出其三向应力圆；（2）求出三个主应力及其对应的主平面方向；（3）计算最大的线应变，最大的切应力和最大切应变（角应变）（15分）（2008西交）
题10图
13、5、某构件危险点应力状态如图所示，材料的许用应力为[]MPa
σ，试按第三
=
170
强度理论校核该构件。（20分）（2009湖南大学）
14、6、试求图示应力状态的主应力值和最大切应力值（图中应力单位为MPa）（13分）（2009江苏大学）
15、3、（10分）单元体各面上的应力如图所示，求该微分单元体上的最大剪应力值。（2009燕山大学）
题3图
16、五、（15分）某结构危险点的应力状态如图所示，已知E＝200GPa，μ＝0.3，α＝45°，试求图示单元体：（1）主应力；（2）最大切应力；（3）最大线应变；（4）画出相应的三向应力圆草图；（5）在三向应力圆上标出指定斜截面上应力所对应的点D。（2008吉大）
题五图
17、二、（15分）某构件危险点的应力状态如图。材料的E＝200GPa，μ＝0.3，ζs＝240MPa，ζb＝400MPa，试求：1、主应力；2、最大切应力；3、最大线应变；4、画出应力圆草图；
5、设n＝1.6，校核其强度。（2007吉大）
题二图
18、四、已知某钢结构危险点处的应力状态如图所示，E=200GPa，μ=0.25。试求：（1）图示单元体的主应力；（2）最大剪应力；（3）最大线应变；（4）画出相应的三向应力圆
草图。（15分）（2005吉大）
题四图
19、6、（15分）现测的如图所示的矩形截面梁表面K 点处的应变6
4510
50--?= ε。已
知材料的弹性模量E =200GPa ，泊松比μ=0.25，a =0.5m ，b =60mm ，h =100mm 。试求作用在梁上的载荷M 。（2009燕山大学）
题6图
20、四、（20分）图示纯弯曲梁，已知外力偶矩M e ，截面对中性轴的惯性矩I z ，材料的弹性常数E 、v ，AB 线段与梁轴线夹角为45°，其长度为a 。求线段AB 的长度改变量。（2005西南交大）
题四图
21、5、图示矩形截面钢梁受两个集中力作用，材料的弹性模量E ＝200GPa ，泊松比υ＝0.32，梁长l ＝2m ，a ＝400mm ，b ＝60mm ，h ＝120mm 。在距中性层h /4的点m 处测得与x 轴成45°方向的线应变，6
4510
300-?= ε，试求力F 大小。（15分）（2008北工大）
题二、5图
22、三、（20分）图示简支梁，由№18工字形铸铁梁构成，许用拉应力为[]MPa t 35=σ，许用压应力为[]MPa c 100=σ。在外载荷作用下，测得横截面A 底边的纵向正应变
4
10
0.3-?=ε。已知梁的弹性模量E ＝100GPa ，a ＝1m 。试校核梁的强度。（2008北科
大）（提示：①求q 值；②确定max
M
值；③强度校核。）
题三图
23、四、（15分）为了监测受扭空心圆杆的扭矩大小，在圆杆内表面沿45°方向粘贴应变片，已知材料为45钢，切变模量G ＝80GPa ，泊松比μ＝0.3。杆件外径D ＝100mm ，内径d ＝80mm ，材料的许用切应力为[η]＝100MPa ，今测得应变片的应变读数为590×10－6
，试问：（1）杆件承受的扭矩有多大？（2）材料强度是否足够？（2008南航） （答案：Nm T M
e
6832==，MPa 118max =τ>[η] 强度不够）
题四图 24、六、（15分）直径D ＝100mm 的圆杆，自由端有集中力F P 和集中力偶M 作用，测得
沿母线1方向的线应变ε1＝5×10－4
，沿与母线方向成45°的2方向的线应变ε2＝3×10－4
，圆杆材料弹性模量E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.3，许用应力[ζ]＝150MPa ，设圆杆变形在弹性范围内，试求：（1）集中力F P 和集中力偶M 的大小；（2）用单元体表示危险点的应力状态；（3）用第三强度理论校核该杆的强度。（2008南航） （答案：kN F p 785=，m kN M ?=73.3，MPa r 1073=σ<[ζ] 安全）
题六图
25、7、某主轴受轴向拉伸与扭转联合作用，为了用实验方法测定拉力F p 及外力偶M e ，在主轴上沿轴线方向及与轴向45°夹角方向各贴一枚电阻应变片，今测得轴在等速旋转时轴向应变平均值与45°方向应变平均值分别为ε0°＝500×10－6
，ε45°＝80×10－6
。若轴的直径d ＝300mm ，材料的弹性模量E ＝210GPa ，泊松比ν＝0.28，材料的许用应力[ζ]＝120MPa 。
求：（1）、轴向力F p 和外加力偶矩M e ，（2）、用第三强度理论校核该轴强度。（15分） （答案 ：F p ＝7422kN ；M e ＝87kNm,ζr3＝110MPa ≤[ζ]）（2007南航）
题7图
26、四、（计算题，15分）已知图示圆轴的直径为d ，材料弹性模量为E ，泊松比为ν，两端受扭转力偶矩M e 作用。求：圆轴表面点A 处沿与水平线成顺时针45°夹角方向的线应变ε。（华东理工2007）
题四图
27、5、图示圆轴的直径为d =40mm ，受轴向拉力F 和力偶e M 作用，ν=0.23，[]MPa 130=σ。测得表面上点K 处的线应变4
4510
146-?-= ε，4
13510
46.4-?= ε。MPa E 5
102?=。
试用第三强度理论校核轴的强度，并计算力F 和力偶e M 。（20分）（2009北工大） （提示：①由
45σ和
135σ公式计算出σ和τ值；②由σ和τ进行强度校核；③确定F 和
M e 值。）
题二.5图
28、五、（20分）已知，材料为A3钢，E=200GPa ，ν=0.25，圆筒外径D=120mm ，内径d=80mm 。已测得空心筒表面上Ⅰ、Ⅱ两方向的线应变绝对值之和为611110400-?=+εε。求外扭矩T 之值。（2004西南交大）
题五图
29、七．用电阻应变仪测得图示受扭圆轴表面上一点的任意两个相互成45度方向的应变值为ε′=3. 75×10-4,ε′′=5×10-4已知E =2×105 MPa 。ν=0. 25，D =10 cm 。 试求扭转外力偶矩M e 。（20分）（2009华南理工）
30、10、已知拉伸与扭转组合变形的空心圆管外径D ＝150mm ，内径d ＝130mm ，拉力F
＝150kN，扭矩T＝15kN·m。（1）设许用应力[ζ]＝100MP，按第三或第四强度理论校核其强度；（2）欲用电测法测量其外表面的最大线应变，应在哪个方向布置电阻片？设材料E＝200GPa，μ＝0.3，最大线应变应为多少？（16分）（2007西交）
题10图
31、14、螺旋桨主轴为外径D＝140mm，内径d＝100mm的厚壁圆筒，已知F＝200kN 的轴向推力，[ζ]＝100MPa。（1）用第三强度理论求主轴所能承受的最大扭矩T；（2）设弹性模量E＝200GPa，泊松比μ＝0.3，求轴内的最大线应变和最大切应力。（20分）（2006西交）
题14图
32、七、（15分）如图9所示闭口薄壁圆筒受内压p和弯曲力偶M的联合作用。今测得A点轴向应变ε0＝4×10—4，B点沿圆周线方向的正应变ε90＝2×10—4。已知薄壁圆筒的外径D＝60mm，壁厚δ＝2mm，E＝200GPa，μ＝0.25，[ζ]＝150MPa。（1）画出A点的微体受力状态图。（2）求出弯曲力偶矩M和内压p的大小。（3）试用第三强度理论校核筒的强度。（2006北航）
33、4．如图2－4所示薄壁长圆筒，长度为L，壁厚为δ，平均直径为D，已知材料的弹性模量为E；泊松比为v；许用正应力为[ζ]。现承受内压p和扭转外力偶矩m e=πD3p/4的同时作用。薄壁圆筒的抗扭截面模量可取W t=πD2δ/2，试求：（1）按第三强度理论建立强度条件。（2）筒体的轴向变形△L。（20分）（2005武汉理工）
图2－4
34、5、如图3-5所示，端截面密封的曲管的外径为100 mm，壁厚t=5 mm，内压p=8 MPa。集中力P=3 kN。A、B两点在管的外表面上，一为截面垂直直径的端点，一为水平直径
的端点。试确定两点的应力状态。（20分）（2009华南理工）
关于应力应变状态问题
关于应力应变状态问题（含组合变形） 2009年10月29日星期四 应力应变状态重点公式： 基本公式：ατασσσσσα2sin 2cos 22 xy y x y x --+ += ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 90xy y x y x +-- += +ο ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= y x xy σστα-- =22tan ()2 2 max 4212 xy y x y x τσσσσσ+-++= ()22 min 42 12 xy y x y x τσσ σσσ+-- += 应力圆的绘制及其应用：①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即：点面 对应，转向相同，转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力；②、确定主应力的大小和方向；③、三向应力圆的绘制及其应用。 广义胡可定律及其公式： (){}z y x x E σσμσε+-=1 G xy xy τγ= (){}x z y y E σσμσε+-=1 G yz yz τγ= (){}y x z z E σσμσε+-= 1 G zx zx τγ= (){}32111 σσμσε+-= E ；(){}13221σσμσε+-=E ；(){}21331σσμσε+-=E 习题：P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、
四种常用强度理论： 最大拉应力理论（第一强度理论）[]σσ≤1 最大伸长线应变理论（第二强度理论）()[]σσσμσ≤+-321 最大切应力理论（第三强度理论）[]σσσ≤-31 畸变能密度理论（第四强度理论） ()()()[] []σσσσσσσ≤-+-+-2132322212 1 01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。即：ο90++=+αασσσσy x 或min max σσσσ+=+y x 。（7分）（2009吉大） 02、4、已知平面应力状态如图（应力单位MPa ），试计算主应力大小及方位，在图上标出主应力方位。（15分）（2009北工大） 题二.4图 03、5、已知铸铁构件上危险点的应力状态如图3-5所示。若铸铁拉伸许用应力[σ]+= 30MPa ，试校核该点处的强度。（15分）（2008华南理工）
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
应力与应变关系
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。 一．典型应力-应变关系 图1-1 典型应力-应变曲线
1） 弹性阶段（OC 段） 该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，非线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE =，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。 2）塑性阶段（CDEF 段） CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并用σb 表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。 该阶段应力和应变的关系：)(ε?σ=。 3）卸载规律 如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO 卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D 处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用 OD ′表示总应变ε，O ′D ′表示可以恢复的弹性应变εe ，OO ′表示不能恢复的塑性应变εp ，则有 p e εεε+= (1-1) 即总应变等于弹性应变加上塑性应变。 该阶段应力和应变的关系满足εσ?=?E 。 4）卸载后重新加载
应力与应变(试题学习)
第三章 应力与强度计算 一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。 1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1） 杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；如果是偏 心受压或受拉的轻质杆件，那么必然存在靠近轴力的一侧受压，远离轴力的一侧受拉，应力肯定不同，方向相反。并存在中和轴。（即应力在中和轴处为0） （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（大于截面宽度的长度范围内——圣维南） （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀（即应力集中）； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1） 图3-1 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2cos ασσα=（3-3） 切应力1sin 22 ατσα= （3-4） 式中σ为横截面上的应力。
正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。 ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 两点结论： （1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。当α=0 90时，即纵截面上，ασ=090=0。 （2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αα τ=。 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε= （3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?； (b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即
应力应变关系
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
应力状态与应变状态分析
第8章典型习题解析 1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z *= τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图(d)。 2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解：（1）求斜截面上的正应力 ?30－σ和切应力?30－τ
由公式 MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100 5021005030-=?---?---++-= ?-σ MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100 5030=?--+?---= ?-τ （2）求主方向及主应力 8 .010050120 22tan -=----=-- =y x x σστα ?-=66.382α ?=? -=67.7033.1921αα 最大主应力在第一象限中，对应的角度为 070.67α=?，主应力的大小为 1 5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ= ??--??=－＋－－＋ 由 y x σσσσαα+＝＋2 1 可解出 2 1 (50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-－ 因有一个为零的主应力，因此 )33.19(MPa 0.7133?--＝第三主方向＝ασ 画出主单元体如图8.2(b)。 （3）主切应力作用面的法线方向 25 .1120100 502tan =---= 'α ?='34.512α ?='? ='67.11567.2521αα 主切应力为 ' 2 ' 1 MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100 50ααττ-=-=?-+?--= 此两截面上的正应力为 MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100 502100501 =?--?--++-= 'ασ MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100 502100502 =?--?--++-= 'ασ 主切应力单元体如图所示。
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 20 （MPa ） 20 d 20 （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0 ττσ==； （B ）AC AC /2,/2τ τσ==； （C ）AC AC /2,/2τ τσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关
于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。 (b) (a) （A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 τ (a) (b) (c) （A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同；（D）（ a）和（c）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 (A) (B) (D) (C) 解答： max τ发生在 1 σ成45o的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）脆性材料；（B）塑性材料； （C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图
本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够
按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ???=-+=???????=-+=???????=-+=???? ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后
我所认识的应力和应变
我所认识的应力和应变 应力和应变这两个概念对我来说并不算陌生，在之前材料力学中学习了平面应力状态以及平面应力状态下的应变分析，而这学期的弹塑性力学则主要研究空间应力应变状态。 一． 应力 1. 应力的定义 应力表示内力在截面上某一点的分布集度，它是一个矢量，不仅有大小和方向，而且和点的位置以及通过该点截面的方向有关。应力的国际单位为N /㎡,简写为Pa 。 2. 一点的应力状态 由于一点的应力矢量与该点的位置以及通过该点截面的方向有关，所以只是描述应力，应同时指明它是对物体内的哪个点，并过该点的哪一个微分面，物体内同一点各微分面上的应力状况，即一点的应力状态。 过物体内某一点M 分别截取三个互相垂直的微分面，并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的方向一致，不失一般性地假设为与三个坐标轴的正方向一致。则三个微分面上的应力矢量可分别表示为： x x xy xz P i j k σττ=++ y y x y y z P i j k τστ=++ z z x x y z P i j k ττσ=++ 上式中出现了9个应力分量，这9个应力分量作为一个整体组成了一个所谓的二阶张量，而上式中的9个应力分量组成了一个33?的矩阵 ??????????=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ 称为应力张量。在三维空间中，9个元素组成的张量称为二阶张量。三个应力张量的不变量均可由三个主应力表示。由于该点各个截面的应力情况确定了，主应力也就确定了，并且主应力是不随坐标改变的，从而应力张量不变量也唯一确定了。应力张量是一个二阶张量，应力张量的各个分量在坐标变换时，服从二阶张量的坐标变换规律。 3. 应力满足条件 应力是一个二阶对称张量。处于平衡状态的物体的物体内部个点需要满足平
坝体的有限元建模与应力应变分析1
Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析 计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。 图2－1 坝体的计算分析模型 选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain 定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3 模型施加约束 ? 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束 ? 给斜边施加x 方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}； 3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file ：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK 单元控制 纵边20等分；上下底边15等分 结果显示 ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK