《概率论与随机过程》第1章习题
《概率论与随机过程》第一章习题
1.写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10）测量一汽车通过给定点的速度。
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C都发生。
（4）A，B，C中至少有一个发生。
（5）A，B，C都不发生。
（6）A，B，C中至多于一个发生。
（7）A，B，C中至多于二个发生。
（8）A，B，C中至少有二个发生。
3. 设{
}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。
4. 设{}
20≤≤=x x S ，??????
≤<=121x x
A ，?
??
???<≤=2341
x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。
5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ，
C 至少有一个发生的概率。
6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。
7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少
8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求
第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。
9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一
事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及
)(B A P ?。
10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概
率。
（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。
11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率
是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
12. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%
的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少
13. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为，而B 被误收作A 的概率为。
信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少
14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点
闭合与否相互独立。求L 至R 连通的概率是多少
L
R
15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为，第二次为，第三次为。飞机击中一次而被击落的
概率为，击中二次而被击落的概率为，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。 16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的三只球中的最大号码，
写出随机变量X 的概率质函数。
17. （1）设随机变量X 的概率质函数为!
}{k a
k X P k
λ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。
(2) 设随机变量X 的概率质函数为N
a
k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。
18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独
立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）
每分钟的呼唤次数大于10的概率。 20. 设随机变量X 的分布函数为
??
???<≥-=-.0,0,
0,1)(x x e x F x
（1） 求}3{},2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。
21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求
80.0}200120{≥≤ 22. 设随机变量X 的概率质函数为 求2X Y =的概率质函数。 23. 设X 的概率密度为 ??? ??<<=其它, 00,2)(2 ππx x x f ，求sinX Y =的概率密度。 24. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ?? ???≤≤≤≤+=其它.,0, 20,10,3 ),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P 。 25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ???≤≤=其它.,0,10,1)(x x f X ?? ???≤>=-.000)(y ,, y ,e y f y Y 试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。 26. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ),2exp(21),(2 222 σπσy x y x f +- = +∞<<∞-+∞<<-∞y x ,。 求22Y X Z +=的概率密度。 27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其中没有一 只寿命小于180 小时的概率。 28. 设随机变量X 的概率质量函数为 求)(),(),(53X E X E X E 22+。 29. 设X 服从二项分布，其概率质量函数为 {}.10.,,2,1,0,)1(<<=-??? ? ??==-p n k p p k n k X P k n k 求)(X E 和)(X D 。 30. 设X 服从泊松分布，其概率质量函数为 {}.0,,2,1,0,! >== =-λλλ k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。 31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为 ?????<<-=， 其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。 32. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为 ()+∞<<∞->???? ????-= x x f ,02-x exp 21 )(2 2σσμσπ，。 求)(X E 和)(X D 。 33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X 表示其 中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。 34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立： （1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； （2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。 35. 设随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-000 x , x ,e f(x)x 。求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期望。 36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为 ? ? ?<<<<=其它，,x, y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。 37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契比雪夫不等式估计每 毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。 38. 设随机变量X 的概率密度函数为?? ???≤>=-000 x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。求)(X E 和)(X D 。 39. 设随机变量X 的概率密度函数为?? ? ??≤>-=0,00),2exp()(222x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。求)(X E 和)(X D 。 40. 设随机变量X 的概率质量函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。其中p q ,p -=<<110为常数，则称X 服 从参数为p 的几何分布。试求)(X E 和)(X D 。 41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20208 1 ≤≤≤≤+=y ,x ,)y x ()y ,x (f 。求)(X E 、)Y (E 、)Y ,X (Cov 。 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它 们都在（，）上服从均匀分布。 （1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为 43. (1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率。为 了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。 (2)一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为。 44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每 个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=- 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 第一章题库（附答案） 一、选择题 1、假设事件A,B,C ，下列哪个表达式不能表示“A ，B ，C 至少有一个发生的概率”。（ ） （A ）)(1C B A P -； （B ）)(C B A P ++； （C ）)()()(C P B P A P ++ （D ）) ()()()()()()(ABC P BC A P C B A P C AB P C B A P C B A P C B A P ++++++ 2、已知)()()(B P A P B A P +=+，则可以得出（） （A ）事件A 和B 互不相容； （B ）事件A 和B 互为对立事件； （C ）事件A 和B 相互独立； （D ）0)(=AB P 3、以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”，则对立事件A 为 ( ) .A “甲种产品畅销, 乙种产品畅销” .B “甲、乙产品均畅销” .C “甲种产品滞销” .D “甲产品滞销或乙种产品畅销”. 4、设,A B 为两事件, 且()0,P AB = 则 ( ) .A A 与B 互斥 .B AB 是不可能事件 .C AB 未必是不可能事件 .D ()0P A =或()0.P B = 5. 设A,B 为两个随机事件，则()P A B -=（ ） A. ()P A B. ()P B C. ()()P A P B - D. ()()P A P AB - 6. 设A,B 为随机事件，则()A B B -= ( ) A. A B. AB C. AB D. A B 7、设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（ ） A ．P(AB)=0 ． B.P(A ∪B)=P(A)+P(B) C ．P(AB)=P(A)P(B) D. P(B-A)=P(B) 8、设事件A ，B 相互独立，且P(A)=31 ，P(B)>0，则P(A|B)=( ) A ．151 B ．51 C ．154 D ．31 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. 第一章 随机事件与概率练习题 1.设 A 、B 、C 为三个事件，用 A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： （1）仅 A 发生； （2） A 与C 都发生，而 B 不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生； （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件. 解：（1） A BC ；（2） A BC ；（3） A BC 或 A ? B ?C ；（4） A ? B ?C 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ；（5） A ? B ?C 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ； （6） A B ? AC ? BC 或 A BC ? ABC ? ABC ? ABC ； （7） A BC ? ABC ? ABC ；（8） A BC ? ABC ? ABC . 随机事件的关系和运算 叫对偶律 1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ） A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2．设A ，B ，C 为随机事件，则事件“A ，B ，C 都不发生”可表示为( ) A ．错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。BC C ．ABC D.错误！未找到引用源。 3.设A 、B 、C 为三事件，则事件=C B A （ ） A.A C B B.A B C C.( A B )C D.( A B )C 4设A 、B 为任意两个事件，则有（ ） A.（A ∪B ）-B=A B.(A-B)∪B=A C.(A ∪B)-B ?A D.(A-B)∪B ?A 5. 设A 、B 为随机事件，且B A ?，则B A ?等于（ ） A.A B.B C.AB D.B A ? 2.古典概型 1.从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为 （ ） 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 1、有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 2、袋中装有8只红球,2只黑球,每次从中任取一球,不放回地连续取两次,求下列事件的概率. (1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球; (3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是红球. 3、某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 4、轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0. 5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1.求目标被命中的概率为多少? 5、加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%,假定各道工序的加工互不影响,求加工出零件的次品率是多少? 6、由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多， 取出一件后不影响下一件的概率）. 7、验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 8、计算机中心有三台打字机A,B,C，程序与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求程序打错的概率和该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？ 9、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式） 10、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 11、有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机 《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ； 第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，?表示不可能事件 1、() A B B A -= （ 否 ） 解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ??-=时 2、A BC ABC = （ 否 ） 解：ABC A B C = 3、() AB AB =? （ 是 ） 解：()()() AB AB AA BB A ==?=? 4、若,A C B C A B ==则 （ 否 ） 显然,A C C B C A B ==≠但 5、若,A B A AB ?=则 （ 是 ） 6、若,,AB C A BC =??=?则 （ 是 ） 7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。 （ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =? 互逆事件：A B A B =?=Ω且 二、填空题 1、一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 (){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 {}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= . 2、化简事件()()()A B A B A B =AB . 解： ()()()()()()()()()()()()()() ()() () A B A B A B A B A B A A B B A B AA BA AB BB A B BA AB A B BA AB A B BA A B A B B ??=?? ??=????=??=??==()()() () A A B A B BA AB ?? ???? ?? =?= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件： （1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ； （3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ； （5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 A B C ； （6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ； （7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ； （8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 AB AC BC ； （9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABC ABC ABC . 三、选择题 1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ） A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ） A 、ABC A = B 、A B C A = C 、BC A ? D 、A B C ? 解：ABC A A BC =??? A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间 1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； 2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球； 第一章 随机事件及其概率 1．填空题 （1）若，则 }9,6,4,2{ },8,4,2,1{==B A =∪B A ；=∩B A 。 （2）若是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为 D C B A ,,,； 四个事件恰好发生两个可表示为 。 （3）有三个人，每个都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中 恰有两人的概率是 ； （4）十件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率 是 。 2．选择题 （1）某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的 任意一个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（ ） （A ）126 （B ）1260 （C ）3024 （D ）5040 （2）若8.0)( ,9.0)(,,=∪=??C B P A P C A B A ，则=?)(BC A P （ ） （A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.8 （D ）0.7 （3）在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ） （A ）1/15 （B ）3/15 （C ）4/5 （D ）3/5 （4）若3.0)( ,4.0)( ,5.0)(=?==B A P B P A P ，则为（ ） )(B A P ∪（A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.5 3．化简下列各式 （1）； A B A ?∪)(（3）； ))((C B B A ∪∪（2）))((B A B A ∪∪； （4）))()((B A B A B A ∪∪∪ 4．指出下列各式成立的条件并说明条件的意义 （1）； A ABC =（3）A B B A =∪； （2）A B A =∪； （4）A C B A =∪∪； 概率第一章练习题 第一章 随机事件与概率练习题 1. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： （1）仅A 发生； （2）A 与 C 都发生，而B 不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生； （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件 ? 解：（1） ABC ；（ 2） ABC ；（ 3） ABC 或A B C ；（ 4） ABC 或 ABC ABJ ABC ABC 一ABC_ ABC ABC ；( 5) A B_ C 或 ABC ABJ ABC ABC 一ABC_ ABC AB (6) AB AC BC 或ABC ABC ABC "ABC ； (7) AB L AB C A BC ；( 8)ABC - AB 「AB C ~ - 1.某射手向一目标射击两次， A i 表示事件“第i 次射击命中目标” ，i=1, 2, B 表示事件"仅第一次 射击命中目标”，则B=（ ） 2 .设A , B , C 为随机事件，则事件 “A, B ， C 都不发生可表示为 （ ） A . B ?…B C C. ABC D.ABC 3?设A 、B 、C 为三事件，则事件 A BC ( ) A. A BC B. A B C C.( A B )C D.( A B ) C 4设A 、B 为任意两个事件，则有（ ) A. (A U B ) -B=A B.(A-B) U B=A C.(A U B)-B A D.(A-B) U B A 5.设A 、B 为随机事件，且A B ，贝U A B 等于（ ) A. A 1A 2 B. A , A 2 C. A 1A 2 D.人兀 A. A B. B C. AB D. A B 随机事件的关系和运算 -“ ■■- - - - 1 叫对偶律 2?古典概型 屮)= r “中包含的样+点敛） 7 （□申的撵本点恵数） I （卫中包含的基本事件数） ； （基本事件总数） 《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 { （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C中不多于两个发生。 ￥ （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P （AB）=1/8，求P（A B）。 解： （1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 . （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15, P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/6 0， P(A B C)=1- P（A∪B∪C）=3/20, P(A B C)=P（A B）- P(A B C)=7/60， P(A B∪C)=P（A B）+ P(C)- P(A B C)=4/15+1/5-7/60=7/20。 （3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。故P（A B） 习题一 1. 用以样本点为元素的集合的形式写出下列试验的样本空间及事件A ,B . 1) 投掷一颗骰子,记录出现的点数.A =“出现奇数点”. 2) 投掷一颗骰子两次,记录出现点数.A =“两次点数之和为10”,B =“第一次的点数比第二次的点数大2”. 3) 一个口袋中有5只编号分别为1,2,3,4,5的球,从中同时取出3只球,观察其结果.A =“球的最小号码为1”. 4) 将a ,b 两个球随机地放到甲,乙,丙三个盒子中去,观察放球情况.A =“甲盒中至少有一球”. 5) 记录在一段时间内通过某桥的汽车流量,A =“通过汽车不足5辆”,B =“通过的汽车不少于3辆”. 2. 设,,A B C 都是事件,试通过对,,,,,A B C A B C 中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件: 1) ,,A B C 中仅有A 发生. 2) ,,A B C 中至少有两个发生. 3) ,,A B C 中至多两个发生. 4) ,,A B C 中恰有两个发生. 5) ,,A B C 中至多有一个发生. 3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率: A =“三次都是红的”, B =“三次颜色全同”, C =“三次颜色全不同”, D =“三次颜色不全同”, E =“三次中无红”, F =“三次中无红或无黄”. 解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有3464=种可能，因此样本空间含有64个样本点。 每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，因此事件A 含有8个样本点。 3次抽球都抽到紅球共有328=种可能，3次抽球都抽到黄球共有311=种可能，3次抽球都抽到白球共有311=种可能，因此事件B 含有81110++=个样本点。 3种颜色的排列有3 33!6A ==种，对应于每一种排列，抽到的球有2112??=种可能， 因此事件C 含有6212?=个样本点。 《概率与数理统计》第一章复习题答案 一 选择题 1．某人向靶子射击三次，用i A 表示 “第i 次击中靶子”（1,2,3i =），那么事件321A A A ∪∪表示（ D ） (A) 三次都没击中； (B) 恰好有一次没击中； (C) 至少有一次击中； (D) 至多有两次击中. 2.设A 、B 是事件，且B A ?，则下式正确的是（ D ）. （A ）()()=P AB P B ； （B ）(|)()=P B A P B ； （C ）)()()(B P A P B A P +=∪； （D ）((≤P B P A . 3．事件A ，B 为对立事件，则（ B ）不成立. （A ）()0P AB =； （B ）()P B A =?； （C ）()1P A B =； （D ）()1P A B ∪=. 4．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ A ）. （A ）1/3； （B ）2/3； （C ）1/6； （D ）1/2. 二 填空题 1．袋中有6个红球，4个白球，从中任取2个，则恰好取到2个红球的概率是1/3. 2.设甲、乙二人独立地向同一目标各射击1次, 其命中率分别为4.0和5.0, 则目标被击中的概率是 ___0.7 . 3.设,.B P ,.B A P ,.A P 60)(20)(50)(=== 则=)(B/A P __0.8 . 4．设A ，B 为互不相容的随机事件，()0.3,()0.6P A P B ==，则=∪)(B A P 0.9 . 5．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 0.1 . 三 应用题 1.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率. 解：设1A 表示“取出的三个数中有偶数”， 2A 表示“取出的三个数中有5”， 则所求的概率为 )(1)(2121A A P A A P ?=)(121A A P ∪?= )]()()([12121P P P ?+?= ])9 4()98()95[(1333?+?= )214.0(729 156或= 2.甲，乙两个盒子里各装有10只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正品， 典型例题： 一．排列 1．特殊排列 相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨 例1．晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例2．4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例3．5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 2．重复排列和非重复排列（有序） 例4．5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 3．对立事件 例5．七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例6．15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例7．有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 4．顺序问题 例8．3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例9．3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例10．3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） 二．概率 1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大. 2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的 概率；(3)目标被命中的概率. 3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大. 1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含 !2!2!2!3个样本点。所以! 1348!13!2!2!2!3)(==A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-?个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为 89 17)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于 “从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点，于是 7799 )(A A P =。 1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概 概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案 概率论与数理统计 概率论的基础知识习题 ?、选择题 1、下列关系正确的是（） A、o B、{0} C、{0} D、{0} 答案：C 2、设P 2 2 (x,y)x y 1 ,Q (x,y) x1 2 3 y2 4，则（ ） A、P Q B、P Q C、P Q与P Q都不对 D、4P Q 答案：C 16个学生和一个老师并排照相，让老师在正 中间共有________ 排法。 答案：6! 720 25个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有种。答案：72 3编号为1, 2, 3, 4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中， 每一个盒至多可放一球，则不同的放法有种。答案：(6x5x4x3x2) = 720 4、设由十个数字0, 1, 2, 3, 9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是 答案：⑹个 5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有______________ 种不同的排法。 答案： /> =7! = 5040 6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定____ 个三角形。 答案：120 7、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有____________ 种分工方法？ 答案: 5! = 120 8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个 不同单位，每单位 1 人。则分配方法有_______ 种。 答案：(6 5 4 3) 360 9、平面上有12 个点，其中任意三点都不在一 条直线上，这些点可以确定_____________ 条不同的直线。 答案：66 10、编号为1，2，3，4，5 的 5 个小球，任意地放到编号为A， B ，C ， D ，E， F ，的六个小箱子中，每个箱子中可放0 至 5 个球，则不同的 放法有___________ 种。 答案：65 三、问答 1、集合A有三个元素即A {a,b,c},集合A的非空子 集共有多少个，并将它们逐个写出来。 答案：7个 {a},{ b},{ c},{ a,b},{ a,c},{ b,c},{ a,b,c} 2、设 A ， B ， C ， D 为任意集合，化简下式第一章概率论习题解答附件
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