高中数学联合竞赛竞赛二试B卷试题和参考答案

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

一、（本题满分40分）

设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：

2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-

二、（本题满分40分）

给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.

三、（本题满分50分）

如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

四、（本题满分50分）

设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合

{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

一、（本题满分40分）

设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：

2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-

证明：当1d ≥时，不等式显然成立

以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 因此2

22(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-

二、（本题满分40分）

给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.

证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=

三、（本题满分50分）

如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

证明：首先证明//YX BC ，即证

AX AY XC YB = 连接,BD CD ，因为ACQ

ACQ ABC ABC ABP ABP

S S S S S S ???????=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222

AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP

?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠， 于是1sin 21sin 2

ABQ ACP AB AQ BAQ S AB AQ S AC AP

AC AP CAP ???∠?==??∠ ③ 而1sin 21sin 2

BCQ BCP BC CQ BCQ S CQ S BP

BC BP CBP ???∠==?∠ ④ 由②，③，④得 ABQ

CBQ ACP BCP S S S S ????=， 即ABQ

ACP CBQ BCP

S S S S ????=

又

ABQ CBQ S AX S XC ??=，ACP BCP S AY S YB ??= 故AX AY XC YB

= 设边BC 的中点为M ，因为

1AX CM BY XC MB YA ??=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY

四、（本题满分50分）

设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值. 解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b L L 对1,2,,5k =L ，设120,,a a L 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ?，因此至少有521k t k C =∑个(,)i j 不在X 中，注意到51

20k k t ==∑，则柯西不等式，我们有5

555522211111111120()(())20(1)3022525k

t k k k k k k k k k C t t t t ======?-≥?-=??-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-= 另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =L ），6i i b a =-（1,2,,20i =L ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有

2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤ 等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=

综上所述，X 的元素个数的最大值为160.