九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
九年级上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；
(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.
2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2
y x
=
在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．
（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，
T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范
围，
（3）已知直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??
??+-+?
+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．
3．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.
（1）求证：BE=FD ；
（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；
①求证：22?AB CD BC BD +=；②若2?12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 4．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 5．如图，等边ABC 内接于
O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接
AP 、BP ，过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M ．
（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；
（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度．
6．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于
O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
（1）求证：AB CD =； （2）若
O 的半径为8，弧BD 的度数为120?，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．
7．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ?=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点
D ，使CD CF =，点
E 是射线B
F 与射线DA 的交点．
（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；
②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．
8．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 关于线段AB 的视角． 如图2，点Q 在直线l 上运动，当点Q 关于线段AB 的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l 关于线段AB 的“视角”．
（1）如图3，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，2），点C 坐标为（﹣2，2），点C 关于线段AB 的视角为 度，x 轴关于线段AB 的视角为 度；
（2）如图4，点M 是在x 轴上，坐标为（2，0），过点M 作线段EF ⊥x 轴，且EM ＝MF ＝1，当直线y ＝kx （k ≠0）关于线段EF 的视角为90°，求k 的值；
（3）如图5，在平面直角坐标系中，P 3，2），Q 3，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的夹角为60°，且关于线段PQ 的视角为45°，求这条直线的解析式． 9．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；
②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；
（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝
4
x
（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．
11．如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角为90°，点B 是上一动点，BA ⊥OM 于点A ，
BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ． （1）当点B 移动到使AB ：OA=
：3时，求
的长；
（2）当点B 移动到使四边形EPGQ 为矩形时，求AM 的长． （3）连接PQ ，试说明3PQ 2+OA 2是定值．
12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，
DE
DC
等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE
DC
的值； （3）如图③，若DE CF =，求
DE
DC
的值.
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一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是3
2
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90?得证. 【详解】
解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴?在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ?中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（1）22+；（2）63103t ≤≤-或103165-≤≤-3）
32
5m ≤-
或0m ≥ 【解析】 【分析】 （1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；
（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；
（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可． 【详解】
解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线
1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，
∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ， ∴2
x b x
-+=
，即220x bx -+=，只有一个解， ∴24120b ?=-??=，解得2b =
∴22y
x =-+，
联立222
y x y x ?=-+??=??
，解得22x y ?=??=??，即(
)
2,2P ，
∴2PM OM ==
，且点P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ，
∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2， ∵直线1l ：2y x =--，
∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-， ∴A(－2，0)，B(0，－2)， ∴OA=OB=2， 又∵OQ 平分∠AOB ， ∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，
∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离， ∵OA=OB ，
∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=?， ∴AQ=OQ ，
∴在Rt AOQ 中，OA=2，则OQ=2，
∴22PQ OP OQ =+=+，即()1,22min D H l =+；
（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，
则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=?，则3
FT =， ∴610FT ≤≤， 又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤，
解得63103t ≤≤103165-≤≤-； （3）∵直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??
??+-+?+，
∴把点P 代入得：
211121
1184184k k a b c a b c k k --??+-+=++ ?
--??
， 整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，
∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++??--+-=---?，化简得22480
1a b c c +-+=??=?
，
∴1
82
b a =-+，
又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：1
82
y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，
∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，
∴点E 一定在直线28y x =+上运动，
情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +， ∴(),28m m F ---，
把点F 代入182y x =-
+得：18282m m +=--，解得：325
m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，
∴点E 要沿直线向下运动，即325
m ≤-
；
情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，
把点E 代入182y x =-
+得：1
8282
m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，
综上所述，
32
5
m≤-或0
m≥．
【点睛】
本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．3．（1）见详解；（2）125；（3）①见详解，②32-6
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；
（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=1
2?BD?AM+
1 2?BD?CM=
1
2
?BD?AC即可求解；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；
（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．
∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
连接OB．设OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，∴a2+（3a）2=（25）2，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BD=BE+EF+DF=6a=62，
在Rt△AOC中，AC=2AO=210，
∴S四边形ABCD=1
2
?BD?AM+
1
2
?BD?CM=
1
2
?BD?AC=
1
2
×210×62=125；
（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．
∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=1
2
∠EOF=
1
2
（∠EAC+∠ACO）=
1
2
×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∴AC⊥BD，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴2BM，2DM，CM=DM，
∴AB?CD+BC2DM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；
②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，
∵∠BOC=2∠BDC=90°，
∴，
∵AB?CD+BC2=BD2，AB?CD=AO2=12，
∴12+24=BD2，
∴BD=6（负根已经舍弃），
在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴（）2=（6-x）2+x2，
∴或
∴．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
4．（1）4；（2）t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
【解析】
试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；
（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4时，四边形APQD为矩形
（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，
⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=20
3
（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，
解得t=28
3
（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要
20s，而28
3
＜11，
∴当t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．
5．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（3
4
【解析】
【分析】
（1）由△ABC是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知
∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS证得两三角形全等即可；
（3）根据CM∥BP说明四边形PBCM是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，利用勾股定理求出AB的长，在△ABC中，利用等边三角形的性质求出BN，在△BON中利用勾股定理求出OB，最后根据弧长公式求出弧AB的长.
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵=
BC BC，=
AC AC，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
M BPC
MAC PBC
AC BC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM 为梯形， 作PH ⊥CM 于H ， ∵△ACM ≌△BCP ， ∴CM=CP ，AM=BP ， 又∠M=60°，
∴△PCM 为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt △PMH 中，∠MPH=30°， ∴PH=
33
， ∴S 四边形PBCM =
12（PB+CM ）×PH=12(2+3)×332=153
4
；
（4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ， ∵∠APC=∠BPC=60°， ∴∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴PQ=
1
2
PB=1， ∴在△BPQ 中，2221=3- ∴在△AQB 中，()()2
2
2
2
=113=
7AQ BQ +++
∵△ABC 为等边三角形， ∴AN 经过圆心O ， ∴BN=
127， ∴2221
2
AB BN -， 在△BON 中，设BO=x ，则ON=
21
2
x -， ∴2
2
2
721=22x x ???+- ? ?
????
，
解得：
x=21
，
∵∠BOA＝2∠BCA＝120°，
∴AB=
21
120221
3=
180
ππ
?
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．
6．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC 、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到
∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BD，
∴AC BD
=，
则AB DC，
∴AB=CD；
（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则3
3
∴
BD=83， 则四边形ABCD 的面积=
1
2
×AC×BD=96；
（3）AD=2OM ，
连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，如图2， ∵OE ⊥AD ， ∴AE=DE ， ∵∠BOC=2∠BAC ， 而∠BOC=2∠BOM ， ∴∠BOM=∠BAC ， 同理可得∠AOE=∠ABD ， ∵BD ⊥AC ， ∴∠BAC+∠ABD=90°， ∴∠BOM+∠AOE=90°， ∵∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OBM=∠AOE ， 在△BOM 和△OAE 中，
OMB OEA OBM OAE OB OA ∠=∠??
∠
=∠??=?
， ∴△BOM ≌△OAE （AAS ）， ∴OM=AE ， ∴AD=2OM ．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键． 7．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）①证明△ACD≌△BCF，得到∠CAD=∠CBF即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可；
②根据已知条件画图即可；
（2）取AB的中点M，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A，B，C，E四点在同一个圆M上，再利用圆周角定理即可证明．
【详解】
解：（1）①∵,90
AC BC ACB?
=∠=，CD CF
=
∴在△ACD与△BCF中，
AC BC
ACD ACB
CD CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴∠CAD=∠CBF
又∵∠AFE=∠BFC
∴∠AEF=∠BCF=90°，
∴BE⊥AD
②图如下所示：
猜想∠BEC=45°，
（2）选择图1证明，
连接CE，取AB的中点M，连接MC，ME
∵△ABC和△ABE都是直角三角形
∴
1
2
MC ME AB AM BM
====，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆M上，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
∴∠BEC=45°
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．
8．（1）45，45；（2）k＝
3
；（3）y＝3x+3﹣2
【解析】
【分析】
（1）如图3，连接AC，则∠ABC=45°；设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，
∠AOB=45°，该视角最大，即可求解；
（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，当圆与直线y=kx相切时，直线y=kx （k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF=90°，则MQ⊥直线OE，OQ=1，OM=2，故直线的倾斜角为30°，即可求解；
（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，
RQ=RP=1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ=2RQ=2，故点Q′（3-1，1），即可求解．
【详解】
（1）如图3，连接AC，则∠ABC＝45°；
设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，∠AOB＝45°，该视角最大，
由此可见：当△ABC为等腰三角形时，视角最大；
故答案为：45，45；
（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，
当圆与直线y＝kx相切时，直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF＝90°，
则MQ⊥直线OE，MQ＝1，OM＝2，故直线的倾斜角为30°，故k＝
3
3±；
（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，RQ＝RP＝1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，
由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ＝2RQ＝2，故点Q′31，1），
直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，则直线的表达式为：y3，
将点Q′的坐标代入上式并解得：
直线的表达式为：y332
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序求解，一般比较容易．
9．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222或222
x
<<
【解析】
【分析】
()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
()2通过画图分析可得，当190
∠=时，符合()1中条件的点C有2个，当160
∠=时，符合()1中条件的点C有2个；
()3分三种情形讨论求解即可．
【详解】
解：()1如图1中，点1C，2C，3C，4C即为所求．
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
初三九年级上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
初三九年级上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）一、压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l： 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C， 且与直线2l： 1 2 y x =交于点A. （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且COD △的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”． （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）； （3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．3．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4． （1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相
切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由． 4．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1/ cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/ cm s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2 26cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形． （1）求证△AEF∽△BCE； （2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围； （3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于 点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3 4 ，CF=8 3 ． （1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．
初三数学圆的专项培优练习题含答案
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 九年级上册数学 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ） A ．2 B ．3 C ． 218 D ． 247 2．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． 45 4．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐 C ．乙队身高更整齐 D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐 5．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ） A ．3.6 B ．4.8 C ．5 D ．5.2 6．二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点 的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2 200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13 a > .其中正确的有（ ） A ．②③⑤ B ．②③ C ．②④ D ．①④⑤ 7．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=?，8BC = ，则⊙O 半径为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 8．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ） A ．1：2 B ．1：2 C ．1：3 D ．1：4 9．如图， O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则 CD 的长为( ) A ．62 B ．32 C ．6 D ．12 10．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．3π+ B ．3π C ．23π- D ．223π-11．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） 2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题) 5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1 九年级数学培优提高试卷一 一、选择题 1、Rt△ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，则cos A =（ ） A 、 45 B 、 34 C 、 35 D 、 43 2、下列各组数中，成比例的是（ ） A 、-6，-8，3，4 B 、-7，-5，14，5 C 、3，5，9，12 D 、2，3，6，12 3、下列结论正确的是 （ ） A 、所有直角三角形都相似； B 、所有边长相等的菱形都相似； C 、同弧所对的圆周角相等； D 、当2 40b ac -=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴只有一个交点. 4、已知反比例函数)0(<= k x k y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <， 则21y y -的值 ( ) A 、小于0 B 、等于0 C 、大于0 D 、不能确定 5、如图，以平行四边形ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点 C ，且∠AOC =80°，则∠BA D 等于（ ） A 、160° B 、145° C 、140° D 、135° 6、一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（ ） A 、20o B 、40o C 、100o D 、120o 7、将24y x =的图象先向左平移 12个单位，再向下平移3 4 个单位，则所得图象的函数解析式是（ ） A 、2134()24y x =++ B 、 2134()24y x =-- C 、 213(4)24y x =+- D 、 213 4()24 y x =+- D A B P 第8题 8、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件能保证△ACP∽△ABC的有（） ①∠ACP=∠B②∠APC=∠ACB③ AC AP AB AC =④ AB AC BC PC = A、①② B、①②③④ C、①②④ D、①②③ 9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F 在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形， 则AE的长是（） A．2 B．3 C．5 D．6 10．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交 PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB 的值是（） A．B．C．D． 二、填空题 11、在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半 径OA= . 12、根据下面物体的三视图，填出该几何体的名称：__ __． 13、如图，已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为 直线x=-1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3) 是直线l上的点，且-1 数学九年级上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π B ．290cm π C ．2130cm π D ．2155cm π 2．一元二次方程x 2＝9的根是（ ） A ．3 B ．±3 C ．9 D ．±9 3．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ） A ．3 B ．33 C ．6 D ．9 4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6 B ．这组数据的中位数是1 C ．这组数据的众数是6 D ．这组数据的方差是10.2 5．将二次函数2 2y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2 241y x =-- B ．()2 241y x =+- C ．()2241y x =-+ D ．()2 241y x =++ 6．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2 B ．y ＝（x ﹣3）2+2 C ．y ＝（x +2）2+3 D ．y ＝（x ﹣2）2+3 9．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似 D ．所有矩形都相似 10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ） 2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷 一、选择题: 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（） A．150°B．120°C．100°D．130° 3.如图，A．B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（） A．40°B．45°C．50°D．55° 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5.如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（） A．28°B．56°C．30°D．41° 6.如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB等于（） A．35°B．40°C．60°D．70° 7.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是( ) A．122°B．128°C．132°D．138° 8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合, ∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是（） A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140° 9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是（） 九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P 5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E 一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________． 1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1 2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2 3- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 3 4- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 4 5- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 5 九年级数学上册全册期末复习试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．43 B ．42 C ．6 D ．4 2．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ） A ．3 B ．31+ C ．31- D ．23 3．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D ．圆的对称中心是它的圆心 4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这 组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 5．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x = 6．在六张卡片上分别写有 1 3 ，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56 7．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ） A ．∠AED=∠ B B ．∠ADE=∠ C C ． AD DE AB BC = D ． AD AE AC AB = 8．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（） A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大 9．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若 70 ADB? ∠=，则ABC ∠的度数是（） A．20?B．70?C．30?D．90? 11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 13．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（） A．（20 3 ，10 3 ）B．（16 3 ，45 3 ）C．（20 3 ，45 3 ）D．（16 3 ，3 14．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134… 1. 3. 4. 5. 6. 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1. ISI 在同一平面内与已知点O的距离尊于3cm的所有点组成的图形是 下列说法正磽的是（h 2直径是弦*弦星直径B过圜心的线段是直控 U圆中最长的弦是立轻 D.直径只有一条 下列说法：①半国是弧宇②飙是半圆*③鬭中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有（ A, 0 R 1 D. 3 如图，点C在以AR直径的半圆上，O为画心，ZA = 20\则ZBOC#于（）. A. 20* & 30°U 40" D. 50" 如图，AB是?O的宜否，点GD在0O上，AD//OC,则NAOD的度数为《 A. 70p a 60n C 50* D. 40* 如图，在△ABC中，AB为00的直径,ZB-60% ZC-70fl,则ZBOD的度数是（ 2 80* B L90* C?100a D?120° 如图， 8 ) . &如图, 求证: 第4题图 已知OA、OH是00的两条半径* G D分别为OA.OB上一点, AD=Ha 9.如匪L已知同心岡O*大凰的半径AO、BO分别交小圆于C、D,求证* 10.如图，已知AB为30的直径，C为圆周上一点，求证x ZACB = 90*. 在?0中，为GO 的弦* UD 是直线AE 上两点，AC=BD,求i￡ r OC=OR 14. 期图，AABC 和厶AMD 都为直角△, KZC-ZD=90\求证s A. B. C. D 四点在同一个圆上. D — 心如图，点P 为GO 外一点*卩0及延长线分别交（30于A 、爲 过点P 作一直线交?0于51、N （异于 去B ）. 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 同孙3整 严? TT jftWF 徑= 1L 如图， AB. AC 是0O 的两条弦，且= 求证? AO±BC. B 12.如图, 13.如图， 求ZDOE 的度8L CD 是?O 的直径* A 为DC 延长线上一点，AE 交?0 + B t 连OE, ZA-20D , AB^OC, \B f 九年级数学上册培优训练试题 以下是为您推荐的九年级数学上册培优训练试题，希望本篇文章对您学习有所帮助。 九年级数学上册培优训练试题 一、二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数 0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式中,是最简二次根式的有 ____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 下列根式中与是同类二次根式的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 二、二次根式的性质 1. 非负性：二次根式中被开方数 0，且 0. 2. ( 0). 3. . 三、二次根式的运算 1. 乘法公式: ( 0). 2. 积的算术平方根: ( 0). 3. 除法公式: ( 0, ﹥0). 4. 商的算术平方根: ( 0, ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将合并. 四、典例研习 【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义? 【变式探究】 1. 在实数范围内有意义,则的取值范围是 . 2.使式子无意义的的取值是 . 3.使式子有意义的x的取值范围是 . 4.能使式子有意义的的取值范围是 . 5.若 ,则的值为______________. 6. ,则的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【例2】若 1,化简等于 ( ) (A) (B) (C) (D) 【变式探究】 7.计算: . 一元二次方程㈠ ★知识点精讲 1.一元二次方程的概念 ⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程. ⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法：针对() ()02 ≥=+an n a m x ⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2 ≥=+n n m x a 注： ① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式； ②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值. ⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注： ⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程. 典型例题讲解及思维拓展 ●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = . ⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = . 拓展变式练习1 1.关于x 的方程03)3(7 2 =+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________. 2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 . 初三数学圆的专项培优练习题含答案 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F 作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 ＝38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 人教版九年级数学上册期末培优检测卷 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是() 2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是() A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝0 3．(2018·北部湾)从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是( ) A.2 3B. 1 2C. 1 3D. 1 4 4．在矩形ABCD中，AB＝16，按如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合)，则此圆锥的底面圆的半径为（） A ．4 B ．16 C ．4 2 D ．8 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的根，则?ABCD 的周长为（ ） A ．4＋2 2 B ．12＋6 2 C ．2＋2 2 D ．2＋2或12＋6 2 6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA ＝65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为( ) A ．15° B ．25° C ．35° D ．45° 7．已知平面直角坐标系中的三个点O (0，0)，A (－1，1)，B (－1，0)，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转45°，则点A 的对应点A 1的坐标为（ ） A ．(2，0) B.? ????22，0 C.? ????0，22 D ．(0，2) 人教版数学九年级上册圆几何综合（培优篇）（Word版含解 析） 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)， ()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)， (1)求的值； (2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交； (3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣ 2． 【解析】 试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可； （2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可； （3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过 （0，0）和（，）两点， ∴抛物线的一般式为：y=ax2， ∴=a（）2， 解得：a=±， ∵图象开口向上，∴a=， ∴抛物线解析式为：y=x2， 故a=，b=c=0； （2）设P（x，y），⊙P的半径r=， 又∵y=x2，则r=， 化简得：r=＞x2， ∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设P（a，a2），∵PA=， 作PH⊥MN于H，则PM=PN=， 又∵PH=a2， 则MH=NH==2， 故MN=4， ∴M（a﹣2，0），N（a+2，0）， 又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=， 解得：a=0， 当AM=MN时，=4， 解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2； 当AN=MN时，=4， 解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2； 综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2． 九年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=?，则ABD ∠= （ ） A ．72? B ．56? C ．62? D ．52? 2．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．80° 3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． 45 4．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ） A ．BM ＞DN B ．BM ＜DN C ．BM=DN D ．无法确定 5．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．4 6．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ） A ．65° B ．50° C ．30° D ．25° 7．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．． 的是( ) A ．1 2 DE BC = B ． AD AE AB AC = C ．△ADE ∽△ABC D ．:1:2ADE ABC S S = 8．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜1 9．抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x+1)2+3 B ．y ＝(x+1)2﹣3 C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3 D ．y ＝(x ﹣1)2+3 10．方程2x x =的解是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=0或x=1 D ．x=0或x=-1 11．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ．16 12．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦 CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ 的外心；④AP AD ?CQ CB =?．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④九年级上册数学 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
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