方程与不等式之分式方程分类汇编及解析
方程与不等式之分式方程分类汇编及解析
2
，解的情况是（
x 2
1
【分析】 观察式子确定最简公分母为（x+1）（ x - 1）,再进一步求解可得. 【详解】 方程两边同乘以（x+1）（ x - 1），得: x （x+1）-（ x 2
- 1） =
2 ,
解方程得：x =- 1,
检验：把x =- 1代入x+1 = 0, 所以x =- 1不是方程的解. 故选：D .
【点睛】 此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键
x 的方程一丄+—匚=1解为正数，则 m 的范围为（ ）
x 1 1 x
【解析】 【分析】
方程两边同乘以
解得m 2且m3 故选：B. 【点睛】
此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题
1 X
1 3.解分式方程 ----------
2 ------- 的结果是（）
x 2
2 x
、选择题
A . x = 1 【答案】D 【解析】
B . x = 2
C. x =- 1
D .无解
A . x="2"
B . x="3"
C. x="4"
D .无解
x
1.分式方程 --------
x 1
2.关于 A . m
【答
3 B . m 2 B m 3 C. m<2且m 3 D . m>2
首先解分式方程, 【详解】
然后令其大于
0即可，注意还有x 1.
【解析】 【分析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数 即可. 【详解】
不等式组整理得: 由不等式组有解且都是 即-2 V a < 4 即卩 a=-1,
0, 1, 2, 3, 4,
a
2 分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y=E ■二
2
由分式方程有整数解，得到 a=0, 2，共2个,
故选：D .
【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算 法则是解本题的关键.
1 a 1
5 ?如果关于x 的分式方程——2——有整数解，且关于x 的不等式组 x 2 2 x
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1 - X+2X - 4= - 1, 解得：x=2, 经检验x=2是增根，分式方程无解. 故选D . 考点：解分式方程. 3 4 ?若数a 使关于x 的不等式组 2 a 2 x 1
有解且所有解都是
2x+6> 0的解，且
y 5 a
使关于 y 的分式方程 -------- +3= ----
1 y y 1
有整数解，则满足条件的所有整数 a 的个数是
A . 5 【答案】D
B . 4 C. 3 D .
a 的值
2x+6> 0，即卩 x > -3 的解，得到-3V a-1 <3,
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个 整数解，确定出a 的值， 【详解】
即a 2 , a 为偶数,
x
不等式组整理得：
由不等式组只有四个整数解，得到
x=-3, -2, -1, 0,
a
可得 Ov — wi 即 ov a<4 即 a=1, 2, 3, 4,
4
a =4
,
4,
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题 的关键.
=1有非负整数解的概率是
4x 3(x 1) 2x 1 x -----
2
1(a
1）有且只有四个整数解
，
那么符合条件的所有整数
a
的和是（）
A . 4 【答案】A 【解析】
【分析】
B . -2
C. -3 D . 2
求出之和即可.
解：分式方程去分母得: 1-a+2x-4=-1,
解得：x
2
厂2 , a
为偶数,
经检验 则和为
故选： 【点睛】
A .
6.从-4,- 3,- 2, - 1 ,
0,
3, 4, 5这九个数中，随机抽取一个数，记为
a ，则数
2x
a 使关于x
的不等式组2x
4a 1
至少有四个整数解，且关于 x 的分式方程
【答案】 【解析】 【分析】
2 A . 9
1
B.-
3
4
C.-
9 5
D.-
9
先解出不等式组，找出满足条件的
a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的
值，然后利用同时满足不等式和分式方程的 a 的个数除以总数即可求出概率.
【详解】
x a
解不等式组得：
x 7
由不等式组至少有四个整数解，得到
aA 3,
? a 的值可能为：-3, - 2, - 1, 0, 1, 3, 4, 5 , 分式方程去分母得：-a -x+2= x - 3 , 解得：x = 5_a ,
2
???分式方程有非负整数解,
a = 5、3、1、- 3,
则这9个数中所有满足条件的 a 的值有4个,
??? P = 4
9 故选：C.
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组, 公式是解题
的关键.
【分析】
??? x=2+m
???分式方程
--x-3=0, ??? x= 3, ?? 2+m=3 , 所以m=1, 故选：B .
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程
分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率 X 2
7.若关于x 的分式方程——
x 3
代有增根，则m 的值是（）
A .
1
【答案】B
【解析】 B . 1
C. 2 D . 3
根据分式方程的增根的定义得出 【详解】 x-3=0,再进行判断即可.
去分母得:
x-2=m ,
x-3=0是解此题
6
【分析】 ???△ =4(a - 4)2
- 4a 2
? 0, 解得a? 2
???满足条件的a 的值为-4,
y a 方程一3
y 1
解得y=a +2
2
??? y 有整数解 ??? a=-4, 0, 2,
综上所述，满足条件的 a 的值为-4, 0, 2,
符合条件的a 的值的和是-2 故选：C 【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方 程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0的未知数的值，这个
值叫分式方程的解.
的关键，题目比较典型, 难度不大.
2, 1, 0, 1 , 2, 4, 6这八个数中，随机抽一个数, 2 2
于x 的一元二次方程 x 2 a 4 x a 记为 a .若数a 使关
0有实数解.且关于 y 的分式方程
—有整数解, y 则符合条件的 a 的值的和是（） A . 6
【答
案】
【解析】
B . C. 2 D . 2
由一元二次方程
x 2
2 a
2
a 0有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程
口 3
y 1
【详解】 —有整数解,
y
a 的值即可判断.
方程x
2
2
4 x a 2
0有实数解,
-2,-1, 0, 1, 2
1 r~y
9.某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（）
4 x A. -- 1
x 1 x 6
4 x
B.——----
x 1 x 6
初中数学方程与不等式之分式方程知识点
初中数学方程与不等式之分式方程知识点 一、选择题 1．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（） A．180180 3 2 x x -= + B． 180180 3 2 x x -= + C．180180 3 2 x x -= - D． 180180 3 2 x x -= - 【答案】D 【解析】 【分析】 先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】 解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：180180 3 2 x x -= - . 故选：D. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数. 2．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是() A． 4 1 16 x x x += +- B． 4 16 x x x = -+ C． 4 1 16 x x x += -- D． 4 1 16 x x x += -+ 【答案】D 【解析】【分析】 首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的 1 1 x- ，而乙每天完成总工程 的 1 6 x+ ，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】 ∵工程期限为x天，
∴甲每天完成总工程的 11x -，乙每天完成总工程的16 x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116 x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键. 3．关于x 的方程 m 3+=1x 11x --解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠ C ．m<2m 3≠且 D ．m>2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】 方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴210x m x =-??-≠? 解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】 此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题. 4．解分式方程11 222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3" C ．x="4" D ．无解 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ． 考点：解分式方程．
(易错题精选)初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案
（易错题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案 一、选择题 1．已知关于x 的分式方程 213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m >- D ．3m ≥- 【答案】A 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】 213 x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得 23x m x -=-， 移项及合并同类项，得 3x m =-， Q 分式方程213 x m x -=-的解是非正数，30x -≠， 30(3)30m m -≤?∴?--≠? ， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】 此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值 2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ） A ．60045025x x =- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025 x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得：现在每天生产（x+25）个，
∴60045025x x =+， 故选：C. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键. 3．方程 24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 去分母得：2x=（x ﹣2）2+4， 分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4， 经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．若 x=3 是分式方程 2102a x x --=- 的根，则 a 的值是 A ．5 B ．-5 C ．3 D ．-3 【答案】A 【解析】 把x=3代入原分式方程得， 210332 a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A. 5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ?-= B ． 800800402.25x x -= C ． 800800401.25x x -= D ．800800401.25x x -= 【答案】C
方程与不等式之分式方程解析
方程与不等式之分式方程解析 一、选择题 1．方程1235 x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x = C ．3x =- D ．1x = 【答案】D 【解析】 【分析】 方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】 方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1， 经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根. 2．方程 10020x +＝60 20x -的解为（ ） A ．x ＝10 B ．x ＝﹣10 C ．x ＝5 D ．x ＝﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ），解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根． 【详解】 解：方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ）， 得100（20﹣x ）＝60（20+x ）， 整理，得8x ＝40， 解得，x ＝5， 经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5； 故选：C ． 【点睛】 本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键． 3．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量
增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．30007200 4030 x x -=+ B ．72003000 4030x x -=+ C ． 72003000 4030x x -=+ D ． 30007200 4030x x -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】 设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得： 72003000 4030x x -=+ 故选：C 【点睛】 本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量． 4．方程221 11 x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝ 12 B ．x ＝ 15 C ．x ＝ 14 D ．x ＝ 14 【答案】B 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1， 解得：x ＝ 15 ， 经检验x ＝1 5 是分式方程的解， 故选B ． 【点睛】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
不等式组与分式方程代数综合训练
《不等式组与分式方程代数》综合训练 一．选择题（共17小题） 1．若关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（） A．12 B．14 C．21 D．33 2．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程＝﹣1有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（） A．2 B．3 C．5 D．6 3．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 4．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 5．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 6．若数a使得关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．若数a使关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分
式方程﹣＝2有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 8．要使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝2的解为非正数的所有整数a的和是（） A．10 B．9 C．8 D．5 9．若数k使关于x的不等式组只有4个整数解，且使关于y的分式方程+1＝的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（） A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣6 10．如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于x的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 11．若关于x的不等式组，有且只有三个整数解，且关于x的分式方程﹣＝﹣1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．15 12．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2＝有正数解，则满足条件的整数k的和为（） A．5 B．6 C．7 D．8 13．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程＝3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0
方程与不等式之分式方程全集汇编及解析
方程与不等式之分式方程全集汇编及解析 一、选择题 1．已知关于x 的分式方程22124 x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8 C ．-8或-4 D ．0或-8或-4 【答案】D 【解析】 【分析】 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】 解：分式方程去分母得：（x?2）2?mx ＝（x ＋2）（x?2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝?4时整式方程无解； 当x ＝?2时原方程分母为0，此时m ＝?8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容． 2．若数a 使关于x 的分式方程 2311a x x x --=--有正数解，且使关于y 的不等式组211 42 y a y y a ->-?? ?+??…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】 解方程 2 311a x x x --=--，得： 12 a x +=， ∵分式方程的解为正数，
∴1a +>0，即a>-1， 又1x ≠， ∴ 1 2 a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1， ∵关于y 的不等式组21142 y a y y a ->-?? ?+??…有解， ∴a-1 不等式分式与分式方程 【考纲说明】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【趣味链接】 【知识梳理】 一．不等式部分 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种：“≠”、“＞” 、“＜” 、“≥”、“≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a c ＞ b c ）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或a c ＜ b c ）． 方程与不等式之分式方程基础测试题 一、选择题 1．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是() A．1010 15 2 x x -=B． 1010 15 2x x -=C． 10101 24 x x -=D． 10101 24 x x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15 =分钟”列出方程即可得． 【详解】 设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时， ∴所列方程正确的是：10101 24 x x -=， 故选：C． 【点睛】 此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键． 2．已知关于x的分式方程12 1 11 m x x - -= -- 的解是正数，则m的取值范围是() A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6 【答案】A 【解析】 【详解】 方程两边同时乘以x-1得， 1-m-（x-1）+2=0， 解得x=4-m． ∵x为正数， ∴4-m＞0，解得m＜4． ∵x≠1， ∴4-m≠1，即m≠3． ∴m的取值范围是m＜4且m≠3． 故选A． 3．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（） 方程与不等式之分式方程全集汇编附答案 一、选择题 1．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ） A ． ()006060-30x 125x =+ B ． () 6060 -30125%x x =+ C ．()60125%60 -30x x ?+= D ． ()60125%60-30x x ?+= 【答案】A 【解析】 【分析】 根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可 列出方程． 【详解】 解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得： ()006060 30125x x -=+， 故答案为：A ． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 2．下列说法中正确的是（ ） A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形 B ．9的平方根为3 C ．抛物线21 (1)32 y x =- ++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程1 21 m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确； B 、9的平方根是±3，该选项错误； C 、抛物线21 (1)32 y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程 121 m x -=-去分母得：1 2m x +=， ∵关于x 的分式方程的解为非负数， ∴ 102m +≥且1 12 m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件． 3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ） A ． 600450 25x x =- B ． 600450 25 x x =- C ． 600450 25x x =+ D ． 600450 25 x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴ 600450 25x x =+， 故选：C. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键. 4．如果关于x 的分式方程 11 222a x x -+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211 (1)22x x x x a ≥-? ? ?-+<-?? 有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2 C ．-3 D ．2 【答案】A 方程与不等式之分式方程知识点复习 一、选择题 1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（） A．10 x - 10 2x =20 B． 10 2x - 10 x =20 C． 10 x - 10 2x = 1 3 D． 10 2x - 10 x = 1 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】 由题意可得， 10 x - 10 2x = 1 3 ， 故选：C． 【点睛】 此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 2．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( ) A．24002400 8 (120%) x x -= + B． 24002400 8 (120%)x x -= + C． 24002400 8 (120%)x x -= - D． 24002400 8 (120%) x x -= - 【答案】A 【解析】 【分析】 求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】 原计划用的时间为：2400 x ，实际用的时间为：() 2400 120% x+．所列方程为： 方程与不等式之分式方程真题汇编附答案 一、选择题 1．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ． 120012002(120%)x x -=+ B ．120012002(120%)x x -=- C ．120012002(120%)x x -=+ D ．120012002(120%)x x -=- 【答案】A 【解析】 设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ， 由题意得,() 12001200 2120%x x -=+. 故选A. 2．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数 a 使关于x 的不等式组()1242122123x a x x ?--≤???-?<+?? 至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233 a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59 【答案】C 【解析】 【分析】 先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】 解不等式组得：7x a x ≤??>-? ， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝52 a - ， ∵分式方程有非负整数解， 分式方程和不等式 知识点一：分式方程及其运用 1分式方程.分母中含有未知数的方程 叫做分式方程. 2?解分式方程的一般步骤： (1)去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去? 3?分式方程的增根问题： (1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根一一增根； (2 )验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根. 4?分式方程的应用： 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住 “找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解?另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性. 5?易错知识辨析： (1)去分母时，不要漏乘没有分母的项? (2)解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母，使最简公分母为0 的值是原分式方程的增根，应舍去，也可直接代入原方程验根? =0 1 典例 2、甲、乙二人同时从 A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快 2千米，结果比乙 先到半小时，若设乙的速度为 x 千米/小时，则可列出的方程为 4x x 2 ---- = ------ r ---- X 2 _4 x 2 x -2 1、 解方程: x -1 2 4 2 x 1 x - 1 变式练习 1、解方程 =2 x 2 — 4x x 2 -1 2x x 1 分式方程和不等式的应用 1、（2013?眉山）2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天． ①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？ ②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？ 2、（2013哈尔滨）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用l0天。且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天? 、 (2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度。甲队的工作效率提高到原来的2倍。要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天? 3、（2013?绥化）为了迎接“十?一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 4、（2013?德州）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3． （1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？ 5、（2013?新疆）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？ 方程与不等式之分式方程真题汇编含答案 一、选择题 1．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是() A．1010 15 2 x x -=B． 1010 15 2x x -=C． 10101 24 x x -=D． 10101 24 x x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15 =分钟”列出方程即可得． 【详解】 设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时， ∴所列方程正确的是：10101 24 x x -=， 故选：C． 【点睛】 此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．2．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( ) A．24002400 8 (120%) x x -= + B． 24002400 8 (120%)x x -= + C． 24002400 8 (120%)x x -= - D． 24002400 8 (120%) x x -= - 【答案】A 【解析】 【分析】 求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】 原计划用的时间为：2400 x ，实际用的时间为：() 2400 120% x+．所列方程为： 2400 x -() 2400 120% x+=8． 故选A 分式方程与不等式的应用 班级 姓名 一、选择题 1．（13?铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 2．（13?岳阳）关于x 的分式方程 7311+=--m x x 有增根，则增根为（ ） A ．x =1 B ．x =-1 C ．x =3 D ． x =-3 3.（13?荆州）解分式方程2132x x x -=++时，去分母后可得到（ ） A ．x (2+x )－2(3+x )=1 B ．x (2+x )－2=2+x C ．x (2+x )－2(3+x )=(2+x )(3+x ) D ．x －2(3+x )=3+x 4. 分式方程31112=-+-x x x 的解是x=______________. 5.（13?德阳）已知关于x 的方程232 x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围是 。 6. （13?盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为_______________． 二、解答题 7．（12分）（2014?本溪）晨光文具店用进货款1620元购进A 品牌的文具盒40个，B 品牌的文具盒60个，其中A 品牌文具盒的进货单价比B 品牌文具盒的进货单价多3元． （1）求A 、B 两种文具盒的进货单价？ （2）已知A 品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元，B 品牌文具盒的销售单价最少是多少元？ 方程与不等式之分式方程图文答案 一、选择题 1．若关于x 的方程244 x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．0 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】 解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244 x a x x =+--有增根， ∴x-4=0， ∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程 244 x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ） A ．10000 x ﹣10=147000(140)0x + B ．10000 x +10=147000(140)0x + C ．100000(140)0x -﹣ 10=14700x D ．100000(140)0 x -+10=14700 x 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可． 【详解】 解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为： 10000 x +10=() 1470001400 x +． 故选B ． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 3．如果关于x 的分式方程 11 222a x x -+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211 (1)22x x x x a ≥-? ? ?-+<-?? 有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2 C ．-3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】 解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：2 2a x += ，且 222 a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数， 不等式组整理得：3 4x a x ≥-?? ??? ＜， 由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0， 可得0＜ 4 a ≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】 此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方程与不等式之分式方程图文解析 一、选择题 1．关于x的方程无解，则m的值为（） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5 【答案】A 【解析】 解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A． 2．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为 （） A．10000 x ﹣10= 14700 (140)0x +B． 10000 x +10= 14700 (140)0x + C． 10000 (140)0x -﹣10= 14700 x D． 10000 (140)0x -+10= 14700 x 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【详解】 解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为： 10000 x +10=() 14700 1400x +． 故选B． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键． 3．已知关于x的分式方程12 1 11 m x x - -= -- 的解是正数，则m的取值范围是() A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6【答案】A 【解析】 【详解】 方程两边同时乘以x-1得， 1-m -（x -1）+2=0， 解得x =4-m ． ∵x 为正数， ∴4-m ＞0，解得m ＜4． ∵x ≠1， ∴4-m ≠1，即m ≠3． ∴m 的取值范围是m ＜4且m ≠3． 故选A ． 4．对于非零实数a 、b ，规定a ?b ＝21 a b a -．若x ?（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ．﹣1 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题中的新定义可得：()21x x ?-=21 121x x x -=-， 解得：x=1， 经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】 本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是 A ． 120100 x x 10=- B ． 120100 x x 10 =+ C ． 120100 x 10x =- D ． 120100 x 10x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同， 所以， 120100 x x 10 =-. 故选A. （专题精选）初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题及答案 一、选择题 1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（） A．10 x - 10 2x =20 B． 10 2x - 10 x =20 C． 10 x - 10 2x = 1 3 D． 10 2x - 10 x = 1 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】 由题意可得， 10 x - 10 2x = 1 3 ， 故选：C． 【点睛】 此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 2．若数a使关于x的不等式组 () 3x a2x1 1x 2x 2 ?-≥-- ? ?- -≥ ?? 有解且所有解都是2x+6＞0的解，且 使关于y的分式方程y5 1y - - +3= a y1 - 有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是 （） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可． 【详解】 不等式组整理得： 1 3 x a x ≥- ? ? ≤ ? ， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3， 即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4， 分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y= 2 2 a -， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．下列说法中正确的是（ ） A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形 B ．9的平方根为3 C ．抛物线21 (1)32 y x =- ++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程1 21 m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确； B 、9的平方根是±3，该选项错误； C 、抛物线21 (1)32 y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程 121 m x -=-去分母得：1 2m x +=， ∵关于x 的分式方程的解为非负数， ∴ 102m +≥且1 12 m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件． 4．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货 方程与不等式之分式方程分类汇编及解析 2 ，解的情况是（ x 2 1 【分析】 观察式子确定最简公分母为（x+1）（ x - 1）,再进一步求解可得. 【详解】 方程两边同乘以（x+1）（ x - 1），得: x （x+1）-（ x 2 - 1） = 2 , 解方程得：x =- 1, 检验：把x =- 1代入x+1 = 0, 所以x =- 1不是方程的解. 故选：D . 【点睛】 此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键 x 的方程一丄+—匚=1解为正数，则 m 的范围为（ ） x 1 1 x 【解析】 【分析】 方程两边同乘以 解得m 2且m3 故选：B. 【点睛】 此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题 1 X 1 3.解分式方程 ---------- 2 ------- 的结果是（） x 2 2 x 、选择题 A . x = 1 【答案】D 【解析】 B . x = 2 C. x =- 1 D .无解 A . x="2" B . x="3" C. x="4" D .无解 x 1.分式方程 -------- x 1 2.关于 A . m 【答 3 B . m 2 B m 3 C. m<2且m 3 D . m>2 首先解分式方程, 【详解】 然后令其大于 0即可，注意还有x 1. 【解析】 【分析】 由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数 即可. 【详解】 不等式组整理得: 由不等式组有解且都是 即-2 V a < 4 即卩 a=-1, 0, 1, 2, 3, 4, a 2 分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y=E ■二 2 由分式方程有整数解，得到 a=0, 2，共2个, 故选：D . 【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算 法则是解本题的关键. 1 a 1 5 ?如果关于x 的分式方程——2——有整数解，且关于x 的不等式组 x 2 2 x 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1 - X+2X - 4= - 1, 解得：x=2, 经检验x=2是增根，分式方程无解. 故选D . 考点：解分式方程. 3 4 ?若数a 使关于x 的不等式组 2 a 2 x 1 有解且所有解都是 2x+6> 0的解，且 y 5 a 使关于 y 的分式方程 -------- +3= ---- 1 y y 1 有整数解，则满足条件的所有整数 a 的个数是 A . 5 【答案】D B . 4 C. 3 D . a 的值 2x+6> 0，即卩 x > -3 的解，得到-3V a-1 <3,初中不等式分式与分式方程
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