2018理数全国二卷及答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．

12i

12i

+=-（ ） A ．43i 55

--

B ．43i 55

-+

C ．34i 55

--

D ．34i 55

-+

2．已知集合(){}

2

23A x y x

y x y =+≤∈∈Z Z ,，，，则A 中元素的个数为（ ）

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

3．函数()2

e e x x

f x x --=的图像大致为（ ）

4．已知向量a ，b 满足1=a ，1?=-a b ，则()2?-=a a b （ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

5．双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>

）

A

．y = B

．y =

C

．y = D

．y x = 6．在ABC △

中，cos 2C =

1BC =，5AC =，则AB =（ ） A

．B

C

D

．

7．为计算11111123499100

S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A ．i i 1=+

B ．i i 2=+

C ．i i 3=+

D ．i i 4=+

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2

的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．

112

B ．

114

C ．

115

D ．

118

9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==

，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ） A ．15

B

C

D

10．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．

π4

B ．

π2

C ．

3π4

D ．π

11．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =， 则()()()()12350f f f f ++++=L （ ） A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

12．已知1F ，2F 是椭圆()22

2210x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为（ ） A ．

23

B ．

12 C ．13

D ．

14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线()2ln 1y x =+在点()0,0处的切线方程为__________．

14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥??

-+≥??-≤?

，，，则z x y =+的最大值为__________．

此

卷

只

装

订

不

密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

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15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7

8

，SA 与圆锥底面所成角为45?，若SAB △

的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．

18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，L ，17）建立模型①：?30.413.5y

t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，L ，17）建立模型②：?9917.5y

t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）设抛物线24

C y x

=

：的焦点为F，过F且斜率为()0

k k>的直线l与C交于A，B两点，8

AB=．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥P ABC

-

中，AB BC

==4

PA PB PC AC

====，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C

--为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

A

B

C

P

O

M

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21．（12分）已知函数()2e x f x ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在()0,+∞只有一个零点，求a ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=??=?，

（θ为参数），直线l 的参数方程为

1cos 2sin x t αy t α=+??

=+?

，

（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()52f x x a x =-+--．

（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)

理科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13．【答案】2y x = 14．【答案】9

15．【答案】1

2-

16．【答案】

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．【答案】（1）29n a n =-；（2）2–8n S n n =，最小值为–16． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-， 由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--， ∴当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．

18．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5；（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1y

=-+?=(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为?9917.59256.5y

=+?=(亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：（1）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境

基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线

性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型?9917.5y

t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（2）从计算结果看，

相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值2261.亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 19．【答案】（1）–1y x =；（2）()()2

2

3216x y -+-=或()()2

2

116144x y -++=． 【解析】（1）由题意得()1,0F ，l 的方程为()()10y k x k =->，设()11,A x y ，()22,B x y ，

由()214y k x y x

?=-??=??，得()

2222240k x k x k -++=，

2

16160k ?=+>，故1222

24

k x k x ++=

， 所以()()1222

44

||||||11k AB A x F BF k x +=+=+++=， 由题设知2244

8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．

因此l 的方程为1y x =-．

（2

）由（1）得AB 的中点坐标为()3,2，所以AB 的垂直平分线方程为()23y x -=--，即5y x

=-+， 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，

则0022

0005,

(1)(1)162

y x y x x =-+???-++=

+??，解得0032x y =??=?或00116x y =??=-?， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22

116144x y -++=． 20．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP = 连结OB ．因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1

22

OB AC =

=，由222OP OB PB +=知PO OB ⊥， 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．

（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r

的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．

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由已知得()0,0,0O ，()2,0,0B ，()0,2,0A -，()0,2,0C

，(P

，(AP =uu u r

，

取平面PAC 的法向量()2,0,0OB =uu u r ，设()(),2,002M a a a -<≤，则(),4,0AM a a =-uuu r

，

设平面PAM 的法向量为(),,x y z =n ．由0AP ?=uu u r n ，0AM ?=uuu r

n ，

得()2040y ax a y ?+=??+-=??

，可取

))

4,a a =--n ，

4cos ,a OB -∴<>=

uu u r

n cos ,OB <>uu u r n

=4a =-（舍去），4

3a =，

43??∴=- ?

???

n ，又(0,2,PC =-u

u u r Q ，所以cos ,PC <>=uu u r n ．

所以PC 与平面PAM ． 21．【答案】（1）见解析；（2）2

e 4

．

【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()

21e 10x

x -+-≤，

设函数()()

2

1e 1x

g x x -=+-，则()()

()2

2

21e 1e x

x

g'x x x x --=--+=--，

当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在()0,+∞单调递减， 而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．

（2）设函数()21e x

h x ax -=-，()f x 在()0,+∞只有一个零点当且仅当()h x 在()0,+∞只有一个零点．

当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； 当0a >时，()()2e x

h x ax x -'=-．

当()0,2x ∈时，()0h'x <；当()2,x ∈+∞时，()0h'x >． ()h x ∴在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．

故()2421e

a

h =-

是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即2

e 4a <，()h x 在()0,+∞没有零点；

②若()20h =，即2

e 4

a =，()h x 在()0,+∞只有一个零点；

③若()20h <，即2

e 4

a >

，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以()()

()33324421616161

411110e 2e a a a a a h a a a =-=->-=->． 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,+∞有两个零点．

综上，()f x 在()0,+∞只有一个零点时，2

e 4

a =．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【答案】（1）当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程tan 2tan y x αα=?+-为，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =；（2）2-．

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416x y +

=， 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

()()2

2

13cos 42cos sin 80t

t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．

又由①得()122

42cos sin 13cos t t ααα

++=-

+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

23．【答案】（1）{}23x x -≤≤；（2）(][),62,-∞-+∞U ． 【解析】（1）当1a =时，()24,1

2,1226,2x x f x x x x +≤-??

=-<≤??-+>?

，

可得()0f x ≥的解集为{}23x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥，

而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于24a +≥， 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞U ．