浅谈反证法原理及应用

摘要

反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义.

本论文主要研究的容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考.

关键词:反证法,否定,矛盾,应用

Principle and application of the reduction to absurdity ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics.

The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.

Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application

目录

一、引言1

二、反证法的由来1

三、反证法的概念及分类1

（一）反证法的定义1

（二）反证法的分类1

1．归谬法1

2．穷举法2

（三）反证法的作用2

四、反证法的科学依据3

（一）反证法的理论依据3

（二）反证法的步骤3

（三）反证法的可信性3

五、反证法的应用4

（一）反证法在初等数学中的应用4 （二）反证法在高等数学中的应用6 1．在数学分析中的应用6

2．在高等代数中的应用8

（三）应用反证法应注意的问题9

1．反设要正确10

2．明确推理特点10

3．善于灵活运用10

4．了解矛盾种类10

六、反证法的教学价值及建议10

（一）反证法的教学价值10

1．训练逆向思维10

2．促进数学思维的形成11

3．培养思维严密性11

4．渗透数学史11

（二）反证法的教学建议12

1．多次反复,螺旋上升12

2．精心研究,训练反设12

3．渗透数学思想方法,训练严密12

七、结束语12

八、参考文献13

一、引言

在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一,但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍,学生在运用上又不如直接证法那样顺理成章,而且在归谬过程学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力,对在怎样的情况下才可采用反证法,学生又不容易判断,所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少的问题,因此本文就反证法做一些介绍和探讨.

二、反证法的由来

反证法顾名思义是一种证明方法,在数学和逻辑上是统一的.早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数,用整数和几何图形构建了一个宇宙图式.万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的.随着2的出现,希腊人渐渐开始重新审视他们的数学,图形和直观并不是万能的,推理和逻辑走上了数学的舞台.此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性.表现形式就是:逻辑、演绎的体系.可见它是指证明的数学与算的数学正好相反.希腊人重视逻辑和演绎的证明,反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中.

三、反证法的概念及分类

（一）反证法的定义

反证法有多种不同的描述,其本质都是一样的.

最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述:“反证法在于表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.

维基百科中这样描述“反证法,就是由否定命题结论的正确性出发,根据题设条件、定义、法则、公理、定理,进行一系列正确的逻辑推理,最后得到一个矛盾的结果.”即就是结论的反面不能成立,从而肯定命题结论的正确性,这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.

（二）反证法的分类

反证法分类分为:归谬法和穷举法.

1．归谬法

若命题的反面只有一种情形,则只需把这一种情形驳倒,便可达到反证

的目的.

例1．两条直线同时平行于第三条直线,则原两条直线互相平行.

已知:，，EF CD EF AB ////

求证:.//CD AB

现用反证法予以证明.

假设AB 与CD 不平行,

则{}P CD AB =⋂(利用平行定义的反面意义),

EF AB // (即EF AP //)、EF CD //(即EF CP //)(题设), ∴过P 点有两条不同的直线与EF 平行,但这与平行公理矛盾（平行公理）,临时假设AB 不平行CD （矛盾律),

故CD AB //(排中律).

2．穷举法

若命题题设反面不止一种情况,则必须将其逐一驳倒,才能间接证明题设的正面成立.这就叫穷举法.

例2．若121≥>x x ,则有n n x x 21>,

证明:若不然,则有,

()21211x x x x n n =⇒=,与题设矛盾,

()21212x x x x n n <⇒<,与题设矛盾,

因此,n n x x 21>.

（三）反证法的作用

牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯（前460年左右）,在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的例.我国在五世纪时《邱建算经》中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法,当正面不容易或者不能证明时,我们可以从命题的反面来思考问题,若能恰当使用,往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法,因此认识和掌握反证法就显得十分重要.

A C E

B D F

图1

四、反证法的科学依据

（一）反证法的理论依据

反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的基本规律中的“矛盾律”和“排中律”.

其基本容是:在同一论证过程中,对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断,不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是“矛盾律”.如对2这个对象,“2是有理数”和“2是无理数”的两个判断中至少有一个是假的.在同一论证过程中,对同一对象的肯定判断和否定判断,这两个相矛盾的判断必有一个是真的,这就是“排中律”.如要证明“2是无理数”,只要证明“2是有理数”不真就够了.因为“2是有理数”和“2不是有理数”,是对象2的两个相矛盾的判断,依据排中律,其中必有一个判断是真的.如能证明

“2不是有理数”不真,是无理数”为真.

（二）反证法的步骤

反证法的三个步骤:“反设”、“归谬”、“结论”,三者之间相辅相成,不可分割.

1、“反设”是基础.“反设”是反证法证题的第一步.反设的正确与否,直接影响反证法的后续步骤.因此,实施教学时,应指导学生做到:先弄清所证命题的条件部分和结论部分各是什么;再找出结论的相反情况,要求做到不重不漏;最后对结论加上“不”或“不是”,这样就完成了“反设”.

2、“归谬”是关键.“归谬”即利用“反设”导致矛盾.这不但是反证法的核心部分,而且也是反证法教学的难点所在.一些学生也知道需要经过逻辑推理,才能导出矛盾,但不明确怎样去寻找矛盾.因此,实施教学时,应指导学生明确:反设后条件部分是什么;逻辑推理应向哪个方向前进;矛盾将在何处产生.

3、“结论”是目的.“归谬”后,其矛盾的产生并非别的原理,只因“反设”所致,所以命题的原结论就得以成立.至此,反证法证题已经完成,目的也就达到了.

（三）反证法的可信性

反证法在其证明过程中,根据“矛盾律”,对“原结论”和“否定的原结论”来说,这两个相矛盾的判断不能同时都为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的,所以“否定的原结论”

必为假.再根据“排中律”,“原结论”与“否定的原结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一个是真,而“否定的原结论”为假,于是我们得到“原结论”必为真.综上,我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据,通过逻辑推理,得出令人信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应用.

五、反证法的应用

本部分主要总结反证法在初等数学和高等数学的应用.

（一）反证法在初等数学中的应用

之前我们主要介绍了一些反证法的概念,对于反证法的定义、历史及逻辑基础有了一定的了解,反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目,但是它像直接证明一样总有局限性,这部分我们主要介绍常用反证法的几类命题.

否定性命题:结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题,直接证法不容易入手,反证法可以发挥它的作用.

例1.求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角.

证明:已知A ∠、B ∠、C ∠是三角形ABC 的三个角. 求证:C B A ∠∠∠、、中不能有两个钝角.

证明:假如C B A ∠∠∠、、中有两个钝角,

则有︒>∠+∠+∠180C B A ,这与“三角形和为︒180”产生矛盾,所以,一个三角形不可能有两个钝角.

关于唯一性、存在性、至多至少命题:

例2.已知0≠a ,求证关于x 的方程b ax =有且只有一个根.

证明:假设方程0=+b ax （0≠a ）至少存在两个根,

不妨设其中的两根分别为21x x 、,且21x x ≠,则b ax b ax ==21，,

21ax ax =∴,

021=-∴ax ax ,

()021=-∴x x a ,

0,2121≠-≠x x x x ,

0=∴a 与已知0≠a 矛盾,

故假设不成立,结论成立.

例3.当）

（21212q q p p +=时,试证方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中,至少有一个方程有实数根.

证明:假设两个方程0112=++q x p x ,0222=++q x p x 都没有实根,即04121<-q p ,0422

2<-q p . 所以1214q p <,2224q p <⇔)(4212

221q q p p +<+,

又2122212p p p p ≥+,

)(422121q q p p +<∴ 即 )(22121q q p p +<, )(22121q q p p += ,

∴假设不成立,结论成立.

所以说明0112=++q x p x 和 0222=++q x p x 中至少有一个方程有实根.

例4.试证:2不是有理数.

分析 我们知道,有理数恒可表示为既约分数b

a （

b a ,为互质的自然数）的形式.直接证明这个命题需要证2不是任何一个既约分数,这不仅涉及既约分数的无限集,而且也难于把2与既约分数b

a 联系起来（它们本来就没有直接联系）.如果使用反证法,情况就迥然不同了.

证明:设2是有理数,则有互质的自然数b a ,,使

b

a =2, 由此推出222a

b =,这表明a 有因数2,

设12a a =,代入上式,得

21242a b =,

即2122a b =,这又表示b 有因数2.

于是a ,b 有公因数2,这与b a ,互质的假设矛盾,因此,2不是有理数. 评注:本命题使用反证法的优点是只要考察某一特定的有理数

b a ,而且自然的把2与这个特定的既约分数b a 联系起来了（b

a =2）,这就为利用自然数的运算性质导致矛盾的结果创造了有利条件.

（二）反证法在高等数学中的应用

反证法虽然是在平面几何教材中出现的,但对数学的其它各部分容,如数学分析、高等代数都可应用.那么,究竟什么样的命题可以用反证法来证呢?当然没有绝对的标准,但证题的实践告诉我们:下面几种命题一般用反证法来证比较方便.

1．在数学分析中的应用

要能熟练掌握一种解题方法,仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的,还要在解题的证明中注意积累经验,总结规律,解决何时可以用这种方法来解决的问题,这有助于进一步加深对这种解题的方法实质的理解.下面就数学分析中几类常见的运用反证法证明的命题类型,举例说明反证法的应用.

当结论中出现“唯一”或者量词“只有一个”时,运用反证法也比较适宜.

例1 收敛数列的极限都是唯一的.

证明:假设有某一收敛数列{}n x ,其极限不唯一,

设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim ,且b a ≠,不妨设b a <,令02

0>-=a b ε, 根据极限的定义,存在自然数21,N N ,使

1N n >时,有0ε<-a x n ,

2N n >时,有0ε<-b x n ,

因此,当{}21,m ax N N n >时,有00εε+<<-a x b n ,

注意到20a b -=

ε,便得2

2b a b a +<+,但这是不可能的,故假设不成了,所以结论成立. 当结论中含有否定词“无”或者“非”时,一般用反证法.

例 2.试证明:若函数()x f 在有限区间()b a ,可微,但无界,则其导函数()x f '也无界.

证明:假设()x f '在()b a ,有界,即0>∃M ,()b a x ,∈∀,有()M x f ≤',取定()b a x ,0∈,()b a x ,∈∀,由拉格朗日中值定理知,存在ξ在x 与0x 之间,

使

()()()()a b M x x f x f x f -≤-'=-00ξ,

而

()()()()()a b M x f x f x f x f -≤-≤-00,

故

()()()a b M x f x f -+≤0,

这与已知()x f 无界相矛盾,故结论成立.

当结论中以“至多”或者“至少”形式出现时用反证法可以收到良好的效果.

例3．设()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续,()()0cos sin 2020==⎰⎰xdx x f xdx x f π

π, 试证:()x f 在⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,0π至少有两个零点. 证明:⎥⎦

⎤ ⎝⎛∈∀2,0πx ,

0sin >∴x ,

()0sin 20=⎰xdx x f π

, ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛∴2,0π在x f 至少存在一个零点,否则()0sin 20≠⎰xdx x f π

, 假设()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π只有一个零点0x , 若()x f 在0x 两侧异号,有()()0sin 020≠-⎰dx x x x f π

, ()()()()0cos sin sin cos sin 200200020=-=-⎰⎰⎰xdx x f x xdx x f x dx x x x f π

ππ 矛盾,

若()x f 在0x 两侧同号,有()()0cos 020≠-⎰dx x x x f π

, ()()()()0sin sin cos cos cos 2

0020002

0=+=-⎰⎰⎰xdx x f x xdx x f x dx x x x f π

ππ矛盾,所以假设不成立,故结论成立,

()x f ∴在⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,0π至少有两个零点. 2．在高等代数中的应用

反证法在数学中有着广泛的应用,针对高等代数中许多结论、定理的证明虽然可以用构造法、数学归纳法等其他方法证明,但是证明过程比较复杂,有时用反证法证明达到了化难为易的效果.

例 1.若β

可由r ααα ,,,21⋯线性表示,证明:r ααα ,,,21⋯表示方法唯一

⇔r ααα ,,,21⋯线性无关. 证明:（必要性）已知β

由r ααα ,,,21⋯唯一的线性表示,

设r r k k k αααβ +⋯++=2211,

假设r ααα ,,,21⋯线性相关,则存在r l l l ⋯21,不全为0,

使02211=+⋯++r r l l l ααα ,

于是r r r l k l k l k αααββ

)()()(0222111++⋯++++=+=, r l l l ⋯21,不全为0,

∴r k k k ⋯21,与r r l k l k l k +⋯++2211,不完全相同,

这与β

可由r ααα ,,,21⋯表示方法唯一相矛盾,所以假设不成立,即r ααα

,,,21⋯线性无关.

例2．设()n n ij a A ⨯=为实矩阵,证:如果∑≠>j i ij ii a a ,n i ⋯=,2,1,则0≠A .

证明:假设0=A ,设),,,(21n A ααα ⋯=,则n ααα ,,,21⋯线性相关,

从而存在不全为零的数n k k k ⋯21,,使02211=+⋯++n n k k k ααα , 设{}i k k max 1=,则01>k ,

n n k k k ααα -⋯--=∴2211,

n n a k a k a k 1122111-⋯--=∴,

∑≠≤+⋯+≤∴1

111122111j j n n a k a k a k a k

∑≠≤∴1

111j j a a ,这与已知矛盾,所以假设不成立,0≠∴A

（三）应用反证法应注意的问题

反证法是数学中一种重要的证明方法,在许多方面有着不可替代的作用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用.只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨、提高教学解题能力.

1．反设要正确

正确否定结论是运用反证法的首要问题.

如:命题“一个三角形中,至多有一个角是直角”.“至多有一个”是指“只有一个”或“一个没有”,其反面是“有两个直角”或“三个角都是直角”,即“至少有两个是直角”.

2．明确推理特点

使用反证法证题,要明确我们的任务是否定结论导出矛盾,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的.一般的总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定理、公式、定义等）,这正是反证法推理的特点.因此,在推理前不必要也不可能事先规定要得到什么样的矛盾.我们在运用反证法时只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,一旦出现了矛盾,证明也就结束了.

3．善于灵活运用

虽然数学证明题一般都可采用反证法,但并不是说,所有证明题都应该使用反证法来证明,就多数题目来说,用直接证法就可以证出,不能一味往反证法上面靠,要灵活运用反证法,毕竟我们平时训练的题目多是运用的直接证法.对待用反证法证题的策略思想是:首先试用直接证法,若一时不能成功,即可使用反证法.

4．了解矛盾种类

反证法推理过程中出现的矛盾种类是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾,可能与临时假设矛盾或推出一对相互矛盾的结果等.

六、反证法的教学价值及建议

关于反证法的教学,从早期就要向学生渗透这种思想,凡事不一定非常谨慎,只要学生能够明白、认可其中的原理即可.

（一）反证法的教学价值

1．训练逆向思维

为了解决一个面临的数学问题,通常总是先从正面入手进行思考,即根据问题中的已知条件,搜索运用已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导

出未知.若从正面入手繁琐或难度较大,不妨考虑问题的相反方面,往往会绝处逢生,开拓解题思路.这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反证法解题,反证法的教学能摆脱学生的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提高解题速度,促进创新思维.

2．促进数学思维的形成

数学思想方法是科学思维的方法和技术,是数学的精髓,它为揭示数学本质,提供了有力的思想武器.数学思想方法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性人才.新一轮课程教学改革强调创造性、生成性,得以形成数学文化、数学思维,如何去做是我们关注的.中国初等数学教育明显的好于西方,但到大学阶段的学生却缺少创造性,很难有所成就,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思.我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术,而启发性思维、理解、悟得思想方法的不多.因而形成学生成绩的两极分化,讨厌数学,甚至数学尖子生也远离数学,回想起数学来就心生畏惧.加强思想方法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提高全民族整体素质的重要举措,是社会发展的需要,更是提高数学质量的基本保证.而通过反证法的训练是培养数学思想方法的很好途径.欧几里得很喜欢运用的归谬法,它是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得全局的让子法,它还要高明.象棋奕者不外牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方,这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的一种方法.

3．培养思维严密性

训练逻辑思维能力,反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题.在证明过程中的每一环节都要全面、不遗漏.比如否定原题结论反设后有几种情况,必须进行分类讨论一一加以否定.反证法与直接证法是密切联系的,二者相结合往往相辅相成,相得益彰.就全局而言是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程用的是直接证法.有时在基本直接证法的推理中,又会穿插一段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反面,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏.

4．渗透数学史

提高辩证思维的能力,反证法是一种重要的证明方法,无论在初等数学还是高等数学中,都有广泛的应用,数学中一些基本性质,重要定理甚至某些

著名的数学难题,往往用反证法证得.举世闻名的费尔马大定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧几里得曾用它证明素数有无穷多个.因此反证法对训练学生辨证思维,提高哲学修养很有价值.

（二）反证法的教学建议

由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,比较复杂,所以书上没有给出其概念,从小学、初中、到高中都会用到,代数、几何都有使用,为此教学工作如下设想.

1．多次反复,螺旋上升

反证法的知识本身很难,学生多次学习都感到似懂非懂,下次见到又是生面孔,因此,不能期待一次完成,一蹴而就,要通过看书、示例题、探索解题、回顾推敲、揭示涵、思悟提高等慢慢地掌握.

2．精心研究,训练反设

在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是十分重要的.

3．渗透数学思想方法,训练严密

先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师生共同概括提炼,加以量化.然后由学生探索分析问题思想,以达到提高、升华.最后,力求使学生学会运用反证法思想武器指导思维活动,在高层次感受其威力.

七、结束语

反证法的应用是相当广泛的,在数学各个分支中都有体现,对于数学的创造发展也是极重要的工具之一.尽管其应用不如直接证法普遍,但它在数学命题的证明中能起到直接证法所起不到的作用,不少数学命题的证明当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时,如能恰当地使用反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不能为可能.当然,反证法不是万能的,一般地是在否定论题结论,得到矛盾论题后,显得比原论题更具体、更简明时适用反证法.反证法作为一种重要的间接论证方法,与直接证法的着眼点和理论依据等方面都不尽相同,构成反证法的智力动作与辩证思维密切相关,尤其是按照相反论点的结论进行推理的分析思维形式和综合法的逻辑过程,对于训练学生的思维能力是非常重要的.

八、参考文献

[1] 中国人民大学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].:中国人民大学,1996,317.

[2] Thompson,D.R.1996.Leanring and teaehing indireet Proof. Mathematics Teacher,89:474

一482

[3] 邹大海.徽的无限思想及其解释[J].自然科学史研究,1995,14(1):12-21

[4]禾瑞《高等代数》（第五版）[M].高等教育

[5]玉琏《数学分析》（第五版）[M].高等教育

[6] 伊夫斯H.数学史概论[M].欧阳绛译.:经济,1986,285.

[7] 周春荔.数学观与方法论[M].:首都师大学,1996.