余弦定理教学案
余弦定理 【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决解三角形问题. 【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法;余弦定理的应用. 【教学过程】 一、复习回顾: 正弦定理及其所解决的问题: 二.课题导入 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢? 三.讲授新课 余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 夹角的 的积的两倍. 公式表达: 2a = ;2b = ;2c = . 推论: cos A = ;cos B = ;cos C = . 定理理解:(1)与勾股定理的关系: (2)余弦定理及其推论的基本作用为: 【典型例题】 例1、在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知3a =,1b =,60C =?. (1)求c ; (2)求sin A . 变式训练1:在ABC ? 中,若a =5b =,30C =?,则(c = ) A B .C D 例2、已知△ABC 的三边长为3a =,4b = ,c =ABC 的最大内角. 变式训练2:有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ,1m +,2m +,则实数m 的 值为( ) A .1 B . 3 2 C .2 D . 52 例3、在△ABC 中,已知3b = ,c =,0 30B =,求边a . 变式训练3:△ABC 中,0 120A =,5c =,7a =,则sin sin B C =____________. A B C b c a
例4、在△ABC 中,a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,如果(a 2+b 2)sin(A -B )= (a 2-b 2)sin(A +B ),试判断该三角形的形状. 变式训练4-1:在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,试判断三角形的形状. 变式训练4-2:在△ABC 中,已知()()3a b c a b c ab +++-=,且2cos sin sin A B C ?=, 确定△ABC 的形状. 例5、在△ABC 中,a ,b ,c 分别是A ,B ,C 的对边,且cos cos 2B b C a c =- +. (1)求B 的大小; (2 )若b =,4a c +=,求a 的值. 变式训练5-1:在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C =. (1)求cos C ; (2)若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ,且9a b +=,求c . 变式训练5-2:在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,C =π 3 . (1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ; (2)若sin B =2sin A ,求△ABC 的面积.
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计
《排列与排列数公式》(第1课时)教学设计 一.教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课,排列是一类特殊而重要的计数问题,教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务,通过具体实例概括而得出排列的概念,应用分步计数原理得出排列数公式,对于排列,有两个想法贯穿始终,一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法,就像乘法作为加法的简便运算一样;二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位,理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提,对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用,同时,排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律,本节课只是对排列和排列数公式的初步认识,在后面知识的学习过程中,逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式,教学难点是排列的概念,排列的概念有一定的抽象性,本节课结合教科书的编排,采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程,通过引导学生分析三个典型事例,从中归纳出共同特征,再进一步概括出本质特征,得出排列的定义,再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解,并多次强调一个排列的特点,n个不同的元素,取出m个元素,元素的顺序,奠定学生对排列定义的理解基础,为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数,为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫,排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点,让学生直观感受学习排列的必要。 二.教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念,并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题;能利用分步计数原理推导排列数公式,能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断,能够分析原因,能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中,通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力,以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力,体会排列知识在实际生活中的应用,增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析,得出一般的规律,通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三.学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验,对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱,排列概念的得到,要独立将颜色、数字、人抽象为元素,对着色的方案抽象出顺序有一定的困难,需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四.教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥。
最新高中数学《余弦定理》教案精编版
2020年高中数学《余弦定理》教案精编版
仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢5 1.1.2余 弦 定 理(1) 一、教学内容分析 《余弦定理》第一课时。通过利用平面几何法,坐标法(两点的距离公式),向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理,正确理解余弦定理的结构特征,初步体会余弦定理解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,理解余弦定理是勾股定理的特例, 从多视角思考问题和发现问题,形成良好的思维品质,激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣,培养学生思维的广阔性。 二、学生学习情况分析 本课之前,学生已经学习了两点间的距离公式,三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用多种方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。 三、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式,体会多种方法特别是向量方法推导余弦定理的思想;通过例题运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题;理解余弦定理是勾股定理的特例,理解余弦定理的本质。 四、教学重点与难点 教学重点:余弦定理的证明过程特别是向量法与坐标法及定理的应用; 教学难点:用正弦定理推导余弦定理的方法 五、教学过程: 1.知识回顾 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 正弦定理可以解什么类型的三角形问题? (1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角(AAS,ASA); (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的一边和另外两角(SSA)。 2.提出问题 已知三角形两边及其夹角如何求第三边? (SAS 问题) 在三角形ABC 中,已知边a,b,夹角C, 求边c C c B b A a sin sin sin = =
高中数学《余弦定理》教案
高中数学《余弦定理》 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 1.1.2余弦定理(1) 一、教学内容分析 《余弦定理》第一课时。通过利用平面几何法,坐标法(两点的距离公式),向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理,正确理解余弦定理的结构特征,初步体会余弦定理解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,理解余弦定理是勾股定理的特例,从多视角思考问题和发现问题,形成良好的思维品质,激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣,培养学生思维的广阔性。 二、学生学习情况分析 本课之前,学生已经学习了两点间的距离公式,三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用多种方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。 三、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式,体会多种方法特别是向量方法推导余弦定理的思想;通过例题运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题;理解余弦定理是勾股定理的特例,理解余弦定理的本质。 四、教学重点与难点 教学重点:余弦定理的证明过程特别是向量法与坐标法及定理的应用; 教学难点:用正弦定理推导余弦定理的方法 五、教学过程: 1.知识回顾 正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 正弦定理可以解什么类型的三角形问题? (1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角(AAS,ASA); (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的一边和另外两角(SSA)。 2.提出问题 已知三角形两边及其夹角如何求第三边? (SAS 问题) 在三角形ABC 中,已知边a,b,夹角C, 求边c C c B b A a sin sin sin = =
余弦定理教案完美版
《余弦定理》教案 (一)教学目标 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题, 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 (二)教学重、难点 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 (三)学法与教学用具 学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具:直尺、投影仪、计算器 (四)教学设想 [创设情景] C 如图1.1-4,在?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ,求边c b a (图1.1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知,所以较难求边c 。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1.1-5,设CB a =u u r r ,CA b =u u r r ,AB c =u u r r ,那么c a b =-r r r ,则 b r c r ()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1.1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析: (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点; 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时,它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大,y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x成为相反数时,y是否也成为相反数,即函数的对称性质. 函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质. 函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画. 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位. 教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大,y也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D上任意取x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数). (2)教学内容的知识类型; 在本课教学内容中,包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识; 在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源; 生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+,能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置: 本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是:不仅把函数看成变量之间的依赖关系,还要用集合与对应的语言刻画函数,体会函数的思想方法与研究方法,结合实际问题,体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下: (1)知识与技能: 理解函数单调性的概念,让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念; 能利用图象法直观判断函数的单调性;
余弦定理教案
1.设计意图:本节主要内容是对余弦定理的学习,学生之前已经学习 了正弦定理和向量,已经知道了什么是解三角形,学生前面学习的知识是学习本节的基础。本教案引入分两个部分,首先,让学生回顾了正弦定理的内容及正弦定理的主要作用,主要目的是帮助学生巩固旧知识,有助于学生对前面学习的知识的掌握和理解,也为本节课的学习奠定了基础。其次,用一个例子让学生思考,引导学生用已学的知识来解决,结果学生发现无法用已掌握的知识来解决,从而激发学生探究新知识的欲望,进而可以很自然的引入本节内容。新课部分,主要借助向量证明了余弦定理,这样可以帮助学生复习向量的相关内容,同时向量方法是一种较简单的证明方法,学生较易理解和掌握。最后举了两个例子,让学生可以通过解题加强对知识的理解,从而将知识与实际相结合。 2.达到的预期目标:本节主要目标是让学生在掌握正弦定理的基础 上达到对余弦定理的理解和掌握,明白正弦定理和余弦定理是解三角形问题的两种不同但又很类似的重要方法,从学生上课的反应和学生作业的情况,大部分学生对本节的内容已经基本掌握,但还不是很熟练。有待加强练习,已达到让学生熟练掌握的地步。 3.设计的优点和不足:优点:由一个学生用现在的知识无法解决的 问题引出课题,激发了学生探索新知的欲望,同时也给本节课题的提出铺平了道路,很好的进行了知识点之间的过度,同时用向量的方法来证明定理,有助于学生的理解和掌握。 不足:定理的证明虽然用了向量的证明,学生容易理解和掌握,
但没有很好的发掘学生的潜力,没有让学生思考还有没有其他证明的方法,还有例2的选择不是很好,数据太大,加大学生的计算难度。学生初中已学习过直角三角形的勾股定理,勾股定理其实是余弦定理的特例,本教案没有让学生思考勾股定理与余弦定理之间的关系。 4.如何改进:首先在证明定理时可以让学生思考有没有其他的方法 可以证明,提醒他们利用建立平面直角坐标系把各点的坐标写出来和勾股定理(分钝角和锐角)这两种方法来证明,给学生提供一个思路,让他们课下自己证明。这样有助于打开学生的思路,培养他们的发散思维能力。例2可以换一个判断三角形形状的例题,同时数据可以弄的好算一些。可以设计一个思考,让学生思考余弦定理与勾股定理之间的关系,从而加深学生对新知识的理解,弄清知识点之间的联系。 余弦定理 三维目标 (1)知识与技能:能推导余弦定理及其推论,能运用余 弦定理解已知“边,角,边”和“边,边,边”两类三 角形。 (2)过程与方法:培养学生知识的迁移能力;归纳总结 的能力;运用所学知识解决实际问题的能力。 (3)情感、态度与价值观:从实际问题出发运用数学知
余弦定理 优质课
余弦定理教学设计 一、教学内容分析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》(第2版)第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。 二、学生学习情况分析 本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。 三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践,自主探索,合作交流,深刻地理解基本结论的本质,体验数学发现和创造的历程,力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考,作出判断;同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化,从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求,利用师生的互动合作,提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,深刻地体会数学思想方法及数学的应用,激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 四、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握余弦定理的证明方法,牢记公式. (2)掌握余弦定理公式的变式,会灵活应用余弦定理. 2、过程与方法 (1)使学生经历公式的推导过程,培养严谨的逻辑思维.
(2)培养学生数形结合的能力. (3)培养学生的问题解决能力. 3、情感态度价值观 经历余弦定理的推导过程,感受数学思维的严谨美,通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美,通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系. 五、教学重点与难点 教学重点:余弦定理的发现过程及定理的应用; 教学难点:用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 六、教学过程:
高中数学必修5正余弦定理教案
高中数学必修5正余弦定理教案 ●教学目标 (一)知识目标 1.三角形的有关性质; 2.正、余弦定理综合运用. (二)能力目标 1.熟练掌握正、余弦定理应用; 2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质; 3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题. (三)德育目标 通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能,反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化. ●教学重点 正、余弦定理的综合运用. ●教学难点 1.正、余弦定理与三角形性质的结合; 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系. ●教学方法 启发式 1.启发学生在求解三角形问题时,注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系,从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的; 2.在题设条件不是三角形基本元素时,启发学生利用正、余弦建立方程,通过解方程组达到解三角形目的. ●教具准备 投影仪、幻灯片
第二张:例题1、2(记作§5.9.4 B) Ⅰ.复习回顾 师:上一节课,我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用,这一节,我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先,我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.4 A). Ⅱ.讲授新课 师:下面,我们通过屏幕看例题.(给出投影片§5.9.4 B) [例1]分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cos α,可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的. 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N*,又设最小角为α,则 α αααcos sin 222sin 2sin ?+=+=x x x x x 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1)(x+2)cos α② 将①代入②整理得: x2-3x-4=0 解之得x1=4,x2=-1(舍) 所以此三角形三边长为4,5,6. 评述: (1)此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程; (2)在求解过程中,用到了正弦二倍角公式,由此,要向学生强调三角公式的工具性作用,以引起学生对三角公式的重视. [例2]分析:由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式S△ABC = 2 1AB ·AC ·sin A ,需求出sin A ,而△ABC 面积可以转化为S△ADC +S△ADB ,而S△ADC =21AC ·AD sin 2 A ,S△AD B =21AB ·AD ·sin 2A ,因此通过S△AB C =S△ADC +S△ADB 建立关于含有sin A ,sin 2A 的方程,而
全国高中数学优质课 余弦定理教学设计
《余弦定理》教学设计 一、教学内容解析 本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时,2课时通过探究证明正弦定理,应用正弦定理解三角形;2课时通过探究证明余弦定理,应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时,属于定理教学课。 正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础,它们为解三角形提供了基本方法,为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具,完善了解三角形体系,为解决三角形的边角关系提供了新的方法;是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果,将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。 纵观余弦定理的发展史,它的雏形出现公元前3世纪。在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中,利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。1593年,法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式,直到20世纪,三角形式的余弦定理才一统天下。“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的,以几何定理的身份出现,直到1951年,美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理,至于向量方法的出现,更是晚近的事了。” 从新旧教材的内容设计对比来看,无论是问题的提出,定理的证明,简单应用都呈现出变化。旧教材数学第二册(下)中,余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。基于特殊到一般的数学思想,从直角三角形
切入,提出问题后,直接用向量的方法推导定理。新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究:如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形,从量化的角度研究这个问题,也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。在定理的推导过程中,同样用了向量方法,但在推导前提出思考:联系已经学过的知识,我们从什么途径来解决这个问题?新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质,分别对三种形状的三角形进行了量化分析,旧教材没有涉及此内容。 从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看,欧式几何依据基本的逻辑原理,建立几何关系,论证严谨,但思维量大,需要分类讨论。而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后,欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量,从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系,由此开创了研究几何问题的新方法。而且在证明之后还提出问题:用坐标方法怎样怎样证明余弦定理?还有其他的方法吗? 教材的编排,就是希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理,另外对向量工具性作用有所体会和认识。 基于以上分析,本节课的教学重点是: 通过对三角形边角关系的探索,发现并证明余弦定理。 二、教学目标设置 结合《课程标准》和教材编排,本节课的教学目标确定为: 1.发现并掌握余弦定理及其推论,利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。 2.通过对三角形边角关系的探索,能证明余弦定理,了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编
对数函数及其性质(1) 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修(一)》(人教版)第二章基本初等函数(1)2.2.2对数函数及其性质(第一课时),主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数,无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比,对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活,能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高,也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉,但新教材做了一定的改动,如何设计能够符合新课标理念,是人们十分关注的,正因如此,本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生,仍保留着初中生许多学习特点,能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象,又以对数运算为基础,同时,初中函数教学要求降低,初中生运算能力有所下降,这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点,教学中要控制要求的拔高,关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习背景,对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际,其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; 2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3.通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质,难点是底数对对数函数值变化的影响. 六、教学过程设计
高中数学《余弦定理》教案北师大版必修
江苏省邳州市第二中学高二数学 《余弦定理》教案 (二)教学重、难点 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 (三)学法与教学用具 学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具:直尺、投影仪、计算器 (四)教学设想 [创设情景] C 如图1.1-4,在?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ,求边c b a A c B (图1.1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知,所以较难求边c 。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1.1-5,设CB a =u u r r ,CA b =u u r r ,AB c =u u r r ,那么c a b =-r r r ,则 b r c r ()() 2 22 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1.1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-