知识讲解 正弦交流电的产生和描述(基础)

高考总复习：正弦交流电的产生和描述

编稿：李传安审稿：张金虎

【考纲要求】

1、知道交变电流的产生及正弦交变电流各物理量的变化规律、变化图像；

2、理解交变电流有效值的定义，会计算简单的非正弦交流电的有效值；

3、了解电容、电感对交变电流的影响。

4、会计算交流电路中的电压、电流、功率、热量、电量等。

【知识络】

【考点梳理】

考点一、交流电的产生及变化规律

1、交变电流：大小和方向随时间变化的电流叫交变电流，常见的交流电如下

本章所涉及的将是最简单的交变电流，即正弦交流电—随时间按正弦规律变化的电流。

2、特点

易于产生、输送、变压、整流，在生活中有广泛的应用，交流电路理论是电工和电子技术的理论基础。∴交流电在电力工程、无线电技术和电磁测量中有极广泛的应用，在工程技术中所使用的交流电也是各式各样的。它具有三大优点：变换容易、输送经济、控制方便，所以已经作为现代国民经济的主要动力。

在稳恒电流中，I —电流、U （E ）—电压（电动势），都是恒定值。但在本章，i —电流、e —电动势、u —电压，都是瞬时值，因为它随时间而变，所以实际上是i （t ）、e （t ）、u （t ）。 3、交变电流的产生机理 要点诠释：

法拉第发现电磁感应定律的最重要的应用就是制成发电机。 （1）发电机的组成

磁极、线圈（电枢）

旋转电枢：通过滑环、电刷通入外电路，一般产生的电压小于500V 旋转磁极：比较常用，几千~几万V

原理：利用线圈在磁场中绕某一固定轴转动，切割磁感线产生感应电动势，继而在闭合回路产生电流

能量转化：机械能→电能 （2）交流电的产生

矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，角速度ω一定。其中ab 、cd 边切割磁感线，且ab 、cd 始终与速度v 垂直，从切割效果看总是两个电源串联，其俯视图为：

第一象限：方向—abcda (磁通量Φ减少)

大小：2sin 2sin sin cd cd od e NBl v NBl l t NBS t θωωωω==?=

第二象限：方向—abcda (磁通量Φ增加)

大小：2sin 2sin()sin()cd cd od e NBl v NBl l t NBS t θωπωωπω==?-=-

sin e NBS t ωω=

依次类推：可得其它象限的情况。总之，sin sin m e NBS t E t ωωω==

与轴的位置无关。

①大小为sin NBS t ωω

②方向取决于角度ωt 0<ωt<π e>0 π<ωt<2π e<0

线圈每经过中性面一次，电流方向改变一次；线圈旋转一周，电流方向改变两次。 ③m E NBS ω=为感应电动势的最大值

④当线圈与中性面重合时（磁场方向与线圈平面垂直），磁通量Φ最大，磁通量的变化率最小，感应电动势最小，磁力矩最小；

当线圈与中性面垂直时（磁场方向与线圈平面平行），磁通量Φ最小，磁通量的变化率最大，感应电动势最大，磁力矩最大。 中性面特点：

（1）磁场方向与线圈平面垂直；（2）穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，电动势为零；（3）线圈每经过中性面一次，电流方向就改变一次。 4、交流电的变化规律 要点诠释：

（1）几个表达式

瞬时值 电动势 e 电流 i 路端电压u 最大值 E m I m U m

若外电阻为R ，电动机内阻为r ，则瞬时值表达式为

sin e NBS t ωω=

sin sin m m E e

i t I t R r R r

ωω=

==++ sin sin m

m RE u iR t U t R r ωω===+

（2）图象

考点二、描述交流电的物理量 要点诠释：

在稳恒电流里用两个物理量（I 、U ）就能描述电路的情况，但在交流电路里，由于电流的大小、方向都在随时间做周期性的变化，所以要描述它们的物理量就要多一些。 1、最大值（I m 、U m ）

指在一周期内所能达到的最大值。

电动势的最大值m E NBS ω=，电流的最大值m m E NBS I R r R r

ω

==++ 电压的最大值m m m R R

U I R NBS E R r R r

ω==

=++

电容器的耐压值应超过交流电压的最大值，才不会被击穿. 2、周期和频率

（1）周期T ：交流电完成一次周期性变化所需要的时间。即：线圈转动一周 （2）频率f ： 1f T

= （3）角速度222f n T

π

ωππ=

== 3、有效值U 、I （不是平均值） 要点诠释：

表示交流电产生的效果。电流的效应有热效应、化学效应、磁效应等。交流电的有效值是根据交流电的热效应来规定的。对交流电来说，有意义的不是其在某一瞬间的瞬时功率，而是它在一个周期内的平均功率。如50Hz 供电的灯泡，虽然其瞬时功率不断变化，但我们感觉不到其亮度的变化，其亮度取决于其平均功率。

（1）定义：让交流电和稳恒电流通过相同的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，则这个稳恒电流的数值就为该交流电的有效值。 （2）正弦交流电的有效值

m E = m I = m U =

即

m E E = m I = m U =

交电流在一周期内的平均功率i P ，

对直流电2

P I R =，对交流电21

)

2i m P I R I R ==

以上公式只适用于正弦交流电。对其它的交流电不适用，在对待非正弦交流电时，有效

值的计算应从其定义出发进行推算，或与正弦交流电的规律进行对比得出。 （3）一般说明交流电的数值，不做特殊说明，都指有效值。例： ①照明电路中的220V 电压 ②额定电压及功率“220V 50W” ③交流电表的指示数值

对纯电阻电路，其计算与直流电的计算类似，但式中各量均代入有效值 U

I R

=

P=UI 4、平均值

物理意义：交变电流图像中图线与时间轴所围成的面积与时间的比值。 计算有关电量时只能用平均值。 E B L v =

E N

t φ

?=? E I R r =+

E N q I t t R r R r

φ?=?=?=++

考点三、电感、电容对交变电流的影响

要点诠释：

电感是“通直流、阻交流，通低频、阻高频” 电容是“通交流、隔直流、通高频、阻低频”

（1）电感对直流的阻碍作用很小所以是“通直流”，而对交流都有阻碍作用，所以“阻交流”；而交流频率越高，电感阻碍作用越大，而对低频阻碍作用较小，所以“通低频，阻高频”； （2）电容对直流来说是断路，而交流可以通过对电容充放电，使电路中有电流，故表现为交流“通过”了电容器，故有“通交流，隔直流”；电容器对交流的阻碍作用与交流的频率有关，频率越高，容抗越小，越易“通过”电容器，而对低频容抗较大，故有“通高频、阻低频”。 【典型例题】

类型一、交流电的产生及描述 【高清课堂：交流电 例1】

例1、如图所示，矩形线圈abcd 在匀强磁场中绕oo′轴匀速转动，产生的交流电动势e =200 sin100πt （V ）。则（ ） A ．此交流电的频率是100Hz

B ．交流电的有效值E V

C ．当频率增加时，电动势的最大值也增大

D ．当穿过线圈平面的磁通量最大时，电动势也最大。

【思路点拨】根据电动势的瞬时值表达式sin e NBS t ωω=进行分析，与已知的交流电动势

e =200 sin100πt （V ）进行对比。 【答案】C

【解析】此交流电的频率100ωπ=，周期22110050T s π

πω

π==

=，频率1

50f Hz T

==，

A 错；交流电的有效值

E =

==，B 错；频率增大，角速度增大，根据电动势的最大值m E NBS ω=可知，频率增大，电动势的最大值也增大，C 对；当穿过线圈平面的磁通量最大时，即处于中性面时，磁通量的变化率为零，电动势为零，D 错，故C 对。

【总结升华】要理解电动势、电流、路端电压瞬时值的物理意义，对最大值与有效值的关系、表征交流电的几个物理量的意义、对中性面的特点必须熟练应用。 举一反三 【变式1】（2016 广西模拟）当摇动如图所示的手摇交流发电机时，发现小灯泡闪烁。此时流过小灯泡的电流是（ ）

A. 交流电

B. 直流电

C. 恒定电流

D. 涡流

【答案】A

【解析】交流电是指电流的方向发生变化的电流，直流电的方向不变，而恒定电流是指大小与方向均不变，涡流是感应电流，而手摇发电机产生的是交流电，A 正确，BCD 错.

故选A 。

【变式2】一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图甲所示。已知发电机线圈内阻为5.0Ω，则外接一只电阻为95.0Ω的灯泡，如图乙所示，则（ ）

A.电压表

的示数为220V

B.电路中的电流方向每秒钟改变50次

C.灯泡实际消耗的功率为484W

D.发电机线圈内阻每秒钟产生的热量24.2J

【答案】D

【解析】A 选项，由图像可知电动势的有效值为220V ，而电压表测量的是路端电压，其大小为220

95209955

E U R V V R r =

=?=++，A 错；B 选项，由图像知交流电的周期为0.02秒，一个周期内电流方向改变两次，频率是50赫兹，故每秒钟电流方向改变100次，B 错；C 选项，灯泡的实际功率2

22

220()()95459.8955

E P I R R W W R r ==?=?=++，C 错；D 选项，由焦耳定律得2

2

220()5124.2955

Q I rt J J ==??=+，D 对，故正确选项为D 。 类型二、交流电的图像分析

例2、在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转动轴匀速转动，如图甲所示。产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示。则下列说法正确的是( )

A. t =0.01s 时穿过线框的磁通量最小

B. 该交变电动势的有效值为

C. 该交变电动势的瞬时值表达式为)V e t =π

D. 电动势瞬时值为22V 时，线圈平面与中性面的夹角为45°

【答案】D

【解析】t =0.01s 时，感应电动势为零，穿过线框的磁通量最大，选项A 错误；该交变电动势的有效值为22V

U =

=，选项B 错误；该交变电动势的瞬时值表达式为 2

)V e t t T

=π

π，

选项C 错误；电动势瞬时值为22V 时，sin(100)2

t =

π，线框平面与初始位置所在平面的夹角为45°，与中性面的夹角也为45°，故选项D 正确。

举一反三

【变式1】一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图所示。由图可知（ ） A ．该交流电的电压瞬时值的表达式为u=100sin(25 t)V B ．该交流电的频率为25 Hz

C ．该交流电的电压的有效值为

D ．若将该交流电压加在阻值为R=100Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W

【答案】BD

【解析】由图读出电压的最大值为100V ，周期0.04秒，有效值为，频率为25 Hz ，

角速度2500.04

π

ωπ=

= /rsd s ，电压瞬时值的表达式为u=100sin( 50 π t )，AC 错B 对；

电阻消耗的功率为有效值，故要计算功率的有效值，22

50100

U P W W R ===，D 对，故正确选项为BD 。

【变式2】电阻R 1、R 2交流电源按照图1所示方式连接，R 1=10Ω，R 2=20Ω。合上开关后S 后，通过电阻R 2的正弦交变电流i 随时间t 变化的情况如图2所示。则（ ）

A 、通过R 1的电流的有效值是1.2A

B 、R 1两端的电压有效值是6V

C 、通过R 2的电流的有效值是 A

D 、R 2两端的电压有效值是V 【答案】B

类型三、非正弦交流电有效值的计算 【高清课堂：交流电 例4】

例3、如图1、2表示交流电的电流随时间变化的图像，分别求出它们的有效值。

【思路点拨】以上三图都不是正弦交流电，其有效值的计算要根据有效值的定义；某交流电的有效值等于与之在相同时间内，在等值电阻上产生相同热量的直流电的数值。根据焦耳定律计算。

【答案】（1）5I A =；（2）I =

；（3）

【解析】（1）根据焦耳定律，交流电在一个周期内产生的热量相等

由于正负半周的时间相等，都用二分之一周期表示，可以认为正负半周都是直流电

22222

T T

I RT R R =?

+?，216925I =+= 所以该交流电流的有效值为5I A =.

（2）可以认为正负半周都是正弦交流电，最大值不同，有效值不同

222

22T T

I RT R R =?+?，2145I =+=

所以该交流电流的有效值为I =

.

【总结升华】对于非正弦交流电，其有效值的计算必须根据有效值的定义计算。 举一反三

【变式1】（2015 四川卷）小型手摇发电机线圈共N 匝，每匝可简化为矩形线圈abcd ，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO ′，线圈绕OO ′匀速转动，如图所示。矩形线圈ab 边和cd 边产生的感应电动势的最大值都为e 0，不计线圈电阻，则发电机输出电压

A ．峰值是e 0

B ．峰值是2e 0

C ．有效值是02

2

Ne D ．有效值是02Ne

【答案】D

【解析】由题意可知，线圈ab 边和cd 边产生的感应电动势的最大值都为e 0，因此对单匝矩形线圈总电动势最大值为2e 0，又因为发电机线圈共N 匝，所以发电机线圈中总电动势最大值为2Ne 0，根据闭合电路欧姆定律可知，在不计线圈内阻时，输出电压等于感应电动势的大小，即其峰值为2Ne 0，故选项A 、B 错误；又由题意可知，若从图示位置开始计时，

发电机线圈中产生的感应电流为正弦式交变电流，由其有效值与峰值的关系可知，

U =，

即0U =，故选项C 错误；选项D 正确。

【考点】对正弦式交变电流的产生原理的理解，以及其四值运算、闭合电路欧姆定律的应用。

【变式2】如图（甲）所示，为电热毯的电路图，电热丝接在u =311sin 100πt V 的电源上， 电热毯被加热到一定温度后，通过装置P 使输入电压变为图（乙）所示的波形，从而进入 保温状态，若电热丝电阻保持不变，此时交流电压表的读数是 （ ）

A.110 V

B.156 V

C.220 V

D.311 V 【答案】B

【解析】202

U T T R =+，222202U =

所以该交流电流的有效值为156

U V ===。故B 对。

类型四、电感、电容对交变电流的影响

例4、如图所示，当交流电源的电压（有效值）U=220 V ，频率f=50 Hz ，3只灯L 1、L 2、L 3的亮度相同（L 无直流电阻），若将交流电源的频率变为f =100 Hz ，则（ ）

A ．L 1灯比原来亮

B ．L 2灯比原来亮

C ．L 3灯和原来一样亮

D ．L 3灯比原来亮

【思路点拨】当交流电源的电压的有效值不变时而频率改变时，会导致电感线圈对电流阻碍发生变化（变大），电容对电流阻碍发生变化（变小）。 【答案】AC 【解析】交流电源的频率变大时电容器对电流阻碍作用变小，即容抗变小，相当于电阻变小，而电压不变，与电容器串联的L 1灯比原来要亮；频率变大时电感对电流阻碍作用变大，即感抗变大，相当于电阻变大，而电压不变，与电感线圈串联的L 2灯比原来要暗；对纯电阻而言，频率变化对其没有影响，L 3灯和原来一样亮。故正确选项为AC 。

【总结升华】保持电压的有效值不变，只改变电源的频率，对电感线圈而言，电感的感抗变大，相当于电阻变大。对电容器而言，电容器的容抗变小，相当于电阻变小。要注意总结与区别。 举一反三

【变式】两个相同的白炽灯L 1和L 2接到如图所示的电路中，灯L 1与电容器串联，灯L 2 与电感线圈串联接到电路中，当a 、b 处接电压最大值为U m 、频率为f 的正弦交流电源时，两灯都发光，且亮度相同。更换一个新的正弦交流电源后灯L 1的亮度大于灯L 2的亮度，新电源的电压最大值和频率可能是（ ）

A. 最大值仍为U m ，而频率大于f

B. 最大值仍为U m ，而频率小于f

C. 最大值大于U m ，而频率仍为f

D. 最大值小于U m ，而频率仍为f 【答案】A

【解析】若新电源两极的电压最大值小于U m ，而频率f 不变，则感抗和容抗不变，L 1、L 2应同时亮度减小，故C 、D 错。而当U m 不变，频率大于f 时，感抗增大，容抗减小，则L 1的亮度应大于L 2的亮度，故A 对B 错，选A 。

类型五、交流电的计算

例5、如图所示为交流发电机示意图，匝数为n =100匝的矩形线圈，边长分别为 10 cm 和

20 cm ，内阻为 5Ω，在磁感应强度B =0.5 T 的匀强磁场中绕OO ′轴以 rad/s 的角速度匀速转动，转动开始时线圈平面与磁场方向平行，线圈通过电刷和外部 20Ω的电阻R 相接。求电键S 合上后，

（1）写出线圈内产生的交变电动势瞬时值的表达式 （2）电压表和电流表示数；

（3）电阻R 上所消耗的电功率是多少？

（4）如保持转子匀速转动，外力每分钟需要对转子所做的功； （5）从计时开始，线圈转过3/π的过程中，通过外电阻R 的电量。

【思路点拨】根据题目所给数据，首先求出电动势的最大值（当然也可以不求出），再写出交变电动势的瞬时值的表达式，电压表和电流表的读数为有效值，求出电压电流的有效值。求通过线圈截面的电量要用平均值，求功又要用有效值。

【答案】（1）cos m e E t ω== V （2）2.0 A ；40 V. （3）80 W. （4）6.0×103J （5）2

3.510q C -=? 【解析】（1）感应电动势最大值

m E nBS ω==100×0.5×0.1×0.2×V

故交变电动势瞬时值的表达式为

cos m e E t ω== V

（2）感应电动势有效值

E =

=50 V .

电键S 合上时，由全电路欧姆定律 50

205

E I R r =

=

++ A=2.0 A ， U =IR =2×20 V=40 V . 即电流表示数为 2 A ，电压表示数为 40 V. （3）电阻R 上所消耗的电功率 P =IU =2×40 W=80 W.

（4）由能量守恒定律可知，外力驱动线圈所做的功将消耗的外界能量全部转化为回路中的电能，进一步转化为回路中产生的内能，能量必须用有效值计算 W=Q =I 2(R+r) t=22×(20+5) ×60J=6.0×103J （5）由法拉第电磁感应定律，E n

t

φ

?=?

电量2sin

1000.50.023253.510nBS E n q I t t R r R r

R r C

π

φ-???=?=

?===+++=? 【总结升华】解答交流电路计算题的基本程序：写出角速度ω，求出电动势的最大值和有

效值，写出电动势的瞬时值表达式，若从中性面开始计时，为正弦函数，若从磁场方向与线圈平面平行的位置开始计时则为余弦函数，应用闭合电路的欧姆定律求出电流的有效值，再求外电路的电压，若求功率、热量必须用有效值，若求电量必须用平均值。 举一反三

【变式】如图所示，矩形线圈abcd 在磁感应强度B=2 T 的匀强磁场中绕轴OO ＇以角速度ω=10π rad / s 匀速转动，线圈共10匝，电阻为r =5Ω，ab =0.3 m ，bc=0.6 m ，负载电阻R=45Ω。求（1）电阻R 在0.05 s 内所发出的热量

（2）在0.05 s 内流过电阻R 上的电量（设线圈从垂直中性面开始转动）。

【答案】（1）5.76 J （2）0.072C

【解析】求热量要用有效值，求电量必须用平均值。

（1）电动势的最大值：1020.30.610113m E NBS V ωπ==????= 电流的有效值：

1.6I A =

==

221.6450.05 5.76Q I Rt J J ==??=

（2）线圈在0.05秒内转过的角度：100.052

t π

θωπ==?=

，即90

磁通量的变化量：BS φ?=, Q It =

E n

t

φ

?=? ()E I R r =+

联立解得 1020.30.6

0.072455

n nBS Q C C R r R r φ????====+++.