2019-2020年初三中考数学总复习 代数综合题复习(文字稿 答案)
2019-2020年初三中考数学总复习 代数综合题复习（文字稿 答案）
一、2014年考试说明中与代数综合题有关的C 级要求：
数与代数式：运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题； 方程与不等式：运用方程与不等式的有关内容解决有关问题；
一次函数：运用一次函数、方程、不等式的有关内容解决有关问题； 二次函数：运用二次函数的有关内容解决有关问题。 及与几何图形有关的很多C 级要求。
这些考试说明的C 级要求意味着代数综合题有很多的题型可以选择！
面对今年难度很可能会降低的背景下，我们备课组对综合题的复习策略大致是：先是针对近几年的北京中考的代数综合题有针对性的重点复习，再分析2013、2014年的一模、二模的代数综合题涉及到的各种问题进行复习，最后借鉴外地中考中出现的与代数综合题有关的问题。
因为难度的降低，我们认为：复习中让学生多了解一些处理问题的方式方法，重在常见方法的落实和计算的准确！
因为代数综合题中涉及到的基本问题的求解在各章节复习中已经涉及到了，所以我对综合题的分类是以每题的核心问题为主的，但在学生练习时还是要带着前面的基本问题。
二、复习中需要注意的细节：
1、审题：前“二”后“两”、关于“y 轴”翻折、将x 轴“下方”的部分如何如何、A
点在B 点的左侧、正．
整数解、不与C 、D 两端点重合、不包括边界、点A 停止时点B 亦停止、给定区间……（13分高媛老师）
2、注意隐含条件或前提：一次函数、反比例函数、二次函数（抛物线）的定义中隐含
不为0的式子，用△的前提，简单综合条件得到的范围等等； 3、积累基本问题的解法：如:
（1）求线段长——纵坐标“上减下”或横坐标“右减左”，不用带绝对值 （2）动点坐标化，根据象限，字母隐含取值范围
（3）几何元素（面积、线段长）转到坐标时，带绝对值可弥补因作图不全而丢失的
解
（4）求某点坐标，除了动点坐标化，寻找几何条件列方程外，还有“由点及线”，
两函数联立求交点的方法
（5）三定一动定平四；两定两动定平四——定边、定距离
（6）草图尽量准确，平移（转动）尺子，动态模拟运动变化的过程
（13分高媛老师）
另外，整数根问题、根的分布问题、距离最短问题、恒成立问题、单调性问题等等 4、点题：做完每一问或每一题后，要养成点题的习惯，回头看一下自己所求的是否是
题目所求，特别是求字母的值或范围时，要重点注意题目所给的范围或隐含范围及前提范围，千万别忘了综合。
三、北京近些年的中考代数综合题：
06、07年都是重点考察几何综合题的，没有像现在的代数综合题； (08)23．已知：关于x 的一元二次方程2
(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且
212y x x =-，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤． （1）证明：
2(32)220mx m x m -+++=是关于x 的一元二次方程，
222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴?=-+-+=++=+．
当0m >时，2
(2)0m +>，即0?>．
∴方程有两个不相等的实数根． ······················· 2分
（2）解：由求根公式，得(32)(2)
2m m x m
+±+=．
22
m x m
+∴=
或1x =． ·························· 3分 0m >，
222(1)1m m m m
++∴=>．
12x x <，
11x ∴=，222
m x m +=
． ·························· 4分 21222
221m y x x m m
+∴=-=-?=．
即2(0)y m m =>为所求． ······· 5分
（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出
2
(0)y m m
=>与2(0)y m m =>的图象．
··················· 6分 由图象可得，当1m ≥时，2y m ≤．··· 7分
(09)23．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次
函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位， 求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在
0)
x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持
不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图 象回答：当直线1
(2
y x b b k =
+＜)与此图象有两 个公共点时，b 的取值范围．
(10)23. 已知反比例函数y =
x
k
的图像经过点A (-3，1)。 (1) 试确定此反比例函数的解析式；
(2) 点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30?得到线段OB 。判断点B 是否
在此反比例函数的图像上，并说明理由； (3) 已知点P (m ，3m +6)也在此反比例函数的图像上(其中m <0)，过P 点作x 轴的
垂线，交x 轴于点M 。若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是2
1
，设Q 点的纵坐标为n ， 求n 2
-23n +9的值。
(11)23. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点
（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。 （1）求点A 的坐标；
（2）当45ABC ∠=?时，求m 的值；
（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个 动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个 一次函数的图象于点M ，交二次函数
2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N 。若只有当
22n -<<时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的
解析式。
(12)23．已知二次函数23
(1)2(2)2
y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。 （1） 求二次函数的解析式；
（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过
点(3)A m -，，求m 和k 的值；
（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的
图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
解：（1）由题意得233(1)22(2)222
t t +?++?+=. 解得3
2
t =-.
∴二次函数的解析式为213
22
y x x =-++.
（2）点(3)A m -，在二次函数213
22y x x =-++的图象上，
213
3)(3)622
m ∴=-?(-+-+=-.
∴点A 的坐标为(36)--，.
点A 在一次函数6y kx =+的图象上，
∴4k =.
（3）由题意，可得点B C ，的坐标分别为(10)(30)-，，，. 平移后，点B C ，的对应点分别为
'(10)'(30) B n C n ---，，，.
将直线46y x =+平移后得到直线 46y x n =++.
如图1，当直线46y x n =++经过 点'(10) B n --，时，图象G （点'B 除外） 在该直线右侧，可得2
3
n =
； 如图2，当直线46y x n =++经过 点'(30) C n -，时，图象G （点'C 除外）
在该直线左侧，可得6n =.
∴由图象可知，符合题意的n 的取值范围是
2
63
n ≤≤.
（13）23．在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222
--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交
于点A ，其对称轴与x 轴交于点B. （1）求点A ，B 的坐标；
（2）设直线与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的
解析式；
（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线的上方，并且
图2
图1
在32< (14)23在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2 +mx+n 经过点A(0，-2)，B(3，4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是 抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）. 若直线CD 与圉象G 有公共点，结合函数 图象，求点D 纵坐标t 的取值范围 . 可以看出：08年是考察反比例函数与一次函数的图像位置关系的；10年是面积问题，09、11、12、13、14年全是考察图像与图像的交点的位置和个数问题的。 因此，在2013年的各区一模、二模试题中，有7个模拟题是图像与图像的交点的位置和个数问题的，另外还有不少模拟题涉及相似、平行四边形、直角三角形、代数式的求值、整数根、根的分布、线段长度面积、消参数、单调性、关于直线y=-x 对称。 而到2014年的各区一模、二模试题中，有14个模拟题是图像与图像的交点的位置和个数问题的，另外还有涉及抛物线区间最值、整数根、与角有关、线段长面积的问题。 在2014外地中考试题中，除了以上问题，还有涉及过格点的（类似西城期末8）、证明线段平行、垂直的、矩形的性质、距离和最小、现场学习、新定义、实际问题等。 对于函数图像与图像的交点问题，题目很多，学生也比较顺手，可用中考题为例练习即可，下面列举别的一些问题，每种给出一两个例题，希望能对大家的复习有所帮助。 四、供参考的代数综合题例题 （一）抛物线区间最值：分类思想，类似有定轴动区间的分类。 例1、（2014年密云一模）23. 已知抛物线2 32y ax bx c =++ （1）若1,1a b c ===-求该抛物线与x 轴的交点坐标； （2）若1 3a = 2c b =- ，证明抛物线与x 轴有两个交点； （3）若1 ,23 a c b ==+且抛物线在22x -≤≤区间上的最小值是-3，求b 的值. （1）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， ∵方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，3 1 2= x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103?? ??? ， ． --------2分 （2）22 221 ,2,22 3 0,22448 (21)7............................................4a c b y x bx b y x bx b =0b b b ==-=++-=++-=-+=-+当时抛物线的解析式为设得分 所以抛物线与x 轴有两个交点 （3）1 ,23 a c b = -=，则抛物线可化为222y x bx b =+++，其对称轴为x b =-， 当2x b =--＜时，即2b >，则有抛物线在2x =-时取最小值为-3，此时 -2 3(2)2(2)2b b =-+?-++，解得3b =，合题意---5分 当2x b =-＞时，即2b <-，则有抛物线在2x =时取最小值为-3，此时 -232222b b =+?++，解得9 5 b =- ，不合题意，舍去.- --6分 当2b --≤≤2时，即2b -≤≤2，则有抛物线在x b =-时取最小值为-3，此时 2 3()2()2b b b b -=-+?-++，化简得：250b b --=，解得 ： 12 b += （不 合题意，舍去），12 b -= . --------------7分 综上：3b = 或b = （二）整数根问题： 一般考虑顺序：能因式分解的先分解表示出根，用△是非负数求范围再求整数值验证，用△是平方数求出整数值再验证，个别反解分离后求解等。 例2、（2014年朝阳一模）23．已知关于x 的一元二次方程 23(1)230mx m x m -+++=. （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值． 解：（1）由题意 m ≠ 0， …………………………… 1分 ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ △>0． ……………………………… 2分 即 22[3(1)]4(23)(3)0m m m m -+-+=+>． 得 m ≠﹣3． ……………………… 3分 ∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3； （2）设y =0，则23(1)230mx m x m -+++=． ∵ 2 (3)m ?=+， ∴ 33(3) 2m m x m +±+=． ∴ 123 m x m += ，21x =．…………… 5分 当 123 m x m += 是整数时， 可得m =1或m =-1或m =3．………………… 6分 ∵ 4x <， ∴ m 的值为﹣1或3 ． ……………… 7分 （三）根的分布问题：数形结合思想。 考试说明中没有根与系数的关系（韦达定理），因此若不能分解表示根时，一般要用二次函数的图形（△，对称轴、特殊点的函数值）来解决。 例3、（2013年房山二模）23.已知二次函数217 =22 y x kx k ++ -． （1）求证：不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点； （2）若该二次函数的图象与x 轴的两个交点在点A （1，0）的两侧，且关于x 的一元二次 方程k 2x 2 ＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根，求k 的整数值； （3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋k )x ＋2a －k 2 ＋6 k －4=0 有大于0且 小于3的实数根，求a 的整数值． （1）证明：△1=2221 74421422 b a c k k k k ==+----（） 22 2113=113k k k =++-+-（）＞0 ∴不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点 -------------1 分 （2）∵二次函数217 =22 y x kx k ++ -的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧， 且二次函数开口向上 ∴当x=1时，函数值y ＜0, 即 17122 k k ++-＜0，解得k ＜ 5 3 -----------------------------2分 ∵关于x 的一元二次方程k 2x 2 ＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根 ∴k ≠0且△2=22 2224234=41294=129b ac k k k k k k = +++--+-（）＞0 ∴k ＞3 4 - 且k ≠0 ------------------------------------4分 ∴34-＜k ＜ 5 3 且k ≠0 ∴ k=1 --------------------------------5分 （3）由（2）可知，k=1 ∴x 2 ＋2(a ＋1)x ＋2a ＋1=0 解得x 1=-1，x 2=-2a-1 ---------------------------------6分 根据题意，0＜-2a-1＜3 ∴122 a -- ＜＜ ∴a 的整数 值 为 -1. -------------------------------7分 例4、（2013年平谷一模）23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况； （2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于 3 2 ，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值． 解：（1）2242(1)8.m m ?=-??-=+ …….…………………………………………….1分 ∵ 20,m ≥ ∴ 280.m ?=+> 所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分 (2)设2 21y x mx =+-． ∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和 3 2 之间， ∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ． 当32x =时，0y >，即：93 1022m +->． ∴ 1 213 m -<<． (3) 分 ∵ m 为整数， ∴ 210m =--，，． (4) 分 ① 当2m =-时，方程2 22104812x x --=?=+=，， 此时方程的根为无理数，不合题意． ②当0m =时，方程2 210x -=，2 x =± ，不符合题意． ③当1m =-时，方程2121 21012 x x x x --==-=，，，符合题意． 综合①②③可知，1m =-． (7) 分 备用图 （四）与角有关的问题：转化思想。 考虑特殊的边角关系，直线的特殊斜率对应的特殊角，等角、互余角、互补角的转化，用角的三角函数值说明等角，用圆中同弧所对圆周角相等确定角的顶点的位置，等等 例5、（2014年平谷二模）23．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数2 11y x mx m =-+-的图象1C 经过 2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点． ①求这个二次函数的解析式； ②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围． （1）证明：在210x mx m -+-=中， 24(1)m m ?=-- 2244(2)m m m =-+=------1分 ∵当m 取任何值时，2 (2)0m -≥， ∴无论m 取任何实数时，方程总有实数根．-------2分 （2）①∵抛物线2 11y x mx m =-+-过点2 (1 68)k k k --+，和 点2 (568)k k k -+-+，． ∴抛物线2 11y x mx m =-+-对称轴为：(1)(5) 22 k k x -+-+= = ∴22 m x = =，得4m =． ∴2 143y x x =-+----------------5分 ②a ≤≤分 例6、（2014?湖北荆门,第23题10分）已知：函数y=ax 2 ﹣（3a+1）x+2a+1（a 为常数）． （1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2﹣x1=2． ①求抛物线的解析式； ②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解． （2）①函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系．因为x2﹣x1=2，则可平方，用x1+x2，x1x2表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式． ②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得． 解答：解：（1）函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）， 若a=0，则y=﹣x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）； 若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=﹣，有两个交点（0，0），（1，0）； 若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有： △=（3a+1）2﹣4a（2a+1）=0，解得a=﹣1，有两个交点（0，﹣1），（1，0）． 综上得：a=0或﹣或﹣1时，函数图象与坐标轴有两个交点． （2）①∵函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点， ∴x1，x2为ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的两个根， ∴x1+x2=，x1x2=，（可因式分解表示根会更简单些） ∵x2﹣x1=2， ∴4=（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣4?， 解得a=﹣（函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1， ∴y=x2﹣4x+3． ②∵函数y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2， ∴A（1，0），B（3，0），C（0，3）， ∵D为A关于y轴的对称点， ∴D（﹣1，0）． 根据题意画图， 如图1，过点D作DE⊥CB于E， ∵OC=3，OB=3，OC⊥OB， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠CBO=45°， ∴△EDB为等腰直角三角形， 设DE=x，则EB=x， ∵DB=4， ∴x2+x2=42， ∴x=2，即DE=2． 在Rt△COD中， ∵DO=1，CO=3， ∴CD==， ∴sin∠DCB==． 点评：本题考查了二次函数图象交点性质、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目． （五）距离和最小问题： 例7、(2014年湖北咸宁23．（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点， l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H． 【探究】 （1）填空：当m=0时，OP=，PH=；当m=4时，OP=，PH=； 【证明】 （2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． 【应用】 （3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，﹣1），则OP，PH 长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=y P﹣（﹣2）． （2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=﹣1的点，一般可设（m，﹣1）．类似（1）利用勾股定理和PH=y P﹣（﹣2）可求出OP与PH，比较即得结论． （3）考虑（2）结论，即函数y=﹣1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B 两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6． 解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5． 如图1，记PH与x轴交点为Q， 当m=0时，P（0，﹣1）．此时OP=1，PH=1． 当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4， ∴OP==5，PH=y P﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5． （2）猜想：OP=PH． 证明：过点P作PQ⊥x轴于Q， ∵P在二次函数y=﹣1上， ∴设P（m，﹣1），则PQ=|﹣1|，OQ=|m|， ∵△OPQ为直角三角形， ∴OP=====， PH=y P﹣（﹣2）=（﹣1）﹣（﹣2）=， ∴OP=PH． （3）解： 如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离． 则有OB=BD ，OA=AC ， 在△AOB 中， ∵OB+OA ＞AB ， ∴BD+AC ＞AB ． 当AB 过O 点时， ∵OB+OA=AB ， ∴BD+AC=AB ． 综上所述，BD+AC ≥AB ， ∵AB=6， ∴BD+AC ≥6，即A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为6． 点评： 本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习． （六）新定义问题： 例8、（2014?江西，第24题8分）如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。 （1）抛物线2 12 y x = 对应的碟宽为____；抛物线24y x =对应的碟宽为_____；抛物线2 y ax =（a>0）对应的碟宽为____；抛物线2 (2)3(0)y a x a =-+>对应的碟宽____； （2）若抛物线25 4(0)3 y ax ax a =-- >对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线2 (0)n n n n n y a x b x c a =++>的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…）， 定义F 1，F 2，…..F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若F n 与F n-1的相似比为 12 ，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1. ①求抛物线y 2的表达式 ② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。则h n =_______,F n 的碟宽右端点横坐标为_______；F 1，F 2，….F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。 解：（1）4、12 、2a 、2a . ∵a ＞0，∴y=ax 2 的图象大致如图1，其必经过原点O. 记线段AB 为其准蝶形碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA ，OB ． ∵△OAB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴， ∴OC ⊥AB ， ∴∠AOC=∠BOC ＝12 ∠AOB ＝1 2 ×90°=45°， 即△AOC=△BOC 亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC ． ∴A A B B x y x y ==，，即A 、B 两点x 轴和y 轴坐标绝对值相同． 代入2 y ax =，得方程2x ax =，解得1 x a =. ∴由图像可知，A （－1a ，1a ），B （1a ，1a ），C （0，1 a ）， 即AC=OC=BC ＝1a ， ∴AB= 1a ·2＝2a ， 即2 y ax =的碟宽为AB ＝ 2 a . ∴①抛物线y=12 x 2对应的1a 2=，得碟宽2 a =4； ②抛物线y=4x 2 对应的a=4，得碟宽 2a =1 2 ； ④抛物线y=a （x-2）2 +3（a ＞0）可看成y=ax 2 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形， ∵平移不改变形状、大小、方向， ∴抛物线y=a （x-2）2 +3（a ＞0）的准碟形≌抛物线y=ax 2 的准碟， ∵抛物线y=ax 2 （a ＞0），碟宽为 2a ， ∴抛物线y=a （x-2）2 +3（a ＞0），碟宽为2a . （2）解法一： ∵y=ax 2―4ax －53 ＝a(x －2)2 －（4a ＋53 ) ∴同（1）得其碟宽为2 a ， ∵y =ax 2 ―4ax －53 的碟宽为6， ∴2a =6，解得，a=13 . ∴y ＝13(x-2)2 -3． 解法二： ∵254(0)3y ax ax a =-- >可得，25(2)43 y a x a =---， 又已知碟宽在x 轴上， ∴碟高＝543a -- ＝62 =3，解得a ＝±13 ， 又∵a ＞0，a ＝－ 13 错误！未定义书签。不合题意舍去，∴a 1＝1 3 . (3) ①解法一： ∵F 1的碟宽︰F 2的碟宽=2：1， ∴ 12 22 2:1a a =: ∵11a ,3 = ∴22a .3= ∵2 11y x 233 =--（）的碟宽AB 在x 轴上（A 在B 左边）， ∴A （-1，0），B （5，0）， ∴F 2的碟顶坐标为（2，0）， ∴222 y x 23 =-（） 解法二： ∵215 (2)43 y a x a =---，a ＝13 ， ∴211 (2)33 y x = --， 即碟顶1M 的坐标为（2，－3）. ∵2F 的碟顶是的碟宽的中点，且1F 的碟宽线段在x 轴上， ∴2F 的碟顶2M 的坐标为（2,0），设2 22(2)y a x =-， ∵2F 与1F 的相似比为1 2 ，1F 的碟宽为6， ∴2F 的碟宽为6× 12＝3，即22a ＝3，2a ＝2 3 . ∴22222222288(2)(2)(44)33333 y a x x x x x x =-=-=-+=-+. ②∵n F 的准碟形为等腰直角三角形， ∴n F 的碟宽为2n h ， ∵ n n 12h 1 2h 2 -= ∴231n n 1n 2n 311111 h h ()h ()h ...()h 2222 n ----= ====. ∵1h =3， ∴n 1 n 1 h 2 -=（） ·3. ∵n h ∥n 1h -，且都过n 1F -的碟宽中点， ∴123n 1n h h h h h -?，，， ，，都在同一条直线上， ∵1h 在直线x=2上， ∴123n 1n h h h h h -?，，， ，，都在直线x=2上， ∴n F 的碟宽右端点横坐标为2+n 1 1 2 -（） ·3. F 1，F 2，…，F n 的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5． 理由： 考虑F n-2，F n-1，F n 情形，关系如图2， F n-2，F n-1，F n 的碟宽分别为AB ，DE ，GH ； 且C ，F ，I 分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上， 连接右端点，BE ，EH ． ∵AB ∥x 轴，DE ∥x 轴，GH ∥x 轴， ∴AB ∥DE ∥GH ， ∴GH 平行相等于FE ，DE 平行相等于CB ， ∴四边形GFEH 、四边形DCBE 都是平行四边形， ∴HE ∥GF ，EB ∥DC ， ∵∠GFI=12 ?∠GFH= 1 2 ?∠DCE=∠DCF ， ∴GF ∥DC ， ∴HE ∥EB ， ∵HE ，EB 都过E 点， ∴HE ，EB 在一条直线上， ∴n 2n 1n F F F --，，的碟宽的右端点是在一条直线， ∴12n F F F ?，， ，的碟宽的右端点是在一条直线． 根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知 2 11=x 233 --y （）准碟形右端点坐标为（5，0）， 2 22=x 23-y （） 准碟形右端点坐标为2121112()3,()322--??+?? ??? ，即(3.5，1.5) ∴待定系数可得过两点的直线为y=－x+5， ∴F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上． 【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊 直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。 （七）代数式求值： 例9、（2013西城一模）23．已知关于x 的一元二次方程2 2(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 抛物线2 1:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为 2 a ，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移1 8 个单位，得到抛物线2C ．求抛物 线2C 的解析式； (3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式 33222m mn n -+的值． 2019-2020年中考数学模拟试题（含答案） （九年级备课组制） 一、选择题（3×7=21分） 1．－2的倒数是（ ） A ．12- B ．1 2 C ． 2 D ．－2 2．下列运算正确的是（ ） A ．5510x x x += B ．5510· x x x = C ．5510()x x = D ．20210x x x ÷= 3．下图中所示的几何体的主视图是（ ） 4．不等式组? ??>->-030 42x x 的解集为（ ） A ．x ＞2 B ．x ＜3 C ．x ＞2或 x ＜－3 D ．2＜x ＜3 5、若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象只可能是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 6、如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB ＝16cm ，OD=6cm ，那么⊙O 的半径是（ ） A 、5 cm B 、10 cm C 、20 cm D 、12 cm 7．如图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米 到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D A ． B ． C ． D ． 二、填空题（7×3=21分） 8．分解因式：21x -= ． 9．如图，直线a b ，被直线c 所截， 若a b ∥，160∠=°，则2∠= °． 10．2010年我国西南部发生特大干旱，5200万人饮水困难，5200万人用科学记 数法表示 人． 11．函数1 3 y x = -中，自变量x 的取值范围是 ． 12．为响应国家要求中小学生每天锻炼1小时的号召，某校开展了形式多样的“阳 光体育运动”活动，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的图1和图2，则图2中“乒乓球”部分占 （填百分数）． 13．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为2时，输出的数值 是 ． 14.如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP △≌△， 则需添加的一个条件是 ． （只写一个即可，不添加辅助线） 三、解答题 15、（本小题7分）先化简， A B P O 图1 图 2 输入x (2)?- 4+ 输出 1 2 c a b 2019学年初三数学专题复习因式分解含答案 一、单选题 1.多项式﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2分解因式时，应先提的公因式是（） A. 3xy B. ﹣3x2y C. 3xy2 D. ﹣3x2y2 2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（） A. a2+（-b）2 B. 5m2-20mn C. -x2-y2 D. -x2+9 3.多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为（） A. 3xy B. ﹣3x2y C. 3xy2 D. 3x2y2 4.下列四个多项式，哪一个是2X2+5X-3的因式？（） A. 2x－1 B. 2x－3 C. x－1 D. x－3 5.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（） A. x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x B. （x+5）（x-2）=x2+3x-10 C. x2-8x+16=（x-4）2 D. 6ab=2a.3b 6.观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( ) A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200 B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200 C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200 D. 962×95+962×5＝91390+4810＝96200 7.把代数式xy2﹣9x分解因式，结果正确的是（） A. x（y2﹣9） B. x（y+3）2 C. x（y+3）（y﹣3） D. x（y+9）（y﹣9） 8.计算（﹣2）2002+（﹣2）2001所得的正确结果是（） A. 22001 B. ﹣22001 C. 1 D. 2 9.下列分解因式错误的是（） A. 15a2+5a=5a（3a+1） B. ﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x） C. ax+x+ay+y=（a+1）（x+y） D. ﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2 10.下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（） A. x2﹣y B. x2+2x C. x2+y2 D. x2﹣xy+y2 11.下列由左边到右边的变形，属于分解因式的变形是（） A. ab+ac+d=a（b+c）+d B. a2﹣1=（a+1）（a﹣1） C. 12ab2c=3ab?4bc D. （a+1）（a﹣1）=a2﹣1 12.分解因式（a2+1）2﹣4a2，结果正确的是（） A. （a2+1+2a）（a2+1﹣2a） B. （a2﹣2a+1）2 C. （a﹣1）4 D. （a+1）2（a﹣1）2 13.把x2﹣xy2分解因式，结果正确的是（） A. （x+xy）（x﹣xy） B. x（x2﹣y2） C. x（x﹣y2） D. x（x﹣y）（x+y） 2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1 【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． 人教版初中数学代数式技巧及练习题含答案 一、选择题 1．下列命题正确的个数有（） ①若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10； ②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形； ④黄金分割比的值为≈0.618. A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断； 【详解】 ①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形； ③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形； ④正确．黄金分割比的值为≈0.618；故选C． 【点睛】 本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、、299、2100，若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（） A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a 【答案】C 【解析】 【分析】 由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2，那么250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【详解】 解：∵2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2； … 大连市2019年中考数学模拟试卷及答案 （全卷共120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，有且只有．．．． 一个是正确的） 1. 据国家新闻出版广电总局电影局数据，2017年国庆中秋节假期全国城市影院电影票房约26亿元， 总票房创下该档期新纪录，26亿用科学记数法表示正确的是 A.26×108 B.2.6×10 8 C.26×109 D.2.6×109 2．－sin60°的倒数为 A ．－2 B ．21 C ．－33 D ．－233 3. 如右图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是 A ．圆柱体 B ．三棱锥 C ．球体 D ．圆锥体 4．用反证法证明：如果AB ⊥CD ，AB ⊥EF ，那么CD ∥EF ．证明该命题的第一个步骤是 A ．假设CD ∥EF B ．假设AB ∥EF C ．假设C D 和EF 不平行 D ．假设AB 和EF 不平行 5．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+2x+1=0有两个实数根，则a 的取值范围为 A ．a ≤2 B ．a ＜2 C ．a ＜2且a ≠1 D ．a ≤2且a ≠1 6．矩形具有而平行四边形不一定．．． 具有的性质是 A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角相等 7．下列运算正确的是 A 2=± B ．236x x x ?= C D ．236()x x = 8．下列说法正确的是 A ．一个游戏的中奖概率是10 1，则做10次这样的游戏一定会中奖 B ．多项式22x x -分解因式的结果为(2)(2)x x x +- C ．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8 D ．若甲组数据的方差S 2甲=0.1，乙组数据的方差S 2 乙=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 2008年中考数学总复习策略 一、中考数学总复习策略 （一）做好复习前的准备工作 1、科学制定复习计划 复习计划指学科组复习计划、教师个人复习计划、学生自己复习计划。 复习计划要结合本学校实际、学生实际，复习计划包括时间安排、阶段要求、采取的措施、想要达到的效果等。 2、加强学科内集体研究 中考数学复习时间紧、任务重，知识点比较分散，要在有限的时间里提高复习效果，我认为必须加强集体的力量，进行集体研究。 （二）阶段复习的具体措施 第一阶段：单元复习阶段——全面复习夯实基础沟通联系 时间：3月中旬——5月上旬。 要求：以“中考纲要”为标准，以“单元”、“章节’为顺序，重视基础知识、基本能力、基本方法的复习和良好思维习惯的培养。 这一阶段的教学可以按以下步骤进行：课前自主复习——课堂讲练结合——课后精简作业——自习反馈矫正，发挥学生的主观能动性。 做到：（1）明确单元知识的重点、难点、考点；（2）充分挖掘教材，引导学生归纳、梳理知识点，形成网络；（3）重视基础知识、基本技能、基本思想方法的训练；（4）精选例题、精简作业，以中低档题训练为主，避免重复；（5）适当控制教学的难度，穿插少量的综合复习，避免在一个问题上讲解过深、过难，偏离复习方向。（6）注意复习的“新意”，培养学生兴趣，增强学习的内驱力。 比如在“一元一次不等式（组）”的复习中，我是这样进行的：首先通过提问和一组练习复习知识点：不等式基本性质、一元一次不等式（组）及其解（集）有关概念、解一元一次不等式的一般步骤、如何确定一元一次不等式组的解集等。在习题的选择上注意了平时教学中学生易混点、易错点，进行了归类总结，一元一次不等式的解法及其解集在数轴上的表示、一元一次不等式组的特殊解，含参数的一元一次不等式（组）问题，学科内知识的综合如化简含绝对值、根号的代数式，一次不等式（组）的简单应用等。 值得注意的是：习题的配置要结合教学的实际情况；每道习题的讲解，力求师生互动讲练结合；由于内容较多，提倡用多媒体教学，或提前将习题课前印发给学生，以节省时间。 第二阶段：专题复习阶段——把握重点抓住考点训练思维 时间：5月中旬——6月上旬 要求：以专题的形式，关注中考热点问题，重视数学思想方法的积累、发展学生综合能力。 常见的复习专题：（1）知识综合型专题：代数综合问题（方程、不等式与函数），几何综合问题（三角形四边形、几何变换），几何代数综合性问题。 （2）重点题型突破：规律探索性型、开放探究型、实验与操作型、方案设计型、阅读理解型、图表信息型、学科综合型、实际应用型。 代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2 B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B xy 2 整、 5 2 ５、若代数式 5x 2＋4x y －1 的值是 11，则 x ＋2x y ＋5 的值是（ ） 2009 中考数学第一轮复习代数式 式及因式分解专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、对代数式 3a 可以解释为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ２、比 a 的 3 倍小 2 的数是＿＿＿＿。 ３、单项式－ 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 2 ４、计算：(－3x y 2)3＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 ５、因式分解：x 2y －4y ＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 ６、去括号：3x 3－(2x 2－3x ＋1)＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 ７、把 2x 3－x y ＋3x 2－1 按 x 的升幂排列为＿＿＿＿＿＿＿＿。 ８、一个多项式减去 4m 3＋m 2＋5，得 3m 4－4m 3－m 2＋m －8，则这个多项式为＿＿ ＿＿＿。 ９、若 4x 2＋kx ＋1 是完全平方式，则 k ＝＿＿＿＿。 10、已知 x 2－ax －24 在整数范围内可分解因式，则整数 a 的值是＿＿＿＿（填一个）。 11、请你观察右图，依据图形的 面积关系，使可得到一个非常熟悉的公 式，这个公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、用边长为 1cm 的小正方形搭如下的塔 状图形，则第 n 次所搭图形的周长是＿＿＿＿ cm 。（用含 n 的代数式表示） 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、用代数式表示“a 与 b 的差的平方”为（ ） 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 A 、a －b 2 B 、a 2－b 2 C 、(a －b)2 D 、2a －2b ２、下列计算正确的是（ ） A 、2a 3＋a 3＝2a 6 C 、(－3a 2)2＝6a 4 ３、下列各组的两项不是同类项的是（ ） B 、(－a)3·(－a 2)＝－a 5 D 、(－a)5÷(－a)3＝a 2 A 、2ax 2 与 3x 2 B 、－1 和 3 C 、2x y 2 和－y 2x D 、8x y 和－8x y ４、多项式 x 2－5x －6 因式分解所得结果是（ ） A 、(x ＋6) (x －1) B 、(x －6) (x ＋1) C 、(x －2) (x ＋3) D 、(x ＋2) (x －3) 2 A 、11 B 、 11 C 、7 D 、9 2 ６、若(a ＋b)2＝49，ab ＝6，则 a －b 的值为（ ） 开封市2019年中考数学模拟试卷及答案 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数比-3小的数是 A. 0 B. 1 C.-4 D.-1 2．下列运算结果为a 6的是 A ．a 2 ＋a 3 B ．a 2?a 3 C ．(－a 2)3 D ．a 8÷a 2 3. 如果一组数据2，4，x ，3，5的众数是4，那么该组数据的平均数是 A. 5.2 B. 4.6 C. 4 D. 3.6 4．九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是 A ． B ． C ． D ． 5．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 6．如图，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点．若ABD ︵＝150°，∠A ＝65°，∠D ＝60°，则BC ︵ 的度数 为何？ A ．25° B ．40° C ．50° D ．55° 7．钟面上的分针的长为1，从3点到3点30分，分针在钟面上扫过的面积是 A ．12 π B ．14 π C ．18 π D ．π 8．不等式组314 213x x +>??-≤? 的解集在数轴上表示正确的是 A ． B ． C ． D ． 9．如图，直线a ，b 被直线c 所截，b a ∥，32∠=∠，若?=∠354，则∠1等于 A ．80° B ．70° C ．60° D ．50° 10．二次函数y ＝－x 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为直线x ＝2； ②当y ≤0时，x < 0或x > 4； ③函数解析式为y ＝－x 2＋4x ； ④当x ≤0时，y 随x 的增大而增大． 其中正确的结论有D A ．①②③④ B．①②③C．②③④D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.分解因式：2 2 ay ax -=________________ 。 12．圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为180°，则这个圆锥的侧面积为 ． 13．如下图，直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠1＝20°，则∠2等于 ． 14．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2 +x ﹣5=0的两个根，则x 12 +x 22 ﹣x 1x 2= ． 15.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ,若PA=6,PB=8,PC=10，则四边形APBQ 的面积为______． 1l 2 l 2 1 （第13题） 人教版2019学九年级数学中考总复习试题及参考答案 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中 一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（） A． B． C． D． 2. 抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（） A．1 6 B．1 3 C．1 2 D．5 6 3. 如果向东走2m记为2m +，则向西走3m可记为（） A．3m + B．2m + C．3m - D．2m - 4. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，浙江省2017 年清理河湖库塘淤泥约116000000方，数字116000000用科学记数法可以 表示为（） A．9 1.16 10 ? B．8 1.1610 ? C．7 1.1610 ? D．9 0.11610 ? 5. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置， 已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B，D，4 AO m =， 1.6 AB m =，1 CO m =，则 栏杆C端应下降的垂直距离CD为（） A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 6. 利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系 统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表 示0.将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生 所在班级序号， 其序号为3 210 22 2 2 a b c d ?+?+?+?.如图2第一行数字从左到右 依次为0，1，0，1，序号为3210 021202125 ?+?+?+?=，表示该生为5班学生. 表示6班学生的识别图案是（） .. .. .. .. .. .. . 密 .. .. .. .. .. .. .. 封 .. .. .. .. .. .. .. 线 . .. .. .. .. .. .. . 内 .. .. .. .. .. .. .. 不 .. .. .. .. .. .. .. 要 .. .. .. .. .. .. . 答 .. .. .. .. .. .. . 题 .. .. .. .. .. .. .. 代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1) (2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx, 遵义市2019年中考数学模拟试卷及答案 (试卷满分为150分,考试时间为120分钟) 一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）每小超都给出A,B,C,D 四个选项,其中只有一个是正确的。 1．2017年按照济南市政府“拆违拆临，建绿透绿”决策部署，济南市各个部门通力协作，年内共拆除违法建设约32900000平方米，拆违拆临工作取得重大历史性突破，数字32900000用科学计数法表示为 A. 329×10 5 B. 3.29×10 5 C. 3.29×10 6 D. 3.29×10 7 2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A ． B ． C ． D ． 3．一组数据1，2，a 的平均数为2，另一组数据-l ，a ，1，2，b 的唯一众数为-l ，则数据-1，a ， b ，1，2的中位数为 A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 4. 如右图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD = A.45° B. 60° C.90° D. 30° 5．若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a －1）x ＜a ＋5成立，则a 的取值范围是 A.1＜a ≤7 B.a ≤7 C.a ＜1或a ≥7 D.a =7 6．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y ＝x 2 ＋1，则原抛物线的解析式不可能的是 A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝x 2＋6x ＋5 C ．y ＝x 2＋4x ＋4 D ．y ＝x 2＋8x ＋17 7．若顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是 A ．平行四边形 B ．矩形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线互相垂直的四边形 8．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2-+=x ax y 图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是 A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜1- D ．a ＞1- O D C B A (第5题图) 中 考 总 复 习 专 题 汇 总 反比例函数 【反比例函数的性质——增减性】 1 【反比例函数解析式的确定】 3.已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(?2,3)，则m的值为______. A.2 B.4 C.6 D.8 (4,m)和B(?8,?2)，与 元。(1)求这两种品牌计算器的单价；(2)学校开学前夕,该商店对这两种计算器开展了促销活动,具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售,B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售,设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1、y2关于x的函数关系式；(3)小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由。 4.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度 t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示。通电 后,发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程 中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30℃时, 电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加,温度 每上升1℃,电阻增加415kΩ. (1)求当10?t?30时，R和t之间的关系式； (2)求温度在30℃时电阻R的值；并求出t?30时，R 和t之间的关系式； (3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过5kΩ? 二、方案设计问题 1.学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元. （1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元； （2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 第3讲 代数式 一级训练 1．某省参加初中毕业学业考试的学生约有15万人，其中男生约有a 万人，则女生约有 ( ) A ．(15＋a )万人 B ．(15－a )万人 C ．15a 万人 D.15a 万人 2．(2018年湖南怀化)若x ＝1，y ＝12 ，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( ) A ．2 B ．4 C.32 D.12 3．(2018年湖北襄阳)若x ，y 为实数，且||x ＋1＋y －1＝0，则????x y 2 011的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2 011 4．(2018年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5 5．(2018年浙江嘉兴)用代数式表示“a ，b 两数的平方和”，结果为__________． 6．一筐苹果的总重量为x 千克，筐本身的重量为2千克，若将苹果平均分成5份，则每份苹果的重量为________千克． 7．(2018年江苏苏州)若代数式2x ＋5的值为－2，则x ＝__________. 8．已知代数式2a 3b n ＋1与－3a m ＋2b 2是同类项，2m ＋3n ＝________. 9．(2018年广东湛江)多项式2x 2－3x ＋5是________次__________项式． 10．(2018年广东广州)定义新运算“?”，规定：a ?b ＝13 a －4 b ，则12? (－1)＝______. 11．(2018年浙江宁波)先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5. 二级训练 12．如图1－3－5，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m ，n ，则A ，B 两点间的距离是________(用含m ，n 的式子表示)． 图1－3－5 13．(2018年山东枣庄)若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝________. 14．若将代数式中的任意两个字母交换后代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 其中是完全对称式的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 15．(2018年浙江丽水)已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 三级训练 中山市2019年中考数学模拟试卷及答案 （全卷共120分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有．．．．一个是正确 的） 1．16的算术平方根为 A ．±4 B ．4 C ．﹣4 D ．8 2．某天的温度上升了－2℃的意义是 A ．上升了2℃ B ．没有变化 C ．下降了－2℃ D ．下降了2℃ 3．2017年4月，位于连云港高新开发区约10万平米土地拍卖，经过众多房地产公司的476轮竞价,最终成交价为20.26亿元人民币.请你将20.26亿元用科学计数法表示为 A ．10 2.02610?元 B ．9 2.02610?元 C ．8 2.02610?元 D ．11 2.02610?元 4.下图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是 5. 为了响应“精准扶贫”的号召，帮助本班的一名特困生，某班15名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表． 关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是 A. 众数是100 B. 平均数是30 C. 中位数是20 D. 方差是20 6．不等式063≤ -x 的解集在数轴上表示正确的是 7.c b a ,, 为常数，且2 22)(c a c a +>- ，则关于x 的方程02 =++c bx ax 根的情况是 A B C D A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 8．将抛物线y =x 2 向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线 A ．y=(x －2) 2 +1 B ．y=(x －2) 2 －1 C ．y=(x+2) 2 +1 D ．y=(x+2) 2 －1 9. 如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得 BC ＝6米，CD ＝4米，∠BCD ＝150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，则电线杆AB 的 高度为 A.2＋2 3 B.4＋2 3 C.2＋3 2 D.4＋3 2 10. 如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4. D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n-1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为 A. 125235? B. 9 52 53? C. 146235? D. 117253? 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分.） 11．在平面直角坐标系中，点P （m ，m-3）在第四象限内，则m 的取值范围是_______． 12．分解因式：x 3 －4x ＝ ． 代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 中考数学复习专题 代数式 一. 教学目标： 1. 复习整式的有关概念，整式的运算 2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。 3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。 4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 二. 教学重点、难点： 因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。 三.知识要点： 知识点1 整式的概念 ???升降幂排列 系数项数多项式的次数多项式系数单项式的次数单项式整式—————— （1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式； （2）单项式的次数是所有字母的指数之和； 多项式的次数是多项式中最高次项的次数； （3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号 （4）同类项概念的两个相同与两个无关： 两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同； 两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关； （5）整式加减的实质是合并同类项； （6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。 知识点2 整式的运算 （如结构图） 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： （1）提公因式法 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． （2）运用公式法，即用 )b ab a )(b a (b a , )b a (b ab 2a ), b a )(b a (b a 223322222+±=±±=+±-+=-μ写出结果． （3）十字相乘法 对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab ＝q ，a ＋b ＝p 的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足 a 1a 2＝a ，c 1c 2＝c ，a 1c 2＋a 2c 1＝ b 的a 1，a 2， c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++ （4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号. （5）求根公式法：如果),0(02≠=++a c bx ax 有两个根x 1，x 2，那么)x x )(x x (a c bx ax 212--=++。 知识点4 分式的概念 （1）分式的定义：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，单项式乘以单项式 ()()n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+ 提公因式法 公式法2019-2020年中考数学模拟试题(含答案)
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