全等三角形典型图形集锦
1.在等腰△ABC中,BD⊥AC CE⊥AB，BD,CE交与点O，
连接AO并延长交BC与点F。找出图中全等的三角形有多少对？
2.等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A=100°，
BF=CD,BD=CE,则∠B的度数为________
2.若将三角形反折得到A1点，∠1+∠2=100°，则∠A=
4.两个等腰直角△ABC,△ADE如图所示放置，
（1）找出图中的全等三角形
（2）求证BE⊥DC
5.在直角三角形ABC中∠C是90°，AF平分∠CAB,FG⊥AB,CD⊥AB，找出图中的全等相等线段。
6.等腰△ABC中，AD平分∠CAB,DE⊥AB,若AB=6,则
△DEB的周长是______.
7.已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D 若BD=CD，求证：AD平分∠BAC
8.已知AB=AC,AE=AF,
求证AD平分∠BAC
9.∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC, 求证：AM平分∠DAB
(完整word版)八年级数学全等三角形难题集锦
1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点 M,BN⊥MN于点N. (1)试说明:MN=AM+BN. (2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 【答案】(1)答案见解析;(2)不成立 【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系． 试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN； （2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下： ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．
全等三角形知识点总结
全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）
3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找
全等三角形难题集锦
1、（2007年）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=1 2 BF； (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。 2.（2012?江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C 重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．
3（08中考第24题）如图14-1，在△ABC 中，BC 边在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC = BC ．△ EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． （E ） B P A l l A E Q l B A E C
全等三角形的知识点梳理
《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2
三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→S S S S A S 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图4 ，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）
初中全等三角形难题
C D E A B F A B C D F E 全等三角形难题分享 1.如图，点C 在线段AB 上，D A ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ， 且DA=BC ，EB=AC ，FC=AB ，∠AFB=51°，求∠DFE 的度数. 2.如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE + CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论. 3.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE 的面积。 4.如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD. A B E O D C A E B D
已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180?，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 20．如图17所示，在∠AOB 的两边上截取AO ＝BO ，OC ＝OD ，连接AD 、BC 交于点P ，连接OP ，则下列结论正确的是 ( ) ①△APC ≌△BPD ②△ADO ≌△BCO ③△AOP ≌△BOP ④△OCP ≌△ODP A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 13.如图△ABC 中，F 是BC 上的一点，且CF ＝1 2 BF, 那么△ABF 与△ACF 的面积比是＿＿＿＿＿ 29．如图22，已知AD 是△ABC 的中线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证：(1)AD 是∠BAC 的平分线；(2)AB=AC ． A 1 2 E F C D B 图22
全等三角形难题精选
D M N 全等三角形 1 已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180?，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2 如图17所示，在∠AOB 的两边上截取AO ＝BO ，OC ＝OD ，连接AD 、BC 交于点P ，连接OP ，则下列结论正确的是 ( ) ①△APC ≌△BPD ②△ADO ≌△BCO ③△AOP ≌△BOP ④△OCP ≌△ODP A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 3. 在△ABC 中, AB = AC , AD 和CE 是高,它们所在的直线相交于H .若∠BAC = 45°（如图①）, 求证：AH = 2BD ; 4.如图所示，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于点F 。若F 点是DE 的中点，试说明AB=AC 5. 如图，AB =CD ，AD =BC ，O 为BD 上任意一点，过O 点的直线分别交AD ，BC 于M 、 N 点. 求证：21∠=∠ 图① E H D C B A B
A B C D E F 6.如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠=，则 A O D ∠等于（ ） Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．35 7. 如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,BE 平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ） A.AB =BF B.AE =ED C.AD =DC D.∠ABE =∠DFE ， 8.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD=BE； ② PQ ∥AE ； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 9.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及延长线上的点， CF ∥BE ，（1）求证：△BDE ≌△CDF （2）请连结BF 、CE ，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。 10. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。 求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE 3 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证： CG AE =； A B C E D O P Q
全等三角形基本图形
A B E D C F A B C D 123 4A B C D E F O O D C B A A B C D F O D C B A A B C D E M N 12E D C B A A B C D E A B D C E F 4321E D C B A 第八讲 全等三角形基本图形（2） 一、知识点 1、熟悉一些全等中的基本图形； 2、熟练运用全等三角形的判定方法和性质。 二、典型例题和练习 例1、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC .求证：AB ∥CD . 例2、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC ，AE =CF .求证：BE =DF . 例3、已知：如图，点E ,F 在BC 上，且BE =CF ，AB =CD ，∠B =∠C .求证：AF =DE . 例4、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC =AD . 例5、已知：如图，AB =CD ，BC =AD ，E 、F 是AC 上的两点，且AE =CF 求证：BF =DE . 例6、已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD ，E 、F 为AB 上的两点，且AE=BF . 求证：CE =DF . 例7、已知：如图，AB ∥CD ，OA ＝OC .求证：△AOB ≌△COD . 练习： 1、已知：如图，AB =AC ，DB =CD ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF =CF . 2、如图：AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD .求证：∠CAO ＝∠DBO . 3、已知：如图，AB ＝DC ，AC ＝BD .求证：∠A ＝∠D . 4、已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC AB 、DC 相交于点M ，AC 、 BE 相交于点N ，.求证：AM ＝AN . 5、如图，AB ＝AD ，BC ＝DE ，∠1＝∠2.求证：（1）AC ＝AE ；（2）∠CAE ＝∠CDE . 6、已知：AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C . 求证：AD ＋BC ＝AB . 7、已知：如图，AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分∠A ，∠B ，点E 在CD 上. 求证：（1）E 为CD 的中点；（2）BC ＋AD =AB . 例8、已知：如图，在正方形ABCD 中AB =AD ，∠B ＝∠D ＝90°. （1）如果BE ＋DF ＝EF .求证：①∠EAF ＝45°.②FA 平分∠DFE . （2）如果∠EAF ＝45°.求证：BE ＋DF ＝EF . （3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，满足（1）的条件，则（1）中结论是否仍然成立？ 例9、如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形， CE 、BF 相交于O ，求∠EOB 的度数. 三、巩固提高 1.如图，已知如图，∠B=∠DEF ，AB=DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“ASA ”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS ”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS ”为依据，还缺条件 . 2. AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线AD 的取值范围是＿＿＿＿． 3. 已知EF 是AB 上的两点， AC ∥DB ， DE ∥CF ，且AE =BF ，求证：CF =DE ． 4. 已知：如图， AO 平分∠EAD 和∠EOD 求证：① △A OE ≌△A OD ②EB=DC F E D C B Ａ
(完整版)全等三角形竞赛试题精选及答案
八年级数学《全等三角形》竞赛试题精选 注: 此卷试题有一定难度,可能每题都不会轻松做下来,你需要提高能力,而且要学会思考难题,这样你才能在考试中得心应手,一定要认真思考,并学会总结,把一类题型掌握透彻,望认真做. 一.选择题与填空题: 1. 如图，已知AB ∥CD,AD ∥BC ，AC 与BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中全等的三角形有【 】 A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 2. 在△ABC 和A B C '''?中, AB A B ''=,B B '∠=∠,补充件后仍不一定能保证ABC ?≌A B C '''?,则补充的条件是【 】 A.BC B C ''= B.A A '∠=∠ C.AC A C ''= D.C C '∠=∠ 3. 如图,在等边△ABC 中,AD ＝BE ＝CF,D 、E 、F 不是中点,连结AE 、BF 、CD,构成 一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组,那么图中全等的三角形的组数是【 】 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4. 若在ABC ?中,∠ABC 的平分线交AC 于D,BC ＝AB ＋AD,∠C ＝300 ，则∠B 的度数 为【 】 A.450 B.600 C.750 D.900 5. 如图，AD 是ΔABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上且DE ⊥DF ，则（ ） A ．BE+CF ＞EF B.BE+CF=EF C ．BE+CF ＜EF D.EF 与BE+CF 大小关系无法确定 6. (黄冈市中考题)在△ABC 和A B C '''?中, AB A B ''=,B B '∠=∠,补充条件后仍不一定能保证ABC ?≌A B C '''?,则补充的条件是( ) A.BC B C ''= B.A A '∠=∠ C.AC A C ''= D.C C '∠=∠ 7. (2001,北京市初二竞赛题)下面四个命题:①两个三角形有两边及一角对应相等,则这两个三角形全等;② 两个三角形有两角及一边对应相等,则这两个三角形全等; ③两个三角形的三 条边分别对应相等,则这两个三角形全等;④ 两个三角形的三个角分别对应相 等,则这两个三角形全等.其中真命题是( ) A. ② ③ B. ① ③ C. ③ ④ D. ② ④ 8. (第十五届江苏初二竞赛题)已知三角形的每条边长是整数,且小于等于4,这样的互不全等的三角形有( ) A.10个 B.12个 C.13个 D.14 9. 如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E,给出3个论断:①DE ＝FE;②AE ＝CE;③FC ∥AB. 以其中一个论断为结论,其余两个论断为条件,可作出3个命 题.其中正确的命题个数是_______. 10. 如图,如果正方形ABCD 中,CE ＝MN,∠MCE ＝350,那么∠ANM 的度数是________. 11. 如图,在ABC ?中,过A 点分别作AD ⊥AB,AE ⊥AC,且使AD ＝AB,AE ＝AC,BE 和CD 相交于O,则∠DOE 的度数是_____. 二.证明题: 1. 如图，在ΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。求证：BD=2CE 2. 已知：ΔABC 为等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，且ΔDEF 也是等边三角形，求证： Δ O F E D C B A C ' B ' A ' F E D C B A A F E D C B N M A E D C B A O E D C B
初一数学全等三角形难题全集
三角形的边角与全等三角形 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2、已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° 3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 A D O 4、如图，将Rt △ABC(其中∠B ＝340 ，∠C ＝900 ）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560 B.680 C.1240 D.1800
5、如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 6、尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于 C 、 D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线 OP ， 由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 7、图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。已知 甲的路线为：A C B 。 乙的路线为：A D E F B ，其中E 为AB 的中点。 丙的路线为：A I J K B ，其中J 在AB 上，且AJ >JB 。 若符号「」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线 长度的大小关系为何？ O D P C A B C A B B ' A ' 340 B 1 C B A C 1 C D I F 70? 70? 70? 70? 70? K
全等三角形与旋转问题专题练习
全等三角形与旋转问题专题练习 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合， 其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】 A 【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60° 120°得到 【解析】 D 【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证： AN BM =． M D N E C B F A 例题精讲
全等三角形重点题型
全等三角形知识点总结 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。 3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
(完整版)全等三角形难题题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴 对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是 经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在Δ ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取 AE=AC， 连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。 已知：如图所示，BD为∠ ABC的平 分线，?PN⊥CD于N，判断PM与 PN的关系． AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于 M， 3. 如图所示，P为∠ AOB的平分线上一 点，若OC=4cm，求AO+BO的值． BD 2. PC⊥OA于C，?∠OAP+∠OBP=18°0 ，
4. 已知： 如 图 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ AEB=∠ABC 。 ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ，FD ∥BC 交 AC 于 D ，设 AB=5， AC=8，求 DC 的长。 5、如图所示，已知∠ 1=∠2，EF ⊥AD 于 P ，交 BC 延长线于 M ，求证： 2∠M= (∠ ACB- ∠B ) 6、如图，已知在△ ABC 中，∠ BAC 为直角， AB=AC ，D 为 AC 上一点， CE ⊥BD 于 E ． 1 (1) 若 BD 平分∠ ABC ，求证 CE=2BD ； (2) 若 D 为 AC 上一动点，∠AED 如何变化， 若变化，求它的变化范 围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。
全等三角形难题精选
A B C [ D M N O 1 2 全等三角形 1 已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，CE AB 于E ，且B+D=180，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2 如图17所示，在∠AOB 的两边上截取AO ＝BO ，OC ＝OD ，连接AD 、BC 交于点P ，连接OP ，则下列结论正确的是 ( ) ①△APC ≌△BPD ②△ADO ≌△BCO ③△AOP ≌△BOP ④△OCP ≌△ODP A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 3. 在△ABC 中, AB = AC , AD 和CE 是高,它们所在的直线相交于H .若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD ; ) 4.如图所示，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于点F 。若F 点是DE 的中点， 试说明AB=AC 5. 如图，AB =CD ，AD =BC ，O 为BD 上任意一点，过O 点的直线分别交AD ，BC 于M 、N 点. 求证：21∠=∠ 图① E H ： B A B
A B C D E F 6.如图，OAB △绕点O逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45 AOB ∠=，则 AOD ∠等于（） ） Ａ．55Ｂ．45Ｃ．40Ｄ．35 7. 如图, Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,BE平分∠ABC，交A D于E，EF∥AC，下列结 论一定成立的是（） =BF =ED =DC D.∠ABE=∠DFE， 8.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ； ④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 9.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及延长线上的点， CF∥BE，（1）求证：△BDE≌△CDF （2）请连结BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由。 | 10. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。 求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE 3 如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：CG AE=； & A B C E ： D O P Q F E C A
第八讲全等三角形基本图形
A B C D A B E D C F A B D E F A B C D 12 34 A B C D E F 第八讲 全等三角形基本图形（2） 一、知识点 1、熟悉一些全等中的基本图形； 2、熟练运用全等三角形的判定方法和性质。 二、典型例题和练习 例1、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC .求证：AB ∥CD . 例2、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC ，AE =CF .求证：BE =DF . 例3、已知：如图，点E ,F 在BC 上，且BE =CF ，AB =CD ，∠B =∠C .求证：AF =DE . 例4、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC =AD . 例5、已知：如图，AB =CD ，BC =AD ，E 、F 是AC 上的两点，且AE =CF 求证：BF =DE .
A B C D E F O O D C B A A B C D F O D C B A O D C B A 例6、已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD ，E 、F 为AB 上的两点，且AE=BF . 求证：CE =DF . 例7、已知：如图，AB ∥CD ，OA ＝OC .求证：△AOB ≌△COD . 练习： 1、已知：如图，AB =AC ，DB =CD ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF =CF . 2、如图：AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD .求证：∠CAO ＝∠DBO . 3、已知：如图，AB ＝DC ，AC ＝BD .求证：∠A ＝∠D .
A B C D E M N 12 E D C B A 432 1E D C B A 4、已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC AB 、DC 相交于点M ，AC 、BE 相交于点N ，. 求证：AM ＝AN . 5、如图，AB ＝AD ，BC ＝DE ，∠1＝∠2.求证：（1）AC ＝AE ；（2）∠CAE ＝∠CDE . 6、已知：AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C . 求证：AD ＋BC ＝AB . 7、已知：如图，AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分∠A ，∠B ，点E 在CD 上.
全等三角形难题方法归纳
全等三角形难题归纳 一、线段长度问题截长补短方法归纳 1、 在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE 。(1)求证：CE=CF 。 (2)在图中，若G 点在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？ 2、 如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为 M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明. E D C B A M F 3、如图在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且BD⊥CD，DF 平分∠ADB，当∠ACD＝15°时，求证：（1）∠ADC＝45°；（2）②AD＋AF ＝BD ；（3）BC －CE ＝2DE 。 E A C B D F E
4、已知等腰直角△ABC 中AC=BC ，CF ⊥AD 于E, AD-CF=2ED,求证：AD 平分∠CAB 5、 已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180?，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 二、角平分线处理方法 1、如图，已知AM∥BN，AC 平分∠M AB ，BC 平分∠NBA。（1）过点C 作直线DE ，分别交AM 、BN 于点D 、E ，求证：AB ＝AD ＋BE （2）如图，若将直线DE 绕点C 转动，使DE 与AM 交于点D ，与NB 的延长线交于点E ，则AB 、AD 、BE 三条线段的长度之间存在何种等量关系？谫你给出结论并加以证明。 A B C D E N M C D M N _ A _ C
全等三角形之手拉手模型专题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 全等三角形之手拉手模型专题 基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（2）C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在 AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？ 说明理由． 分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由 已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等， 即可得到线段相等． 解：（1）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM． （2）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC 又∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． （3）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围 绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三 角形全等是正确解答本题的关键． 变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧 作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接 CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以 AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变， 那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理
初中数学全等三角形的知识点梳理
全等三角形》 画三角形 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图 1 中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2 中的 两个图形面积相同，但形状不同， 图2 图1 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有
三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅 速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得 到判定两个三角形全等的思路有： 找夹角→ SAS 已知两边 找另一边→ SSS 边为角的对边→找任一角→ AAS 找这条边上的另一角→ ASA 边就是角的一条边找这条边上的对角→ AAS 找该 角的另一边→ SAS 找两角的夹边 → ASA （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定 对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着 A 与 E 、 B 与 F 、 C 与 D 对应，则 三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还 有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2） 全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变 换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图 3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 图 3 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的 顶 点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图 5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的 两个三角形不一定全等；如图 6（1）中的两个三角形的每个 图 6 （1 ） 已知两角 找 任 一 边 → AAS 图4
全等三角形难题及答案
1、如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上， BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 2、如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =， ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 3、如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 4、如图，BD 、CE 分别是ABC ?的 边AC 、AB 上的高，F 、G 分别是 线段DE 、BC 的中点 求证：DE FG ⊥ 5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边 上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE 6、如图，在锐角ABC ?中，已知C ABC ∠=∠2， ABC ∠的平分线BE 与AD 垂直，垂足为D ，
若cm BD 4=，求AC 的长 参考答案 1、思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。 以线段AE 为边的ABE ?绕点B 顺时针旋转90 到CBF ?的位置，而线段CF 正好是 CBF ?的边，故只要证明它们全等即可。 解答过程： 90ABC ∠= ，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠= 在ABE ?与CBF ?中 AB BC ABC CBF BE BF =??∠=∠??=? ∴ABE CBF ???(SAS) ∴AE CF =。 解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。 2、思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。因此，延长AE 至F ，使EF AE =。 解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ?与FDE ?中 AE FE AEB FED BE DE =??∠=∠??=? ∴ABE FDE ???(SAS) ∴B EDF ∠=∠ ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又 ADB BAD ∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠