动 态 规 划 算 法

每天一道算法题(四) （动态规划算法）01背包问题Java 实现

动态规划

动态规划在wiki上的定义：

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions - ideally, using a memory-based data structure. The next time the same subproblem occurs, instead of recomputing its solution, one simply looks up the previously computed solution。

昨天接触到了动态规划的概念，研究了昨天一晚上以及今天一上午，总算对这个问题有些收获。

动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。

从空集合开始，每增加一个元素就求它的最优解，直到所有元素加进来，就得到了总的最优解。

01背包问题

01背包问题即的01即每件物品最多放1件，否则不放入。

让我真正了解动态规划概念的是mu399的博客

问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是

2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

重新定义问题：

有承重分别为1-10的背包10个

编号分别为a,b,c,d,e的物品各一个

3. 从e物品开始依次放入1-10个背包，分别得到最大的价值总和

4. 把d物品放入依次放入存在e物品的1-10个背包，如果价值更高，替换掉e（）

5. c,b,a同理。。。

1. 01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{f[i-1,j-Wi]+Pi( j = Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗？

2. 以a8（行为a，列为的8的单元格）举例

f[i,j] = a8 = 15

f[i-1,j] = b8 = 9

f[i-1,j-Wi] 表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi] +Pi =b(8 - 2) + 6 = b6 + 6 = 15 背包的java代码实现

public class getPgAnswer{

public void testPackage() {

Package[] pg = {new Package("e",4,6),

new Package("d",5,4),

new Package("c",6,5),

new Package("b",2,3),

new Package("a",2,6)

-- 第一个参数表示从pg[0]开始依次放入的物品， -- 第二个参数代表背包的承重,放弃第0列数组

int[][] state = new int[pg.length][11];

int newValue = 0;

* 01背包的状态转换方程

* f[i,j] = Max{

* f[i-1,j-Wi]+Pi( j = Wi ),

* f[i-1,j] }

for (int i = 0; i pg.length; i++) {

-- 背包的承重量

for (int j = 1; j state[i].length; j++) {

if (i == 0) {

if (pg[i].getWeight() = j) {

state[i][j] = pg[i].getValue();

state[i][j] = state[i - 1][j];

if (j pg[i].getWeight()) {

continue;

newValue = state[i - 1][j - pg[i].getWeight()]

+ pg[i].getValue();

-* if (newValue = state[i - 1][j]) {

state[i][j] = newValue;

state[i][j] = state[i - 1][j];

state[i][j] = Math.max(newValue, state[i - 1][j]);

for (int i = 0; i state.length; i++) {

System.out.println(Arrays.toString(state[state.length - 1 - i]));

class Package {

private String name;

private int weight;

private int value;

public Package(String name,int weight,int value){

https://www.360docs.net/doc/9a14400480.html, = name;

this.weight = weight;

this.value = value;

public String getName() {

return name;

public int getWeight() {

return weight;

public int getValue() {

return value;

背包的Python实现

问题：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，

现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

思路：dynamic programming

即把整个问题分解成一系列子问题，所有子问题只计算一次并存起来，下一次相同问题出现，直接从数据结构中取出结果，而不是再次计算 K(i, j) = max(K(i - 1, j), K(i - 1, j - Wi) + Pi)

其中 j = Wi

f[i,j]：在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗def package(n, c, weight, values):

构建背包问题二维表

:param n: 物品数量

:param c: 背包重量容积

:param weight: 物品重量列表

:param values: 物品价值列表

:return:

# 初始化二维列表

res = [[-1 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]

res[0] = [0 for i in range(1, c + 1)]

# 完善背包

for i in range(1, n + 1):

for j in range(1, c + 1):

res[1][j] = values[1] if j = weights[1] else 0

res[i][j] = res[i - 1][j]

if weights[i] j and res[i - 1][j - weights[i]] + values[i] res[i][j]:

res[i][j] = res[i - 1][j - weights[i]] + values[i]

# @Note：如果没有上面的res[0] = [0 for i in range(1, c + 1)] 需要增加下面的判定

# elif weights[i] == j and values[i] res[i][j]:

# res[i][j] = values[i]

return res

if __name__ == '__main__':

# 物品数量

# 背包重量容积

# 物品重量列表 weights[0] 无效和blog有区别博客是倒着放入商品

weights = [-1, 2, 2, 6, 5, 4]

# 物品价值列表 values[0] 无效

values = [-1, 6, 3, 5, 4, 6]

res = package(n, c, weights, values)

如果枚举的和总量大于等于选择物品，则需要判断是否选择当前物品*-

d[i][j] = min{ d[i+1][j], d[i][j-1] } + 1; (每次状态转移，区间长度增加1)

描述阶段的变量称为阶段变量k。阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征来进行的，但要便于问题转化为多阶段决策。

最后一个元素相同：求X[1…m-1]和Y[1…n-1]两个子序列的最长公共子序列。

void Trace(int i, int capacity)

从表中可以看出一些规律，除了第一行以外，每个格子都是前一行的一个或两个格子推导而来。比如3金矿8工人的结果，就来自2金矿5工人和2金矿8工人，MAX（500,500+200）=700.

if (arr.length == 0) {

min_sum[i][j] = min_sum[i - 1][j - 1] + triangle[i][j];

本介绍用python解决TSP问题的第二个方法——动态规划法

? if (ratings[i] ratings[i - 1]) {