岩土工程数值分析读书报告

岩土工程数值分析读书报告

一.岩土与数值分析

在很多岩土工程的实际问题中，例如档土墙、板桩、基础梁和板等工程，由于岩土的非均质、非线性的性状以及几何形状的任意性、不连续性等因素，在多数情况下不能获得解析解。最近二十多年来，随着电子计算机的迅速兴起，在岩土工程中，数值分析受到了极大的重视，各种数值方法在岩土工程中都得到了广泛地应用，而岩土工程中的各种复杂问题的解决又深化和丰富了数值分析的内容。

目前．在岩土工程的数值分析中，用的最为普遍的是有限元法和差分法，其他方法如边界元法正在兴起。变分法与加权余量法既可以独立地作为数值方法运用于土工实际问题的求解，又可作为推导前几种数值方法的手段。当数值分析中的差分法首先盛行于工程科学时，土工中的渗流及固结问题在四十年代后期也开始采用差分法成功地解决了某些实际问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。五十年代及六十年代初，弹性地基上的梁与板以及板桩也用差分法来求解。六十年代，土石坝的静力问题用有限元法来求解。由于有限元解法的灵活性，使差分法在土工中的应用暂时趋丁停滞。进入七十年代之后，土石坝及高楼（包括地基）成功地使用有限无法解决了抗震分析。七十午代后期及八十年代，边界元法异军突起。这方法特别适宜于半无限域课题，这些是土力学及地基工程学科经常遇到的边界情况。近十年来，地基的静力及动力问题，例如桩基及强夯（即

动力固结）等，都使用边界元法得到了有效地解决。

岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法（DEM），不连续变形分析（DDA），流形元法

（MEM），颗粒流（PFC）等数值计算方法迅速发展。

二.土的本构关系

材料的本构关系（constitutive relationship）是反映材料的力学性状的数学表达式，表示形式一般为应力-应变-时间的关系，也称为本构定律（constitutive law）、本构方程（constitutive equation）,还可称为本构关系数学模型（mathematical model）简称为本构模型。

（一）土的弹性模型

在线弹性模型中，假定材料符合弹性力学规律，应力-应变关系式为：

{ } = [D]{ }

这里刚度矩阵称为弹性矩阵，由广义虎克定律

L，"~，1■- 1

J —V

式中包含了弹性模量和泊松比柑两个常数。。它们可以用另外两

个弹性常数，剪切模量G和体积模量K来代替。它们之间的关系为

E

3(1 2 )

如果弹性常数E、或G K为不变量，则应力与应变得关系为线性的；如果他们随应力状态而变，应力~应变关系就称为非线性的了。因此，对弹性非线性

模型来说，关系式是现成的，问题仅仅在于如何确定随应力变化的弹性常数。（二）修正剑桥模型

这是英国剑桥大学罗斯科（Roscoe）等人提出的用于正常固结或弱超固结粘土地模型。模型包含了如下假定：

1.屈服面在主应力空间是以空间对角线为轴的回转面，换句话仅仅随p、q 两个应力分量变化。

2.取塑性体积应变p v为硬化参数，研究孔隙比e随p、q的变化能反映塑性变形规律。

3.塑性变形符合相关联的流动法则。

4.在微小的荷载增量作用下，所损失的变性能，罗斯科最初假定为Mp s，同时假定弹性偏应变可略去不计，偏应变就等于塑性偏应变。

如今已经提出了大量的土体本构模型理论。例如，莫尔-库仑模型，邓肯—张双曲线模型，K-G模型，另外还有超弹性和次弹性模型，边界面模型，内时理论模型，在应变空间内建立屈服面的模型等，均各有特点。土体的变形规律是十分复杂的，要寻找一个简单实用，又能较全面地反映土体变形特点的本构模

型，还要做许多努力。

三.有限元法在土力学中的应用

有限元法是一种十分有效的数值分析方法。它有几个突出的优点：(1)可以用于解非线性问题，(2)易于处理非均质材料，各向异性材料，(3)能适应

各种复杂的边界条件。岩土材料恰恰存在这几方面的问题，因此很适宜采用有限元法。有限元法刚刚发展起来，就引起了岩土力学界的浓厚兴趣。1966电美国克技夫(Clough)和伍德沃德(Woodward)首先将有限无法应用于土力学，作了土坝的非线性分析。接着大批发土力学工作者从事这方面的研究取得巨大进展。在国内也是这样，1973 年河海大学和南京水科院开始作有限元法用于岩土工程的研究，接着发表了我国最早的有关论文。目前国内大型土石坝的设计已普遍应用有限元法，其它岩土工程问题对有限无法的应用也得到了推广。

本文主要介绍有限元法应用于土体所要考虑的问题。

(一) 有限元法简介

有限无法是将一个连续体结构，如图1(a)所示土坝，离散成有限个单元体，如图1(b)，这些单元体在结点处互相铰结，把荷载简化到结点上，计算在外荷裁作用下各结点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似地代替原连续体解答。当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。

应力变形关系，以三角形为例，图1( b )中单元体e 有三个结点i 、 j 、m 对平面变形问题，每个结点有x 和y 两个方向的结点力F x 和F y ，

也有两个方向的位移分量u 和v 。e 单元三个结点的位移分量共6个, 以矩阵表示为:

(3— 1)

相应的结点力分量为:

{F}=[ F ix ,F iy ,F jx ,F jy ,F mx , F my ]T

单元体内部任一点的位移，以{f}表示，包含u 、v 两个分

量，假定以某种函数形式与结点位移 e 相联系,

{f} = u = [N] e

(3 —

3) v

对于三角形单元，可假定u 和v 在单元内部随x 、y 坐标线 性变化。

u = a 1 + ax + a 3y

- v = a 4 + a §x + a 6y

」 (3 —

4) 在三个结点上的位移，也满足上式，将每个结点的坐标和位 移代入上式，三个结点有6个方程，可解得系数a 1, a 2,…a 6。

(3 — 2) 图

为了建立总体结构的荷载与位移的关系式，首先分析单元体内的

U m ,V m ]T

将它们表示成结点位移和结点坐标的函数，再代入(3 —4),可得:

(3 — 5)式也可写成

求得，并可进而求应变和应力。按土力学习惯应变和应力取压为正, 拉为负，则几何方程的符号规定便与弹性力学相反。

(3 — 8)

将(3 — 5)式代入,

xy 对三角形单元，［B ］=［B i ,B j ,B m ］

b 0

1

[B i ]= 2 0c i

(i,j,m) C i b 对四边形单元，［N ］和［B ］的形式不同，仍可用(3 — 9)式表示应变

和结点位移之间的关系 u = N i u

N u i

J ) N m u m - v =N i v i

N j V j N m V m (3 — 5) 式中

N i (a i b i X C i y)/2 (3 — 6) b i y i 系^数 a i x j y m X m y j , y m ! C i X j X

m X i

X j

X m

y i y j y m

{f}=

=[N] e = [IN i ,IN j ,IN m ] (3 — 7) 其中I 是二阶单位阵。 N 叫做形函数。

一旦结点上的位移确定，单元内部任一点的位移就可用

(3 — 7)式 }=

[B] e

(3 — 9)

(3 — 10)

进一步求应力为：

[D]可以为弹性矩阵，也可以为弹塑性矩阵。

设结构发生虚位移，e 单元结点的虚位移位 * e

，相应的虚应变

为 * 。由于单元之间只在结点处有力的联系，外荷也已简化移置到

结点上，因此单元体e 所受外力就是F e 。由虚功原理:

（3－12）

将 (3－9) ， (3－11)代入，可得

eT

F = B D B dxdy [k]= B T D B dxdy F e

= [k] 对于整体结构上的任一点i ，建立平衡方程

F i = R i (3 —

15)

e

R i 为 i 结点上的外荷。上式表示 R i 与围绕 i 点的各单元在 i 点

上的结点力之和相平衡，由 (3—13)式，结点力又可以用结点位移来 表示，这样 (3—15)式可写成

[k in ] n = R i (3 — 16)

e n i,j,m

对每一个位移未知的结点， 都可写出这样的方程， 集合在一起为 方程组。

[K]{ } = {R}

(3 —

17) { }=[ D]{ }= [D] [B]

（3－11）

T dxdy （3－

13）

（3－

（3－13）

式中，[K]叫整体刚度矩阵，外荷{R}是已知的，[K]由单元刚度

矩阵形成，解此联列方程，可得各结点位移，进而可解各单元应变和

应力。

（二）非线性分析方法

非线性问题有两种：一是材料非线性，即材料的应力-应变关系是非线性的；一是几何非线性，即存在大变形，应变与位移的关系不呈线性，应变不仅包含位移对坐标的一阶导数，还要包含高阶导数。不管哪种非线性，推出的劲度矩阵都将随位移而变。

这是位移的非线性方程组。直接解这样的方程组是因难的，因此将其他为一系列的线性问题，用近似的方法求解。本文以材料非线性为例介绍几种非线性近似解法。

1.迭代法

迭代法是将荷裁一次施加于结构，不断地修正劲度或调整荷裁，来逐步接近真实解，而每次迭代作了一次线性有限元计算。迭代法又可分为割线迭代法，余量迭代法，初应力迭代法等。

这几种迭代法是对一般非线性材料而言的，至于用到土体，实际

上存在着困难：土体很难给出一个全量的应力应变模型，因为土体的变形，不仅决定于应力状态，还与加荷路径有关，某种应力状态并不能唯一地确定应变。三轴试验给出了一组全量的应力应变关系曲线，但它是沿某种特定的路径加荷的，不一定适用于其他加街路径。再说土样变形属于轴对称问题，而有限元法所要解的土坝、地基等通常属于平面变形问题。同样的应力状态在这两种变形条件

下必然对应不同的应变。因此把试验曲线，或者从试验曲线整理出来的应力全量与应

变全量的关系式，用来作为迭代收敛的依据，是不确当的

另外，还要说明的是，迭代不一定是收敛的。初应力和常刚度迭代，一般来说能收敛。但弹性常数如果选择不当也会使迭代收敛的很慢。还有，全量迭代的方法，在土体中用的很少。

2.增量法增量法是将全荷载分为若干级增量逐级施加，对于每一级增量，假定材料性质不变作有限元计算，解得位移，应变和应力的增量。累加起来就是所求解答。各级荷载之间．材料性质变化，弹性模量变化，以反映非线性的应力应变关系。这种方法实际上是用分段直线来逼近曲线。增量法又分为基本增量法，中点增量法，增量迭代法。

3.弹塑性分析土体的弹塑性本构模型，都是用增量形式来表示的。因此，计算方法也宜用增量法。

(三)土体非线性分析

土体非线性分析，一般来说，就是按前面所讲的非线性分析方法，选用适当地土体本构模型，进行有限元计算。此外，根据工程具体情况还要作一些处理。下面介绍常见的几种工程问题：

1.地基

在地基设计中须要解决的主要问题有：(1)基础和地基的接触压力，(2)地基应力分布，(3)地基变形、地面沉降，(4)地基承载力。传统的分析方法是把这些问题分割开来，作某些简化假定，把土看作完全弹性体或者完全塑性体，分别求解。有限元法，则把地基，基础，甚至上层结构，作为一个整体近

行计算。可以考虑上体的非线性弹塑性，也考虑地基、基础和上层结构的共同作用。在一次计算中就可将上述几方面的问题全部解答出来，它们之间本来存在的有机联系得到很好的反映。

地基问题的有限元计算将会遇到边界网格的处理问题。地基是半无限体，绘制有限元网格时，要从无限延伸的方向获取有限的为界。一般地说，截取的范围在深度方向要超过沉降计算深，向两侧网格图伸出的长度也大体与深度相当。截断边界上的位核可以假定完全约束，也可以假定在底部边界上坚向位移受约束而水平方向自由，两侧竖向边界的水平位移受约束而竖向位移自由。边界面上的位移本来很小，这样的处理对所要分析的主要部位的应力和变形不会有多大影响。

2.填土

填土工程如土坝、土堤、挡土结构后的填土等，在有限元计算中与地基有一个很大的不同，就是在施工逐级加荷过程中，不仅荷载不断增加，而且结构本身也在逐渐扩大，也就是填土体在加高。这就给计算提出了一系列须要处理的问题：

（1）计算网格要随施工过程而增加。

（2）新填土层的初始应力为0。

（3）新填土层完成时的应力，有两种计算方法：一是另其等于自重应力；二是新填土作为网格参加有限元计算。

4）填土逐级加高的计算位移，与填土体完全形成荷载突然施加所产生的位移是不同的。

3.开挖

工程上常常遇到深开挖，如深的基坑、坑道、埋管、隧道等。开挖后地基中的应力将发生变化。应用有限元法可以计算周围应力场的变化以及所发生的变形。

粗看起来，挖方和填方相反，只要在计算中将挖去土的重量移去，也就是给结构作用一个负的挖土重。但实际上并不那样简单。因为挖去的土原先承受了某种初始应力，除了竖向应力外，还受有侧向应力；即使竖向应力也未必等于挖土重，比如隧道中，挖土重不一定很大，但上覆压力可能是很大的。仅仅减去挖土重，不能使开挖面上的应力解除。有限元法模拟开挖，关键就在于使开挖面上的应力完全解除，成为应力自由面。

开挖也是逐层进行的。对于每一级开挖，要根据开挖前的应力，求出开挖面上部土对下部土体所作用的结点力，以 F 表示，给开挖面上的结点作用与此相反的结点荷载 F ，并将挖除的土体从结构中去掉，作有限元计算，就使开挖面成为应力自由面，所算得的地基内的位移场和应力场，就是所求解答。

土体非线性分析的发展，包含了两个方面：一是非线性分析方法本身的改进以及土体本构模型的改进；二是针对工程结概以尽可能符合实际结构条件和荷载条件的方法来模拟实际结构。上面仅仅列举了几种常见的主要工程问题。此外，加筋土问题，砂井问题以及其他具体问题都要作具体的分析，提出相应的计算方法。