三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)
第12讲:三角恒等变换及解三角形
考点1:三角恒等变形
一、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β; (3)tan(α±β)=
tan α±tan β1?tan αtan β
(α,β,α+β≠kπ+π
2
,k ∈Z );
变形式tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β)(α,β,α+β≠kπ+π
2
,k ∈Z ).
2. 二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α; 变形式sin αcos α=1
2sin 2α.
(2)cos 2α=cos 2α?sin 2α=1?2sin 2α=2cos 2α?1; 变形式cos 2α=
cos 2α+1
2;sin 2x =
1?cos 2α
2
.
(3)tan 2α=2tan α
1?tan 2α. 3. 辅助角公式
y =a sin α+b cos α=√a 2+b 2(
√a 2+b 2
α+
√a 2+b 2
α)=√a 2+b 2sin (α+φ),
其中φ所在的象限由a 、b 的符号确定,φ角的值由tan φ=b
a 确定. 4. 化简中常用1的技巧
“1”的代换1=sin 2α+cos 2α;1=2cos 2α?cos 2α,1=cos 2α+sin 2α,1=tan π
4.
典例精讲
【典例1】已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为()A.[4,12] B.[4,+∞)C.[0,6] D.[4,6]
【分析】x2+2xy+4y2=6变形为(x+y)2+(√3y)2=6,设x+y=√6cosθ,√3y=sinθ,θ∈[0,2π).代入z=x2+4y2,利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出.
【解答】解:x2+2xy+4y2=6变形为(x+y)2+(√3y)2=6,
设x+y=√6cosθ,√3y=√6sinθ,θ∈[0,2π).
∴y=√2sinθ,x=√6cosθ?√2sinθ,
∴z=x2+4y2=(√6cosθ?√2sinθ)+4(√2sinθ)=4sin2θ﹣4√3sinθcosθ+6,
=2×(1﹣cos2θ)﹣2√3sin2θ+6
=8﹣4sin(2θ+π
6
),
∵sin(2θ+π
6
)∈[﹣1,1].
∴z∈[4,12].
故选:A.
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
【典例2】已知函数f(x)=sin(2x?π
3),若方程f(x)=1
3
在(0,π)的解为x1,x2(x1
<x2),则sin(x1﹣x2)=()
A.?2√2
3B.?√3
2
C.?1
2
D.?1
3
【分析】由已知可得x2=5π
6?x1,结合x1<x2求得x1的范围,再由sin(x1﹣x2)=sin(2x1?5π
6
)
=﹣cos(2x1?π
3
)求解.
【解答】解:∵0<x<π,∴2x?π
3∈(?π
3
,5π
3
),
又∵x 1,x 2是sin (2x ?π3
)=1
3
的两根,可知
x 1+x 22
=
5π12
,
∴x 2=5π6
?x 1,
∴sin (x 1﹣x 2)=sin (2x 1?
5π
6
)=﹣cos (2x 1?π
3), ∵x 1<x 2,x 2=
5π6
?x 1,
∴0<x 1<5π
12,则2x 1?π
3∈(?π
3,π
2),故cos (2x 1?π
3)=2√2
3
, ∴sin (x 1﹣x 2)=?2√2
3
. 故选:A .
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查y =A sin (ωx +φ)型函数的图象和性质,是中档题.
【典例3】已知s in2α=2
3,则tanα+1
tanα=( ) A .√3 B .√2 C .3
D .2
【分析】由二倍角化简,sin2α=2sin αcos α,可得2sinαcosαsin 2α+cos 2α
=2
3
,弦化切,即可求解.
【解答】解:由sin2α=2sin αcos α, 可得2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2
3, ∴2tanαtan 2α+1=2
3,
即tan 2
α﹣3tan α+1=0. 可得tanα+1
tanα=3. 故选:C .
【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用,属于基本知识的考查.
【典例4】已知1sin cos 2αα+=,(0,)απ∈,则1tan (1tan α
α
+=- )
A
B
. C
.
D
.【分析】把已知等式两边平方,求得sin cos αα,进一步得到sin cos αα-的值,联立求得sin α,
cos α
,得到tan α,代入得答案.
【解答】解:由1
sin cos 2
αα+=,(0,)απ∈,
得112sin cos 4αα+=
,32sin cos 4
αα∴=-, 则sin 0α>,cos 0α<,
sin cos αα∴-====
联立1sin cos 2sin cos αααα?
+=???
?-??
sin α=
,cos α=,
tan α=
=.
∴
11tan 1tan αα-
+==- 故选:B .
【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是中档题. 【典例5】已知?π
2
<α<π
2
,2tan β=tan2α,tan (β﹣α)=﹣8,则sin α=( )
A .?
√53 B .?2√55 C .√5
3
D .
2√5
5
【分析】2tan β=tan2α,∴2tan (β﹣α+α)=2tanα
1?tan 2α,变形可得tan α=﹣2,可得sin α=?
2√55
.
【解答】解:∵2tan β=tan2α,∴2tan (β﹣α+α)=2tanα
1?tan 2α,
∴
2tan(β?α)+2tanα1?tan(β?α)tanα
=
2tanα1?tan 2α
,
∴
?16+2tanα1+8tanα
=
2tanα1?tan 2α
,
化简得tan α=﹣2,∴α∈(?π2
,0),
∴sin α=?2√5
5
. 故选:B .
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数,属中档题.
【典例6】若α∈(π
2
,π),且3cos2α=2sin(π
4
?α),则cos2α的值为( )
A .?
4√29 B .4√2
9
C .?79
D .7
9
【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求cos α+sin α=
√2
3
①,两边平方,解得sin2α=?79
,可求cos α﹣sin α=?√(cosα?sinα)2=?43
,②由①+②可得cos α=√2?4
6
,利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2α的值. 【解答】解:∵α∈(π2,π),且3cos2α=2sin(π
4?α), ∴3(cos 2
α﹣sin 2
α)=√2(cos α﹣sin α),
∴3(cos α﹣sin α)(cos α+sin α)=√2(cos α﹣sin α), ∴cos α+sin α=
√2
3
①,或cos α﹣sin α=0,(舍去),
∴两边平方,可得:1+sin2α=29
,解得:sin2α=?79
,
∴cos α﹣sin α=?√(cosα?sinα)2=?√1?sin2α=?√1?(?79
)=?4
3
,②
∴由①+②可得:cos α=√2?46,可得:cos2α=2cos 2
α﹣1=2×(√2?46
)2﹣1=?
4√2
9
. 故选:A .
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
【典例7】已知sin()4πα+=(0,)απ∈,则cos(2)6
πα+= .
【分析】根据条件得到sin cos αα+=
,sin cos αα-==,进而求得sin α,cos α,再利用两角和差公式运算即可
【解答】解:sin()cos )4πααα+=+=
,则有sin cos αα+=, 两边平方可得:11sin 23α+=,则2
sin 23
α=-,即有2sin cos 0αα<
又因为(0,)απ∈,所以sin 0α>,cos 0α<,
则sin cos αα-=,
(法一)将sin cos αα-与sin cos αα+联立后解得sin α=
,
cos α=
,
则22cos 22cos 121αα=-=?-=,
所以12cos(2)(()623πα+=-?-=
.
(法二)因为22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-==
所以12cos(2)(()623πα+=-?-=
.
【点评】本题考查两角和差的三角函数的求值,涉及方程思想,属于中档题 【典例8】已知α,β是函数1
()sin cos 3
f x x x =+-在[0,2)π上的两个零点,则cos()(αβ-= )
A .1-
B .89
-
C
. D .0
【分析】利用函数与方程之间的关系,结合三角函数的诱导公式,同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可.
【解答】解:解法一:依题意,()()0f f αβ==,故1sin cos 3αα+=,由221
sin cos 31
sin cos αααα?+=
??
?+=?, 得29sin 3sin 40αα--=,29cos 3cos 40αα--=且sin cos αα≠, 所以sin α,cos α是方程29340(*)x x --=的两个异根.
同理可证,sin β,cos β为方程(*)的两个异根.可以得到sin sin αβ≠,
理由如下:假设sin sin αβ=,则cos cos αβ=,又α,[0β∈,2)π,则αβ=,这与已知相悖,故sin sin αβ≠.
从而sin α,sin β为方程(*)的两个异根,
故4sin sin 9αβ=-.同理可求4cos cos 9αβ=-,所以8
cos()cos cos sin sin 9
αβαααβ-=+=-.
解法二:令()0f x =,得1sin cos 3x x +=.令()sin cos g x x x =+,
即())4
g x x π
=+,
则α,β即为()g x 与直线1
3
y =
在[0,2)π上交点的横坐标, 由图象可知,
52
4αβ
π+=
,故52
πβα=-,
又
1
)43
πα+=
,所以258
cos()cos(2)cos[2()3]cos2()12sin ()24449
ππππαβααπαα-=-=+-=-+=-++=-.
解法三:依题意,不妨设02βαπ<<,则点(cos ,sin )A αα,(cos ,sin )B ββ为直线
1
03
x y +-=与单位圆的两个交点,
如图所示.取AB 中点为H ,则OH AB ⊥,记AOH θ∠=.则22αβπθ-=-, 所以,2cos()cos(22)cos 22cos 1αβπθθθ-=-==-.
另一方面,1
|00|
OH +-=
,1OA =
,故cos θ=,
从而28
cos()219
αβ-=?-=-.
故选:B .
【点评】本题主要考查三角函数值的计算,利用函数与方程的关系,以及利用三角函数辅助角公式,同角关系以及两角和差的三角公式进行转化计算是解决本题的关键.难度中等.
考点2:解三角形
一、三角形当中的角与角之间的关系
1. A+B+C=π
2. sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C
3. cos A=?cos(B+C)=?(cos B cos C?sin B sin C)
4. tan A=?tan(B+C)=?tan B+tan C
1?tan B tan C
二、正弦定理
1. 正弦定理:a
sin A =b
sin B
=c
sin C
=2R;(R为三角形外接圆半径)
2. 正弦定理变形式:
(1)sin A=a
2R ;sin B=b
2R
:sin C=c
2R
(2)a:b:c=sin A:sin B:sin C
3. 正弦定理的应用
(1)已知两角和任意一边,求另一角和其它的两条边
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其中的对角
三、余弦定理
1. 余弦定理:
a2=b2+c2?2bc cos A;
b2=c2+a2?2ac cos B;
c2=a2+b2?2ab cos C;
2. 余弦定理变形式:
cos A=b2+c2?a2
2bc
;
cos B=a2+c2?b2
2ac
;
cos C=a2+b2?c2
2ab
.
3. 余弦定理的应用
(1)已知三边,求各角
(2)已知两边和它们的夹角,求第三个边和其它的两个角
(3)已知两边和其中一边的对角,求其它的角和边.
四、面积公式
1. SΔ=1
2a?
a
=1
2
b?
b
=1
2
c?
c
(?
a
、?
b
、?
c
分别表示a、b、c上的高);
2. SΔ=1
2ab sin C=1
2
bc sin A=1
2
ac sin B;
3. SΔ=1
2ab sin C=abc
4R
;
4. SΔ=1
2
r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
典例精讲
【典例1】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知b=3√5,c=6√2,tan(A+π
4
)=2,则a=()
A.15 B.3√5C.3 D.6√2
【分析】先根据已知可得cos A的值,再根据余弦定理可得a.
【解答】解:由tan(A+π
4)=tanA+1
1?tanA
=2,解得tan A=1
3
,∴cos A=3√10
10
,
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A=45+72﹣36√10×3√10
10
=9,
∴a=3.
故选:C.
【点评】本题考查了余弦定理,属中档题.
【典例2】如图,在△ABC中,点D在边BC上,且BD=2DC,∠DAC=30°,AD=2,△ABC 的面积为3√3,则线段AB的长度为()
A.3 B.2√2C.2√3D.3√2
【分析】由已知可求△ADC的面积为√3,利用三角形的面积公式可求AC=2√3,根据余弦定理在△ACD中可求CD=2,由已知可求∠C=30°,BD=4,在△ABC中,根据余弦定理即可解得AB的值.
【解答】解:∵BD=2DC,∠DAC=30°,AD=2,△ABC的面积为3√3,
∴△ADC的面积为√3,可得:1
2AD?AC?sin∠DAC=1
2
×2×AC×1
2
=√3,
∴解得:AC=2√3,
∵△ACD中,CD2=12+4﹣2×2√3×2×cos30°=4,∴解得CD=2,
∵∠DAC=30°,AD=2,BD=2DC,
∴∠C=30°,BD=4,
∴在△ABC中,AB2=(2√3)2+62﹣2×2√3×6×cos30°=12,解得:AB=2√3.
故选:C.
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,注重考查了运算能力和转化的思想方法,本题的难点在于将△ABC的面积转化为△ADC的面积,这样才能把已知条件转移到同一个三角形中,再根据正弦定理,余弦定理得出相应的边长,属于中档题.
【典例3】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若sin2A﹣sin2B﹣sin2C=﹣sin B sin C,
c b =1
2
+√3,则tan B=()
A.2 B.1
2C.2+2√3
3
D.3(√3?1)
4
【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=﹣bc,再由余弦定理可得cos A=?1
2
,可得A =60°,利用正弦函数,三角函数恒等变换的应用化简已知等式从而求得tan B的值.【解答】解:在△ABC中,由sin2A﹣sin2B﹣sin2C=﹣sin B sin C,
利用正弦定理可得:a2﹣b2﹣c2=﹣bc,再由余弦定理可得:cos A=b 2+c2?a2
2bc
=bc
2bc
=1
2
,
∴A=60°,
∵c
b =1
2
+√3,由正弦定理可得:sin C=sin B(1
2
+√3),
可得:sin(2π
3?B)=sin B(1
2
+√3),√3
2
cos B+1
2
sin B=1
2
sin B+√3sin B,
∴可得:tan B=1
2
.
故选:B.
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,根据三角函数的值求角.
【典例4】如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ=√3?1 .
【分析】先在△ADB中用正弦定理求得BD,再在△DBC中用正弦定理求得sin∠DCB,然后根据∠DCB=θ+π
2
可求得.
【解答】解:∵∠DAC=15°,∠DBC=45°,∴∠ADB=30°,
在△ADB中,由正弦定理得:AB
sin∠ADB =BD
sin∠DAB
,∴BD=ABsin∠ADB
sin∠DAB
═25(√6?√2),
在△DBC中,CD=25,∠DBC=45°,BD=25(√6?√2),由正弦定理BD
sin∠DCB =CD
sin∠DBC
,
∴sin∠DCB=BDsin45°
CD
=√3?1,
∴sin(θ+π
2
)=√3?1,∴cosθ=√3?1.
故答案为:√3?1.
【点评】本题考查了正弦定理以及诱导公式,属中档题.
【典例5】如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D 处的北偏西15?、北偏东45?方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60?方向,则A,B两处岛屿间的距离为()
A .
B .
C .20(1海里
D .40海里
【分析】分别在ACD ?和BCD ?中利用正弦定理计算AD ,BD ,再在ABD ?中利用余弦定理计算AB . 【解答】解:连接AB ,
由题意可知40CD =,105ADC ∠=?,45BDC ∠=?,90BCD ∠=?,30ACD ∠=?,
45CAD ∴∠=?,60ADB ∠=?,
在ACD ?中,由正弦定理得40
sin30sin 45AD =
??
,AD ∴=, 在Rt BCD ?中,
45BDC ∠=?,90BCD ∠=?,
BD ∴=
=
在ABD ?中,由余弦定理得AB = 故选:
A .
【点评】本题考查了解三角形的应用,合理选择三角形,利用正余弦定理计算是关键,属于中档题.
【典例6】已知ABC ?的三边分别为a ,b ,c ,若满足22228a b c ++=,则ABC ?面积的最大值为( )
A B C D .
【分析】由三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理可求22
2
221(83)416
c S a b -=-,
进而利用基本不等式,从而可求2
22
458()5165
S c --,从而利用二次函数的性质可求最值. 【解答】解:由三角形面积公式可得:1
sin 2
S ab C =
, 可得:2222
222
22211(1cos )[1()]442a b c S a b C a b ab
+-=-=-,
22228a b c ++=,
22282a b c ∴+=-,可得:222822a b c ab +=-,解得:24ab c -,当且仅当a b =时等号成
立,
2222
222
1[1()]42a b c S a b ab
+-∴=-
2222
183[1()]42c a b ab -=- 22
221(83)416c a b -=-
2222
1(83)(4)416c c ---
42516
c c =-+
22
458()5165
c =
--,当且仅当a b =时等号成立,
∴当2
85c =时,42516c c -
+取得最大值45
,S . 故选:B .
【点评】本题主要考查了三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理,基本不等式,二次函数的最值的综合应用,考查了运算能力和转化思想,难度中等.
【典例7】ABC ?的内角
A 、
B 、
C 的对边分别为
a
、b 、c
,已
知
sin sin sin sin a b B c C a A c B =
+=+,则ABC ?的周长的最大值是(
)
A
.B
.3+C
.D
.4【分析】由已知利用余弦定理可求
A ,利用3a =和sin A 的值,根据正弦定理表示出b 和c ,
代入三角形的周长a b c ++中,利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值.
【解答】解:sin sin sin sin a b B c C a A c B +=+,
∴由正弦定理可得:2
22b
c a bc +-=,
2221
cos 222b c a bc A bc bc +-∴===,
(0,)A π∈,
3
A π∴=
, ∴
由a
2sin sin sin a b c
A B C
===,
2sin b B ∴=,2sin c C =,
则2sin 2sin a b c B C +++
22sin 2sin(
)3
B B π
+-
3sin B B =+
)6
B π
++,
可知周长的最大值为
故选:A.
【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题.
综合练习
一.选择题(共5小题)
1.已知函数()sin 2cos f x x x =+,若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴,则cos2θ=
3
5
. 【分析】引入辅助角?,根据对称性的性质可得,sin()1θ?+=±,
从而1
2
k θ?ππ+=+,k z ∈,结合诱导公式及二倍角公式即可求解.
【解答】解:()sin 2cos )(sin f x x x x ??=+=+=
,cos ?=的一条对称轴方程是x θ=, sin()1θ?∴+=±,
1
2k θ?ππ∴+=+,k z ∈.
1
2
k θ?ππ∴=-++,k z ∈.
222k θ?ππ∴=-++,k z ∈,
23
cos22cos 15??=-=-,
3
cos2cos25θ?∴=-=.
故答案为:3
5
.
【点评】本题考查正弦函数的性质,突出考查其对称性,考查分析、运算能力,属于中档题.
2.若关于x 的方程(sin x +cos x )2
+cos2x =m 在区间[0,π)上有两个根x 1,x 2,且|x 1﹣x 2|≥
π4
,则实数m 的取值范围是( )
A.[0,2)B.[0,2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+1)
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质求出结果.
【解答】解:关于x的方程(sin x+cos x)2+cos2x=m在区间[0,π)上有两个根x1,x2,
方程即sin2x+cos2x=m﹣1,即 sin(2x+π
4)=
√2
,
∴sin(2x+π
4)=
√2
在区间[0,π)上有两个根x1,x2,且|x1﹣x2|≥π
4
.
∵x∈[0,π),∴2x+π
4∈[π
4
,9π
4
),∴?√2
2
≤
2
≤√2
2
,
求得 0≤m≤2,
故选:B.
【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的图象和性质,属于中档题.
3.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形的一个锐角为α,且小正方形与大正方形面积之比为9:25,则sin2α的值为()
A.4
9B.5
9
C.9
16
D.16
25
【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得 5sinα﹣5cosα=3,两边平方并利用二倍角的正弦公式,求得sin2α的值.
【解答】解:∵小正方形与大正方形面积之比为9:25,
设小正方形的边长为3,则大正方形边长为5,
由题意可得,小直角三角形的三边分别为5cosα,5sinα,5,
∵4个小直角三角形全等,故有5cosα+3=5sinα,即 5sinα﹣5cosα=3,
平方可得sin2α=1625
,
故选:D .
【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系,二倍角的正弦公式的应用,属于中档题. 4.在ABC ?中,角
A ,
B ,
C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 表示ABC ?的面积,若
cos cos sin c B b C a A +=,222)S b a c =+-,则(B ∠= )
A .90?
B .60?
C .45?
D .30?
【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin 1A =,结合A 的范围可
求090A =,由余弦定理、三角形面积公式可求tan C ,结合范围00090C <<,可求
C 的值,根据三角形面积公式可求B 的值.
【解答】解:由正弦定理及cos cos sin c B b C a A +=, 得2sin cos sin cos sin C B B C A +=,可得:2sin()sin C B A +=, 可得:sin 1A =, 因为000180A <<, 所以090A =;
由余弦定理、三角形面积公式及2
22)S b a c =+-,
得1sin 2cos 2ab C ab C =, 整理得
tan C = 又00090C <<, 所以060C =, 故030B =. 故选:D .
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转)) 第一章解三角形 .正弦定理: 2)化边为角: a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 )化边为角: a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 )化角为边: sin A sin B a ; sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 )化角为边:si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ① 已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中,已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsinA 或a b 时,B 有一个解; ③ bsinA a b 时,B 有两个解。 如:①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B (有一个解) ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径, 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形:1) a b c a sin sin si sin 2R (其中R 是三角形外接圆的半径) b c sin sinC c 2R 沁;求出 sin C 1.正弦定理:在一个三角形中, bsin A 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量:),,(p n m s =ρ ,过点),,(000z y x 3、 两直线的夹角:),,(1111 p n m s =ρ ,),,(2222p n m s =ρ , ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ;?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角, ?∏//L 0=++Cp Bn Am ;?∏⊥L p C n B m A == 第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续: ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、 偏导数: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ;y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、 方向导数: βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、 梯度:),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、 全微分:设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y ??= +?? (一) 性质 1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系: 基础强化(8)——解三角形 1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); ②. 三角形三边关系:a+b>c; a-b 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 第八章 1、 向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、 两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、 二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222; (旋转抛物面: z a y x =+2 2 2(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面: 122 222=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转) ) 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 解三角形知识点归纳总 结 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于 外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半 径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离是 0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =, () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= (2)商数关系: sin tan cos α αα= (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成α π±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ;? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= (三) 空间直线及其方程 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =,()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (1)数列极限的定义 给定数列{x n },若存在常数a ,对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x n-a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →a (n→∞). (2)函数极限的定义 设函数f (x)在点x 0的某一去心邻域内(或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,(或存在X ) 使得当x满足不等式0<|x -x0|<δ 时,(或当x X >时) 恒有 |f (x)-A |<ε , 那么常数A就叫做函数f (x)当0x x →(或x →∞)时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x0).( 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有:如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-)时,恒有()f x A ε-<,则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限)记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时,恒有()f x A ε-<,则称A 为()f x 当x →-∞(或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== 2、极限的性质 (1)唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =,则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=,则A B = (2)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ,则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤ 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是 第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的 距离是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体,称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体,称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体,称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离: ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点, 是某一正数, 与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域,记为),(0 P U ,即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的 空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。 内点与边界点:设E 为n 维空间中的点集,n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ,使得E P U ),( ,则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点,则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界. 聚点:设E 为n 维空间中的点集,n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点,则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点,则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集,则称E 为闭集。 区域与闭区域:设D 为开集,如果对于D 内任意两点,都可以用D 内的折线(其上的点都属于D )连接起来, 则称开集D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域与其边界的并集称为闭区域. 有界集与无界集: 对于点集E ,若存在0 M ,使得(,)E U O M ,即E 中所有点到原点的距离都不超过M ,则称点集E 为有界集,否则称为无界集. 如果D 是区域而且有界,则称D 为有界区域. 有界闭区域的直径:设D 是n R 中的有界闭区域,则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。 三角函数和解三角形知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点及原点重合,角的始边及x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α 为第几象限 角.第一象限角的集合为 {}360 36090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为 {}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为 {}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为 {}180,k k αα=?∈Z 终边在 y 轴上的角的集合为{ }18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为 {}90,k k αα=?∈Z 3、及角α终边相同的角的集合为 {}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是. 6、弧度制及角度制的换算公式:2360 π=,,. 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=, 2C r l =+, . 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是 (),x y ( ) r r =>,则,,. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11 、 角 三 角 函 数 的基本关系:()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-; 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角; ②数量积(是个数)、向量积(是个向量);(填空选择题中考察) ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面;(重积分求体积时画图需要) ④平面的几种方程的表示方法(点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程),两平面的夹角;(一般必考) ⑤空间直线的几种表示方法(参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程), 两直线的夹角、直线与平面的夹角;(一般必考) 空间解析几何和向量代数: 。 代表平行六面体的体积为锐角时, 向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== (马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面: 同号) (、抛物面:、椭球面:二次曲面: 参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程: 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= , , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式: 时,,当 : 多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22同济六版高等数学(下)知识点整理
解三角形知识点归纳总结
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高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
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