江苏高考应用题专项50题

江苏高考应用题专项

50题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，

BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设BAOθ

∠=（rad），将y表示成θ的函数；

（ii）设OP x

=（km），将y表示成x的函数；

置，使铺设的污水管道的总长度最短。

B

2.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，

仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与

β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为

125m，试问d为多少时，α-β最大？

(3)

3. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的

四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P

4. 某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3

B π

∠=

的固定装置，AB 上可滑动的点

C 使C

D 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩

时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.

（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？

D

C

5. 如图，实线部分DE ，DF ，EF 是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分EF 是以AB

为直径的半圆上的一段弧，点O 为圆心，△ABD 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2

千米，204EOA FOB x x π?

?∠=∠=<< ???.若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或

弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE ，DF 的长度的比例系数为2，与路线EF 的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”y 是游客游览所有路线“留恋度”的和. （I ）试将y 表示为x 的函数；

（II ）试确定当x 取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？

6.如图，海上有A B，两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60?，现从船

O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC BO

=km．

=．设AC x

（1）用x分别表示22

+和OA OB

OA OB

?，并求出x的取值范围；

（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值．Array

(第18题图)

7. 如图，在海岸线一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方

便游客，在上设立了A 、B 两个报名点，满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处（点D 异于

A 、

B 两点），然后乘同一艘游轮前往

C 岛。据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠α=CDA ，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元。

⑴写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？

8. 如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a

13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中3

1tan =α，

13

2cos =

β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 3

7

>

）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．

9. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为 4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ． （1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积； （2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养 殖区的最小面积．

1l

2l D

A

B

C

1l

2l

D

A

B

C

（图甲）

（图乙）

10. 如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设

梯形部件ABCD 的面积为y 平方米. (I)按下列要求写出函数关系式：

①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式；

②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式(II)求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．

11.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右

两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80

3

π

立方米，且2

l r

≥．假设该容器的建造费用仅

与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（3

c>）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．

12.如图，海岸线MAN，2,

B MA

C NA

∈∈．

Aθ

∠=现用长为l的拦网围成一养殖场，其中,

(1)若BC l=,求养殖场面积最大值；

(2)若B、C为定点，BC l<，在折线MBCN内选点D，使BD DC l

+=，求四边形养殖场DBAC的最大面积．

13.由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()

P t（单位：吨）与上市时间t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE表示，销售价格()

Q t（单位：元／千克）与上市时间t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR表示（H 为顶点）．

（Ⅰ）请分别写出()

P t,()

Q t关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？

（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线

．．．．围成的平面区域为M，动点(,)

P x y在M内（包括边界），求5

z x y

=-的最大值；

(Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点(,)

P x y所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如

1233

x y

≤-≤类比为

2

3

13

x

y

≤≤），试列出(,)

P x y所满足的条件，并求出相应的最大值．

（图1）（图2）

14. 已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿

石的价值为54000元。

⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式；

⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；

⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。 （注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值

原有价值

；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

15. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能

开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设(,(P t f t

（1）将OMN ?（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数

()S t ；

（2）若在1

2

t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的

最小值.

16.某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m人(60

m为10的整数倍)，每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．

（Ⅰ）设公司裁员人数为x，写出公司获得的经济效益y（元）关于x的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；

（Ⅱ）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人?

17. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在

BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

O

B

C

A P

18. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座

位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位

的总费用为2k ?

+???

元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为

点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？