导数、解析几何大题及答案

2

2

20?已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线x=4与x 轴的交点为P ,与抛物线的交点为 Q,且廟匸一|珂丨? (1) 求抛物线的方程；

(2) 如图所示，过F 的直线I 与抛物线相交于A, D 两点，与圆x 2+(y - 1) 2=1相交于B , C 两点(A , B 两点相邻)，过A, D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点 M 求厶ABM ^A CDM 勺面积之积的最小值.

I QF I =

???抛物线x 2=4y ;

(2)设 I : y=kx+1, A( X 1, yd , B( X 2, y 2), ? M 到I 的距

离

+2

联立 y=kK+l ,整理得：x 2 - 4kx - 4=0 , 贝U X 1X 2=- 4 , ???△ ABMW ^ CDM 勺面积之积 S A ABI ?S A CD M^~ I

2

AB II CD|?d ,

由 y=-?x 2 ,求导 y '=二, 直线MAy -

(x - X 1),即卩 y=

(I DF I - 1)?d 2 ,

x

d 2 ,

解：(1)由题意可知P (4, 0), Q (4,

),

同理求得MD y=

由 iQFkziFQl ,则二+炸〒x

,解得：p=2 ,

,解得：

x=2k

L y=-1

,则(2k , - 1),

=1+k 2>

1, 当且仅当k=0时取等号, 当k=0时，△ ABMW A CDM 勺面积之积的

最小 值1

21 .已知函数 f (x ) =lnx — x . (1) 证明：对任意的X 1, X 2^（ 0, +°）, 都有 |f (X i ) | >

(2) f (ID ) (n) +n)

rn-n r . 2 2 与m 一门

设m >n >0,比较 的大小，并说明理由 (1) 证明: f (m) -f

因为 f '(x ) =1-，故 f (x )在(0, 1) 上是增加的，在（1, +°）上是减少的, f (X ) maX =f ( 1 ) =ln1 —仁—1, |f ( x ) | min =1 ,

- 1

m 1 — 2 2

X “ n 一 4—

Hl 口

且

设G( x )=」,

1^1 XL x .2 , V m >n >0

，^- 1>0,

故 G (x )在(0, e ）上是增加的，在（e , + 故只需比较In,与

°°）上是减少的, 故 G(x ) max =G(e )=丄v 1,

的大小,

■t -l

G ( X ) max V

|f (X )

I min ,

所以 |f (X 1) | Ins 2

K 2 对任意的X 1, X z € (0,

设 G (t ) =lnt

=lnt

+x ）

恒成立; (2)解:

t 2+zt-i 十说

i

因为t > 1,所以G (t )> 0,所以函数G (t )在(1, +x )上是增加的，

故 G( t )> G (1) =0,所以 G( t )> 0 对任 意t > 1恒成立，

即In

从而有

到右准线I 的距离为

.

(I)求a 、b 的值;

(U)设M N 是右准线I 上两动点，满足丽.丽=0?当|MN|取最小值时，求证：M N 两 点关于x 轴

对称.

I

2

解：(1)因为亡*, F2到I 的距离d~-^, o C

Hl

所以由题设得

T -皿

解得，k 二施a=2. 由 >--存一:

=1 (a > b > 0)的左、右焦点分别是 F 1 和 F 2,

f (m)

(n)如)

19. (13分)设椭圆

(U)证明：由卜八打，a=2得卩(-叼0)，匚(问0)

则I的方程为? 故可设爪(2近，皿，N〈皿y2)-

卩訓=(^2^2, y1),兀孑=(2应-'、〔二，屮),

由」■一j=0 知，3 X +yy=O,

得y i y2=- 6,所以yy工0,

,I "Fly i —y2|=|y 1+ |=|y i|+ ,

Yj I7iI

当且仅当y^±.；i时，上式取等号，此时yi=-y2.

即M N两点关于x轴对称.

__ 3 2 、”,

20. (14分)已知函数f (x) =x+ax+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值. (I)求实数a 的取值范围；

f 2a+3 2

(U)若方程f (x)=- 恰好有两个不同的根，求f (x)的解析式；

(川)对于(2)中的函数f (X ),若对于任意实数a 和B 恒有不等式|f (2sin a) B) | < m 成立，求m 的最小值.

-f (2sin 解: (I) f (0)=0? c=0, f (x )=3x 2

+2ax+b, f ( 1) =0? b=- 2a — 3,…2 分

??? f 2

(x) =3x+2ax -( 2a+3) = (x - 1) (3x+2a+3),

因为当x=1时取得极大值，所以 所以a 的取值范围是：(-X,- 3);…4分

(U)由下表:

x=1

递增 极大值-a - 2 递减

极小值丄

递增

依题意得：4

,

z I

y

解得：a= - 9,

所以函数f (x )的解析式是：f (x ) =x 3 - 9x 2+15x ;…9分

(x ) =0? x=1 或寸二-

画出f (x )的简图:

又"，■ 1,贝U( 1 - X 1,- y 1) = X (X 2 — 1, y 2),即 y 1=—入 y,

，①且

(川)对任意的实数a,B 都有- 2< 2sin a< 2,- 2< 2sin 2, 依题意有：函数f (x )在区间上的最大值与最小值的差不大于 m …10分

在区间上有：f (- 2) =-8 -36 - 30=- 74f (1) =7, f (2) =8 - 36+30=2f (x )的最大值是 f (1) =7,

f (x )的最小值是 f (- 2) =-8-36 - 30=- 74,…13 分 所以81即m 的最小值是81.…14分.

2 2

20.已知抛物线C: y 2=2px(p >0)的焦点F 与椭圆C': ?: =1的一个焦点重合, 2)在抛物线上，过焦点F 的直线I 交抛物线于M 、N 两点. (1)求抛物线C 的方程以及|AF|的值;

(2)记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ,若?,' ■ .1 J , | BM| 2+| BN| 2=40,求实数

2 2

解:(

“ 依题意，椭圆?

「

「中，a2=6, b2=5,故 c2=a2- b2=1,故二「

点 A(X 0,

入的值.

可得抛物线C 的方程为f=4x .

将 A (X 0, 2)代入 y 2=4x ，解得 x 0=1，故.

(2)依题意，F (1, 0),设 l : x=my+1，设 M (X 1, y 1)、N (x 2, y 2),

联立方程

K=rny+1 '

消去 x ,得 y 2- 4my - 4=0.

所以

r2 —一 _

_入旳二T °1

代入①得- ，消去y2得4『二入什-2,

(1一乙)乃二4加兀

易得 B (- 1, 0),则明二(切+1「y】)’ BN= (K2+L y J ,

则

|丽I S|尿| 2二独『1■丽'二(巧T )戈十”丁十(勺十打外咒冬戈十2 &i+七)吃十yj十匕上

H n. o ? *9 9 ?.

=〔琢y[+1) + (口Fz+1)+2(m活]+m尸d+2)+2+y] +y2=(m +l)(F]

+/2 )+4m(y]+y?)+￡

=(m2+1) (16m2+8) +4m?4m+8=16m4+40m2+16,

当16m4+40m2+16=40,解得『斗，故入二2 士换.

21 ?已知函数f (x) =axeX-( a- 1) (x+1) 2(a€ R, e 为自然对数的底数，e=2.7181281 …).

(1)当a=- 1时，求f (x)的单调区间；

(2)若f (x)仅有一个极值点，求a的取值范围.

解：(1)由题知，f (x) =-xe x+2 (x+1) 2,

f (x) =- e x- xe x+4 (x+1) = (x+1) (4- e x),

由f (x) =0 得到x=- 1 或x=ln4,

而当x v In4 时，(4 - e x)> 0, x>In4 时，(4 - e x)v 0,列表得:

x (-X,—1) -1 (-1, l n4)In4(I n4, +^)

f (x) - 0+ 0—

f (x) \ 极大值/ 极小值

所以，此时f (X)的减区间为(-X,-1), (In4, +^), 增区间为(-1 , In4);

(2) f (x) =ae x+axe x- 2 (a- 1) (x+1) = (x+1) (ae x- 2a+2),

由f (x) =0 得到x= - 1 或ae x- 2a+2=0 (*)

由于f (x)仅有一个极值点，

关于x的方程(* )必无解，

①当a=0时，(*)无解，符合题意，

②当a^0时，由(* )得e x二^，故由二0得O v a< 1，

a a

由于这两种情况都有，当x v- 1时，f (x)v 0,于是f (X)为减函数, 当x>- 1时，f (x)> 0,于是f (x)为增函数，

???仅x=- 1为f (X)的极值点, 综上可得a的取值范围是[0, 1].