1-3复变函数的导数(1)

$1.3 复数函数的导数

授课要点：导数的定义，柯西—黎曼条件

1、 复变函数的导数：

0'()lim z df w f z dz z

?→?==? 如果极限存在，且与0z ?→的方式无关，则称()f z 在z 点可导。'()f z 或

df dz 称为函数在z 点的导数.

从形式上看，复变函数的导数与实变函数的导数一样，实变函数中的一些关于求导的公式也可用于复变函数之中，比如

1212121221112

12222()()''(1()dw dw d w w dz dz dz dw dw d w w w w dz dz dz w w w w w d dz w w dw dz dz dw dF dF dw F w dz dw dz ?+=+???=+??-?=????=????=??? 1sin cos cos sin ln 1n n z z dz nz dz d e e dz d z z dz d z z dz d z dz z -?=???=???=???=-???=??

复变函数导数存在的条件是一个很严格的条件，因为 0lim

z w z

?→?? 的值存在必须是在z ?以任意方式趋于零的条件下成立，首先考虑两种特殊情况：

（1） 沿平行于x 轴方向，这意味着z x ?=?；从而： 0lim (,)(,)(,)(,)lim 0x w u x x y iv x x y u x y iv x y z z x

?→?+?++?--=?→?? 0(,)(,)(,)(,)lim[]x u x x y u x y v x x y v x y i x x

?→+?-+?-=+?? u v i x x

??=+?? (1) 同样的道理，若考虑沿平行于y 轴的方向，有z i y ?=?，则：

00(,)(,)(,)(,)lim lim z y w u x y y iv x y y u x y iv x y z i y ?→?→?+?++?--=??

0(,)(,)(,)(,)lim[x u x y y u x y v x y y v x y i i y i y

?→+?-+?-=+?? u v i y y

??=-+?? (2) 函数的导数只能有一个，故由（1），（2）可得：

u v x y v u

x y ???=????????=-????

这就是柯西—黎曼方程，或柯西—黎曼条件（Cauthy—Riemann ）。C-R 条件是复变函数可导的必要条件（但不是充分条件）：

例1：函数Re w z x ==，在平面上处处连续，但处处不满足C-R 条件，故w x =在复平面上处处不可导

复变函数可导的充要条件

函数()f z 的偏导数

u x ??，v y ??，v x ??，u y

??皆存在，且连续，并满足C-R 条件。 证明：略.

评述：和实变函数中的情况类似，函数()f z 在z 点可导，则在z 点必然连续，但是函数在某点连续，并不能推导出函数在该点可导。比如w x =这样的函数，在全平面上连续，却处处不可导。

极坐标下的柯西—黎曼条件 11u v u v ρρ?ρ?

ρ???=????????=-???? 这可以通过考虑函数沿着径向(0)i z e ?ρ?=?→和沿角向(0)i i z e i e ??ρρφ?=?=?→的极限相等而得到. 当然，这一公式也可以考虑直角坐标下的C-R 方程，通过坐标变换而得到.

练习：1、推导极坐标下的C-R 条件

2、32

()23f z x i y =+在何处可导？

3、证明：若函数*(,)f z z 在G 内解析，则它不显含*z ，即 **

(,)0f z z z ?=?

这实际上是C-R条件的另一表达形式，这一条件有助于方便地判定函数的解析性。