厦门中考数学二次函数-经典压轴题

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，

3

2

2

a b

b

a

+-

?

?

?

-?

?

＝

＝

，

解得

1

4 a

b-

?

?

?

＝

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,

∴PF AF AE BE =，即244213x x x

--=-， 解得，x= ?1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5

∴点P 的坐标为（-1，-5），

又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（1

4

，0） ∴S △PAB=115

531524

??+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

2．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-

21x 2+3

2

x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，1

2

. 【解析】 【分析】

（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），

①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，

将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，

∴0a b c 016a 4b c 2c =-+??

=++??=?

， ∴1a 23b 2?=-????=??

，

∴y=-

21x 2+3

2

x+2； （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称， ∴D （0，-2）．

设直线BD 的解析式为y=kx-2． ∵将（4，0）代入得：4k-2=0， ∴k=

12

． ∴直线BD 的解析式为y=

1

2

x-2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （-1，0）；

当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形， 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8， ∴-2x+8=-21x 2+3

2

x+2，可求x=3或x=4（舍） ∴x=3；

∴Q （3，2）或Q （-1，0）； （3）两个和谐点； AO=1，OC=2，

设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1）， ①当A 1、C 1在抛物线上时，

∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 22

22?=-++????-=-++++??

，

∴x 1y 3=??=?

，

∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，

()2213y 1x x 222

13y 1(x 2)x 22

22?-=-++???

?-=-++++??， ∴1

x 221y 8

?=????=??

， ∴A 1的横坐标是

12

；

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．

3．如图，直线y＝-1

2

x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx

﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；

(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

【答案】(1)y＝1

4

x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣

3

4

(m+3)2+

27

4

；△ADC的面积最大值为

27

4

；此时

D(﹣3，﹣15

4

)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).

【解析】

【分析】

（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐

标为：(m，1

4

m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣

1

2

m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求

出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称

性此时∠EAD ＝∠ABC ．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝3

2

x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】

解：(1)在y ＝﹣

1

2

x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，

将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：

36630

4230a b a b --=??

+-=?

， 解得：141

a b ?

=???=?，

∴抛物线的解析式为：y ＝14

x 2

+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1

2

m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.

∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣3

2

m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC

＝12DF?AE+1

2?DF?OE ＝1

2

DF?OA ＝

12×(﹣14m 2﹣3

2

m)×6 ＝﹣34m 2﹣9

2

m ＝﹣

34(m+3)2+274，

∵a ＝﹣3

4

＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274

， 又∵当m ＝﹣3时，

14

m 2+m ﹣3＝﹣154，

∴存在点D(﹣3，﹣

15

4)

，使得△ADC 的面积最大，最大值为274

； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝

3

2

x+9， 由23

9

2

134

y x y x x ?=+

????=+-??，解得60x y =-??=?或821x y =??=?，

此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.

4．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．

【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点P 的坐标为（2，2）．

【分析】

（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴

10

930

b c

b c

--+=

?

?

-++=

?

，解得

2

3

b

c

=

?

?

=

?

，

∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．

抛物线的对称轴为x＝

2

22(1)

b

a

-=-

?-

＝1．

当x＝1时，y＝4，

∴点D的坐标为（1，4）．

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

则

4

30 k b

k b

+=

?

?

+=

?

，

解得

2

6

k

b

=-

?

?

=

?

．

∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，

设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），

则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC＝PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x＝2，

则y＝﹣2×2+6＝2，

∴点P的坐标为（2，2）．

本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．

5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存

在，（32-

，32）或（34-，9

4

），见解析. 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．

（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ． 【详解】

（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得

93003a b c a b c c -+=??

++=??=?

， 解得123a b c =-??

=-??=?

，

所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．

（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，

∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，

设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1

PQ A 2

O ?， ∴

()

21

3332

x x --?=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．

当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4）， 当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），

综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，

∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4）， 又∵A （﹣3，0），

∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，

∵B （1，0），C （0，3）

∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC

＝310

，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，

∴AE ＝AC?sin ∠ABC ＝310410?＝6105

，BE ＝210

5， ∴CE ＝

310

， ∴tan ∠ACB ＝

2AE

CE

=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，

∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，

设OM 与AD 的交点M （x ，y ）

依题意得：3y x

y x =-??=+?

，

解得3232x y ?=-????=??

，

即M 点为（32-

，3

2

）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．

∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则

依题意得：

3

3 y x

y x

=-

?

?

=+

?

，

解得

3

4

9

4 x

y

?

=-

??

?

?=

??

，

即M点为（

3

4

-，

9

4

），

综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为

（

3

2

-，

3

2

）或（

3

4

-，

9

4

）．

【点睛】

本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．

（3）当PH＝2时，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝

16

5

或

4

5

；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）

3+17

，4）．

【解析】

【详解】

（1）点C（0，4），则c＝4，

二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，

将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；

（2）tan ∠ACO ＝

AO CO ＝1

4

， △AOC 与△FEB 相似，则∠FBE ＝∠ACO 或∠CAO ， 即：tan ∠FEB ＝

1

4

或4， ∵四边形OEFG 为正方形，则FE ＝OE ＝a ， EB ＝4﹣a ， 则

144a a =-或44a

a

=-， 解得：a ＝

165或45

； （3）令y ＝﹣x 2+3x+4＝0，解得：x ＝4或﹣1，故点B （4，0）； 分别延长CF 、HP 交于点N ，

∵∠PFN+∠BFN ＝90°，∠FPN+∠PFN ＝90°， ∴∠FPN ＝∠NFB ，

∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ， ∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ， ∴△PNF ≌△BEF （AAS ）， ∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，

∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a+4）， ∵PH ＝2，

即：﹣4a 2+6a+4﹣4＝|2|， 解得：a ＝1或

12317+317

- 故：点P 的坐标为（2，4）或（1，43+17

，4）． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．

7．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．

②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运

动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．

③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．

【答案】①2

65y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点

N 的横坐标为：4或5412+或541

2

． 【解析】 【分析】

①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线

上，所以2

50

505a b an bn n +-=??+-=??=-?

，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：

265y x x =-+-；

②先求出点P 到BC 的高h 为2

sin 45(4)2

BP t ?=

-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ?=

?=-?=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22

③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设(

)

2

,65N m m m -+-，则(,0)H m 、

(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，

Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()

2

5654m m m ---+-=解得1541

m +=

，2541m -=去），Ⅲ．4NH HP -=，(

)

2

65[(5)]4m m m --+----=，解得1541

2

m =

（舍

去），252

m =． 【详解】

解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，

∴2

50505a b an bn n +-=??+-=??=-?

， ∴1a =-，6b =，

∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，

4PB t =-，2BE t =，

由①知，45OBC ?∠=， ∴点P 到BC 的高h

为sin 45)BP t ?=-，

∴211)22)22PBE S BE h t t t ?=

?=-?=-+ 当2t =时，△PBE

的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC

的距离d =

过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设(

)

2

,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN

为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，

∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；

Ⅱ．4NH HP +=， ∴(

)

2

5654m m m ---+-=

解得1m =

，2m =

∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，

5m >，

∴541

m +=

， Ⅲ．4NH HP -=，

∴()

2

65[(5)]4m m m --+----=， 解得1541

2

m +=

，25412m -=，

∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，

0m <，

∴541

2

m -=

， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或

541+或541

-． 【点睛】

本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．

8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（

）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：

与

y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．

【解析】

试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令

，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标

为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以

，解得；

（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．

试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令

，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），

EF＝=，

S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝

＝＝，

∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得

；

（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），

①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，

∴，即，∵，

∴，∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，

∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．

考点：二次函数综合题．

9．已知二次函数y=﹣

3

16

x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣

9

2

）两点．

（1）求b，c的值．

（2）二次函数y=﹣

3

16

x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请

说明情况．

【答案】（1）983

b c ?=

???=?；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【解析】

【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；

（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣

239

168

x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣

92

）分别代入y=﹣3

16x 2+bx+c ，

得3

3916416

2c b c =???-?-+=-??，

解得983

b c ?=???=?；

（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+9

8

x+3， △=（9

8）2﹣4×（﹣3

16）×3=22564

＞0， 所以二次函数y=﹣316

x 2

+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣

316x 2+9

8

x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．

10．如图，抛物线y=ax 2+c （a≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．