4-三角函数的图像习题精选精讲

? + 1 的图象． ?

向右平移 π 个单位 y = -2sin ? 2 x - ?

?

向 y = -2sin ? 2x - ?? + 1

上平移1个单位 点的纵坐标伸长到原来的2倍 y = 于

x 轴作对称变换 = 点的横坐标缩短为原来的一半 y = 12 振幅变换→ 相对 换 周期 换变 → 变 → 振幅变换→ 周期 换 相对 换变 →

变 → ? 向左平移 π

解：把 y = sin x 的图象沿着 x 轴向右平移 个单位，得到的解析式是 y = sin x - ? ；再使它的图象上各点的纵坐标保持不

变，横坐标缩小到原来的 倍，得到的解析式为 y = sin 2 x - ? ．故所求函数解析式为 y = sin 2 x - ? ． 1 π ? 1 n x >( 0 f ( x ) = A sin ? x + ? + ? ? ，因 f ( x ) = A sin x + + ? ? 与 y = sin x 是同一函数，进行相应系数的比较也可以得出结论.

ωπ 42 ? 2b sin x + ? (a ，b ∈ Z ) ，当 x ∈ ?0， ? 时， f ( x ) 的最大值为 2 2 - 1 ． π ? 4 ?

三角函数的图象变换

三角函数的图象变换是三角函数的图象的重要的组成部分.利用三角函数的图象变换不仅可方便的画出三角型函数的图象，而且还可 以进一步研究函数的性质．下面举例说明几种常见的变换及应用．

一、正向变换

例 1 由函数 y = sin x 的图象经过怎样的变换，得到函数 y = -2sin 2x -

?

π ?

6 ?

分析：可以从“平移变换”和“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，于是得到两种解法（而本文只介绍一种解法，另一 种解法请同学们参照评注自行探究）．

解： y = sin x

各 2sin x

关 -2sin x

各 -2sin 2 x

π

? 6 ?

π ?

6 ?

评注：由函数 y = sin x 的图象得到函数 y = A s in(ω x + ?) 的图象的变换主要有两条途径：

① y = sin x

② y = sin x

???? y = A s in x ???? y = A s in( x + ? ) ???? y = A s in(ω x + ?) ；

???? y = A s in x ???? y = A s in(ω x ) ???? y = A s in(ω x + ?)

“相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于 x 的变化顺序：途径①中由 x 到 x + ? ，变化了 ? ，应平移 ? 个单位；

途径②中由 ω x 到 ω x + ? （即 ω x + ?

? ? ω ??

），变化了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律 .本题还涉及到了对称变换，

先对称后平移与先平移后对称得到的结果是否一致呢？同学们开动脑筋思考一下．

二、逆向变换

例 2 已知函数 y = f ( x ) ，将 f ( x ) 的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿着 x 轴

1

个单位，这样得到的是 y =

sin x 的图象，求已知函数 y = f ( x ) 的解析式． 2

2

分析：对函数 y = 1 2

sin x 的图象作相反的变换，寻求应有的结论．

1 π 1 ? π ? 2

2

2

?

2 ?

1 ? ?

π ? 2 2

?

2 ?

2

?

2 ?

评 注 ： 本 题 也 可 以 设 所 求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式 为 f ( x )= A s i ω ( +

? )A

， ω > ， 通 过 “ 正 向 变 换 ” 得 到

?ω ? π ? ? ? ω ? 1 ? 2 ? ?

? 2 ? 2

三、综合应用

例 3 已知函数 f ( x ) = a +

? ? π ? ? ? 2 ?

x ∈ ?0， ? ，得 x +?

π ? ∈ ? ， ? ，

?∈? ，? ，

π ? ? 2 ? ?

a = -1，

b = 2 ，∴ f ( x ) = -1 + 2 2 sin x + ? ．

2b ·

y = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x -1 = sin 2 x + 2cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2 sin 2 x + ? + 1 ．

y = sin x + ? 的图象； 4 ?

? y = 2 sin 2 x + ? 的图象；

y = 2 sin 2 x + ? + 1 的图象． 的图象变换得到 ω 个单位，即 y = sin(ω x ) → y = sin(ωx + ?) 是左（右）平移 （1）求 f ( x ) 的解析式；

（2）由 f ( x ) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y = g ( x ) 的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．

解：（1）由

∴ sin x + ?

? 2 ?

1 4 ? ?

2 ? π ? π 3π ? 4 ? 4 4 ?

∴当 b < 0 时， a + 2

= a + b = 2 2 -1，与 a ，b ∈ Z 矛盾，舍去；当 b ≥ 0 时，由 a + 2b = 2 2 - 1 ， a ，b ∈ Z ，得 2

? π ? ?

4 ?

（2）能．先将 f ( x ) 的图象向右平移

π 4

个单位，再向上平移１个单位，即得到奇函数 g ( x ) = 2 2 sin x 的图象．

图象变换问题

三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为 y = A s in(ω x + ?) ( A > 0，ω > 0) 的形

式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先 平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“ x ”而言．

例 6 已知函数

而得到？

y = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x -1 ， x ∈ R ．该函数的图象可由 y = sin x ， x ∈ R 的图象经过怎样的变换

解：

? π ? ? 4 ?

y = sin x 依次作如下变换：

将函数

（1）把函数 y = sin x 的图象向左平移 π 4

，得到函数

? π ? ? 4 ?

（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 1 ? 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y = sin 2 x + π ? ? 的图象；

（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的

2 倍（横坐标不变），得到函数 ? π ? ? 4 ?

（4）把得到的函数图象向上平移1 个单位长度，得到函数

? π ? ? 4 ?

综上得到函数 y = sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x -1 的图象． 点评：由

y = sin x y = A s in(ω x + ?) 的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即

y = sin x → y = sin( x + ?) → y = sin(ω x + ?) → y = A s in(ω x + ?) ．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移

时不是 ? 个单位，而是 ? ?

ω 个单位长度．

∴ f ( x ) 的单调增区间为 ?k π - , k π + ?

（II ）先把 y = sin 2 x 图象上所有点向左平移 π

y x n 思路分析：（1） f ( x ) 是 R 上的偶函数， f ( x ) 应为 f ( x ) = cos ω x ， ∴? = k π + π

f ( x ) 在区间 [0, ] 上是单调函数，根据 f ( x ) = cos ω x 图像， [0, ] ? ?0, ? ，可求 ω 的范围。

[0, ] ? ?0, ? ，得 ? ≥

所以，综合以上得 ω

2 ω 2

解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点” 三角函数的图像与性质是高考必考内容之一，不管从什么

角度考察，不管考察哪一种性质问题，解决问题的切入点一

般有两个：一是把所研究的函数解析式化为：“一角一”；二是画出函数在某一区间上的图像。举例说明如下：

例 1、（2006 年福建卷）已知函数

f ( x ) = sin 2 x + 3sin x cos x + 2cos 2 x , x ∈ R .

（I ）求函数

f ( x ) 的最小正周期和单调增区间；

（II ）函数

f ( x ) 的图象可以由函数 y = sin 2 x ( x ∈ R ) 的图象经过怎样的变换得到？

思路分析：先把函数

f ( x ) 的解析式化为 f ( x ) = A s in(ωx + ?) + B 的形势后，类比 y = sin x 讨论。

解：（I ）

π 3 2π

f ( x ) = = sin(2 x + ) + ∴ f ( x ) 的最小正周期 T =

6 2 2

= π .

由题意得 2k π -

π

2 ≤ 2 x + π

6 ≤ 2k π + π 2 , k ∈ Z , 、即 k π - π 3 ≤ x ≤ k π + π

6 , k ∈ Z .

? π π ? ?

3 6 ?

, k ∈ Z .

π

个单位长度，得到 y = sin(2 x +

) 的图象，再把所得图象上所有的点向上平

12 6

移 3 2 个单位长度，就得到 π 3 y = sin(2 x + ) + 的图象。

6 2

点评：求三角函数的值域、单调区间、周期、对称中心、对称轴，判断函数奇偶性等问题时，把函数的解析式化为：“一角一”的

形式（如： f ( x ) = A s in(ωx + ?) + B ）是解决此类问题的共同切入点。

易错点剖析：若把 π 3 π

f ( x ) 化为 f ( x ) = cos( - 2 x ) + ，由 2k π - π ≤ - 2 x ≤ 2k π , k ∈ Z 求 f ( x ) 的增区间是错误的，处

3 2 3

π 3 π 3

理 方 法 ：（ 1 ） 把 f ( x ) 变为 f ( x )= c o s x (-2

+ ) ， 或 把 f ( x ) 变为 f ( x ) = = sin(2 x + ) + 后类比

3 2 6 2

y = c o s x , =

s i 求。

例 2、（2003 辽宁卷理）已知函数

π

区间 [0,

2

]

上是单调函数，求

?

f ( x ) = sin(ωx + ? )(ω > 0,0 ≤ ? ≤ π ) 是 R 上的偶函数，其图像关于点 M (

和 ω 的值.

3π 4

,0) 对称，且在

2 , k ∈ Z ，易求 ?

（2）

π π ? T ?

2 2 ? 2 ?

解：由

f ( x ) 是偶函数，得 ? = k π +

π 2 , k ∈

Z

依题设 0 ≤ ? ≤ π ，所以解得 ? = π

2

. ∴ f ( x ) = cos ω x

由 f ( x ) 的图象关于点 M 对称，得 3π 3ωπ π 2

f ( ) = 0, = + k π , k = 0,1,2 …， ∴ω = (2k + 1), k = 0,1,2, ….

4 4 2 3

.根据，

π ? T ? 1 2π π 2 ? 2 ? =

2 3 或ω = 2 .

2 ] 上是单调函数应用的切入点，从而快速准确求出参数的值。

f ( x ) = 2(sin x cos x + cos 2 x - ), x ∈ [0, π ]，若函数

g ( x ) = f ( x ) - a 有两个不同零点 x , x 。

2

2

的值。

解：

f ( x ) = 2

（1）当 -1 < a < 1,a ≠ 2

2 ；当 -1 < a < 4 2 。

4

点评：根据函数图像很容易找到条件(1)偶函数（2）且在区间 [0, π

例 3．已知函数

1

1 2

（1）求实数 a 的取值范围；（2）求 x

1

+ x

思路分析：把函数解析式化为“一角一”，然后利用五点法画出函数在区间

2

π

sin 2 x +

cos 2 x = sin(2 x + ) 列表

2 2 4

[0,π ]上的图像，利用图像求解。

2 x +

π

4

0 π

π 3π 2 2π 5π

2

2

x

-

π 8

π 8

1 3π 8

5π 8

- 7π 8

0 9π 8

1

f ( x )

1

画出函数在区间

[0,π ]上的图像，如图：

根据函数的图像可得：

2 时，函数 g ( x ) 有两个不同的零点。

（2）当

2 π < a < 1时 x + x = 1 2 2

5π

时 x + x = 1 2

点评：利用图像很直观地得到问题的答案，同时也体现了数形结合思想在解题中的应用，由此可见画出三角函数在某一区间上的图 像，利用图像来思考三角问题是解三角问题一个非常直观和非常有效的切入点。

y = sin 2 x - ? 在区间 ?- ，π ? 的简图是（

π ? 3 ? -1

π

3、（2006 年天津卷）已知函数 f ( x ) = a sin x - b cos x （ a 、 b 为常数， a ≠ 0 ， x ∈ R ）在 x =

π

y = f ( 3π

- x ) 是（

2

D ．奇函数且它的图象关于点 (π

,0)

对称

④把函数

π y = 3sin(2 x + )的图象向右平移 得到y = 3sin 2 x 的图象.

“三角函数的图像与性质”高考大盘点

一：以简单的素材，直白的语言，客观题的形式全面考查三角函数最基本的图像、性质

1、（2007 年海南宁夏卷理 3）．函数

y ? ? π ? ? ? 2 ?

y

）

-

π 2

-

1

π 3

O π

6

-1

π

x

- π

2 1

- π O 3 π 6

π x

Ａ．

y Ｂ．

y

- π

2

- 1

π O 6

-1

π 3

π x

-

π 2

- 1

π 6

O

π x 3

-1

Ｃ．

Ｄ．

2、（2007 年安徽卷理 6）函数 π

f ( x ) = 3sin(2 x - ) 的图象为 C

3

①图象 C 关于直线 x =

11 12

π 对称; ②函灶 f ( x ) 在区间 (-

π 5π

, ) 内是增函数; 12 12

π

③由 y = 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C .

3

其中正确的个数有（

）个

（A ）0

（B ）1

（C ）2

（D ）3

4 处取得最小值，则函数

4

）

A ．偶函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称

B ．偶函数且它的图象关于点 ( 3π 2

,0) 对称

C ．奇函数且它的图象关于点 (

3π

,0) 对称

4、（2007 年四川卷理 16）下面有五个命题：

①函数 y = sin 4 x - cos 4 x 的最小正周期是 π .

②终边在 y 轴上的角的集合是 {a | a =

k π

2

, k ∈ Z }

③在同一坐标系中，函数 y = sin x 的图象和函数 y =x 的图象有三个公共点.

π

3 6

2

)在[0，π]上是减函数.

5．(07年辽宁卷文19）．已知函数f(x)=sin ωx+?+sin ωx-?-2cos2

ωx2，x∈R（其中ω>0）

2，求函数

y=f(x)的单调增区间．（I）解：f(x)= =2sin ωx-?-1．5分

-1≤sin ωx-?≤1，得-3≤2sin ωx-?-1≤1，

（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为π，又由ω>0，得2π

，

2≤2x-

6

≤2kπ+

f(x)=2sin 2x-?-1，再由2kπ-

2

(k∈Z)，解得

6≤x≤kπ+

3

(k∈Z)．

y=f(x)的单调增区间为?kπ-，kπ+?(k∈Z)

6．（2007陕西卷）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点 ?

π

?4

,2?，

f ?=m 1+sin?+cosπ

2=

2，得m=1．

f(x)=1+sin2x+cos2x=1+2sin 2x+?，

∴当sin 2x+π??=-1时，f(x)的最小值为1-2，

⑤函数y=sin(x-

π

其中真命题的序号是（写出所有真命题的编号）

答案1A,2C,3D,4①④

应对策略：紧扣定义，灵活选择方法（如：利用三角函数图像、特值排除、代如验证）求解二、以较复杂的三角变换为背景，以低档解答题的形式考察三角函数的图像与性质

?π??π?

?6??6?

（I）求函数f(x)的值域；

（II）若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

?π?

?6?

由?π??π??6??6?

可知函数f(x)的值域为[-31]．7分

ω

=π，即得ω=2．9分

于是有?π?πππ?6?

kπ-ππ

所以?ππ?

?63?12分

应对策略：把所研究的函数解析式化为：“一角一”；然后类比基本三角函数的图像与性质求解。

三、以平面向量为背景，以低档解答题的形式考察三角函数的图像与性质

?

?（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

解：（Ⅰ）f(x)=a b=m(1+sin2x)+cos2x，

由已知?π??π??4??2?

（Ⅱ）由（Ⅰ）得?π??4?

?

?4?

sin 2x+?=-1，得x值的集合为?x x=kπ-3π

?8

，k∈Z?

设函数f(x)=sin(2x+?)(-π

π

8

是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2?

4+

π=kπ+

4

.

4

,因此y=sin(2x-

2≤

2x-

4

)的单调增区间为[kπ+

4

))'|=|2cos(2x-

|

所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线5x-2y+c=0的斜率为

5

如图，函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R，≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为-2．

A ，?，点P是该函数图象上一点，点Q(x，y)是3P PA

?π?

?2?

2，

x∈?，π?时，求x的值．

?2?

解：（1）将

x=0，y=3代入函数y=2c o sω(x+θ得)3

2，所以

θ=

=-2，θ=

π

6，所以ω=

2，因此y=2cos 2x+

6?

A ，?，Q(x，y)是P A的中点，y=

2，所以点

P的坐标为 2x-，3?．

?π?3?π?

?22

???

由

?π???

4???

应对策略：脱出向量这层外依，把所研究的函数解析式化为：“一角一”；然后类比基本三角函数的图像与性质求解。

说明：三角与向量结合是近几年高考考察的主要形式，也是今后高考出题方向。复习时应注意向量与三角知识的整合。

四、以导数的应用为背景，以中档解答题的形式考察三角函数的图像与性质。

7．（2005年全国）（本大题满分12分）

8。

（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数

y=f(x)的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0于函数y=f(x)的图像不相切。

解：（Ⅰ）

x=ππ

8+

?)=±1,

∴

ππ

2

,k∈Z. -π

π

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

?=-

3π3π

4

).

由题意得2kπ-

π3π

4≤

2kπ+π

2

,k∈Z.

所以函数y=sin(2x-

3ππ

8

,kπ+5π

8

],k∈Z.

（Ⅲ）证明： y'|=|(sin(2x-

3π3π

4

)|≤2,

2>

2，

8．（2007年江西卷）（本小题满分12分）

π

2

（1）求θ和ω的值；y

（2）已知点000的中点，当

y=

3?π

?00

O A x

2，

因为0≤θ≤

π

π

6．

又因为y'=-2ωsin(ωx+θ)，y'

x=0

?

?

π?

?．

（2）因为点00000

y =

2cos 2 x + ? 的图象上，所以 cos 4 x - ? =

6 ? 6 ? 2

? ?

π? ≤ x ≤ π ，所以 ， ≤ 4 x - ≤ 6 6 6

6 6 6 6 3 4

= = 例 1 已知图 1 是函数 y = 2sin(ω x + ?) ? < 2 ?

，? = ，? = - π - - ? = π ， T =

，

把最高点 ，? 代入上式得 sin 2 ?

? π

? ?

? + ? ? = 1，

∴

π

，? ，则其对应着用“五点法”作函数 y = sin x 图象的第一个点， ? π ? 解法二： ω = 2 （求解过程同解法一），选取一个关键点 -

故令 2 ??- ? + ? = 0 ，得 ? = ，故选（Ｃ）

6

．

．如果选取第二个关键点 ，? ，1、第三个关键点 (π， 及第四个、第五

π ? π ? 又因为点 P 在

因为 π 2

0 0 7π 5π 19π 5π 11π 5π 13π 2π 3π

从而得 4 x - 或 4 x - ．即 x = 或 x = ．

0 0 0 0

应对策略：灵活利用导数这一工具求曲线上任一点切线的斜率，把复杂问题转化成三角基本问题。

四法求初相“ ? ”

要确定正弦型函数 y = A s in(ω x + ?) 的解析式，需要求出 A ，ω 和 ? 的值．下面就介绍求 ? 的四种方法．

?

?

π ? ? 的图象上的一段，则（ ）

Ａ． ω =

Ｂ． ω =

10 π

11 6

10 π

11

6

Ｃ． ω = 2，? =

π

6

Ｄ． ω = 2，? = -

π 6

分析：观察图象我们可以得到很多信息：周期、五个关键点、图象平移量等，那么是不是这些信息全具备我们才能求出 ω 和 ? 呢？ 其实我们只要知道其中的某些信息，通过不同的方法就能求 ω 和 ? ．下面从不同角度用三种方法解决此问题．

一、最值点法

若题设中出现最值点时，在求出 A 和 ω 后把最值点的坐标代入解析式，然后通过解三角方程来求角 ? ．

解法一：∵ T =

11 12 ? π ? 2π

∴ ω =

2π 2π

= = 2 ．∴ y = 2sin(2 x + ?) ． T π

2 ? 6 ? ? ? π π π π

+ ? = 2k π + (k ∈ Z ) ， ? = 2k π + (k ∈ Z ) ，∵ ? < ，∴取 k = 0 ，得 ? = ，故选（Ｃ） 3 2 6 2 6

二、逆用五点法

“五点法”可作出正弦型函数 y = A s in(ω x + ?) 的图象，因此利用五个关键点可求出 ? ．

0 ? 12 ?

? π ? π ? 12 ?

6

点评：①用此法求 ? ，需要对“五点法”作简图有深刻的理解；②此法对五个关键点都适用．注意选点时尽可能的选用能够简化

运算的点；③本解法中选取的是第一个关键点，得到 ? =

1 0)

6 ? 2 ?

个关键点，得到的 ? 是否相同呢？通过验证我们知道得到的 ? 是相等的，但它可能并不是我们所要求的范围的角，我们可以根据终边相 同的角的性质，即终边相同的角相差 2π 的整数倍，将 ? 转化到所要求的范围．

三、图象平移法

图象的变换规律见第二版《三角函数的图象变换及应用》．

解法三：ω=2（求解过程同解法一），由图象知，y=2sin(2x+?)的图象可由y=2sin2x的图象向左平移个单位得到．

?=2sin 2x+?，∴?=

?

代入的点在图象递增段上时，ωx+?∈?2kπ-

?

，kπ+

ππ?

22??

(k∈Z)；在图象递减段上时，ωx+?∈?2kπ-，kπ+

?π3π?

22??

解：把点A ，?代入函数解析式得

?π1?

=sin +??．

∵A ，?在函数图象的递减段上，∴+?∈?2kπ+，kπ+π(k∈Z)，

?π3?

22??

+?=2kπ+π(k∈Z)，∴∴?=2kπ+(k∈Z)．

∴函数y=A sin(ωx+?)的解析式为y=2sin2 x+

?

π??

12??

π?π

6?6．

点评：图象平移法简单易行，但此法需要我们对三角函数的变换规律有深刻的理解．

如果通过分析题意我们不知道函数的周期，不知道五个关键点，更不知道函数图象的平移量，那该怎么办呢？下面介绍一种解这类问题的方法——单调性法．

四、单调性法

将函数y=A s in(ωx+?)的图象与y=sin x的图象进行比较，选取某一单调区间上的点，代入函数y=A s in(ωx+?)的表达式，得到一个等式，从而求出?．

?

2

?

2(k∈Z)．例2已知函数y=sin(2x+?)的图象，如图2，求角?．

?32?

1?2π?

2?3?

?π1?

?32?

2π

3?

2

∴

2π5π

366