一个无穷级数敛散性的证明
一个无穷级数的敛散性证明
我们在复变中曾见过这样一个无穷级数
231............23n n
n Z Z Z Z Z n n ∞
==+++∑ 其中Z 为复数。
它的收敛域为 |Z|<1 那在|Z|=1上上述无穷级数的收敛情况又是如何呢?
当Z=1时上述无穷级数为调和级数,因此是不收敛的。 那当Z 取其它值时是否也是不收敛呢。答案是否定的,令Z=-1 则上述无穷级数为交错级数,由数学分析的知识知道它是收敛的。 事实上,除了Z=1外,单位圆周上其它点都可使上述无穷级数收敛。
为了方便计算,令Z=cos θ+isin θ 其中θ为实数为了方便讨论,下面我们限制0≤θ<2π
当θ取0时,则Z=1,上述无穷级数为调和级数,是不收敛的。 当θ取π时,则Z=-1,上述无穷级数为交错级数,是收敛的。 下面我们分两个阶段去证明。
第一阶段,当θ/π取有理数时,即θ=πp
/q 其中p 为奇数 、q 为整数且p 、q 互素。 由欧拉公式
(cos sin )cos sin n
i n i n θθθθ
+=+
则当n 取kq 时 其中k 为整数
则Z t
=-Z t+q
=Z t+2q
=-Z t+3q
=...(-1)k
Z t+kq
其中t 小于q 即t=1、2、3...q
则级数
21............2t t q t q t nq
n n Z Z Z Z T t t q t q t nq +++∞
==++++++∑
可化为
1......(1)......23t t t t t n
n
n Z Z Z Z Z T t t q t q t q t nq ∞
==-+-+-++++∑ 即
111111(......(1) (234)
n
n n T Z t t q t q t q t nq ∞
==-+-+-++++∑
上述无穷级数为交错级数,故其是收敛的。 记F t 为上述无穷级数的和
则对任意的ε>0,存在正整数N t ,使得n>N t 时,都有
2|......|2t t q t q t nq
t Z Z Z Z F t t q t q t nq
ε++++++-<+++
则讨论(1)的部分和
23......23n n Z Z Z S Z n =+++
其中n=(k+1)q+h h 则 11.........11q kq q q q kq q n n Z Z Z Z Z Z S Z q kq q q q kq q n ++++=++++++ ++++ 11(1)1121............ 11(1)1q kq q q q kq q k q n n q q Z Z Z Z Z Z Z S F F F Z F F q kq q q q kq q k q n ++++++---<++-+++-++++++++ 当k>max{N 1、N 2、...N q } 则成立 2|......|2t t q t q t kq t Z Z Z Z F t t q t q t kq ε++++++-<+++ 而 (1)1(1)1...... (1)1(1)1k q n k q n Z Z Z Z k q n k q n +++++≤+++++ 111...(1)1(1)1h k q n k q k =+<<++++ 即当k>1/ε时 (1)1...(1)1k q n Z Z k q n ε +++<++ 则对任意的ε>0,存在正整数N=(max{N 1、N 2、...N q 、1/ε}+1)q+h,使得n>N 时,都有 12......(1)n q S F F F q εεεε ---<++=+ 故S n 收敛于F 1+F 2+...F q 因此(1)收敛. 第二阶段,当θ/π取任意数时, 原无穷级数 231............23n n n Z Z Z Z Z n n ∞ ==+++∑ 利用欧拉公式 Z (cos sin )cos sin n n i n i n θθθθ =+=+ 可得 11 cos sin n n n Z n i n n n θθ∞ ∞==+=∑∑ 为了证明上式收敛,我们先来证明一个引理. 引理:若数列{a n }单调递减且收敛于零,则级数 cos n a nx ∑ 在(0,2π)上收敛。 证 1 1sin()12cos 22sin 2 n k n x kx x =+=-∑ 1 1 22sin 2 x ≤+ 所以级数 Σcosnx 的部分和数列有界,而数列{a n }单调递减,且 lim a n =0,因此由狄利克雷判别法可得级数()在(0,2π)上收敛。 同理可证级数 Σa n sinnx 也是收敛的。 因此我们知道极数 sin nx n ∑ cos nx n ∑ 对一切x 属于(0,2π)都收敛. 而极数 1111cos sin cos sin n n n n n Z n i n n n i n n n n θθθθ∞ ∞∞∞====+==+∑∑∑∑ 因此也是收敛的. 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多,但是用起来仍有一定的技巧,归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别,才能事半功倍。 关键词:正项级数;收敛;方法;比较;应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题,最初的问题可以追溯到公元前五世纪,而到了公元前五世纪,而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J (1638—1675)给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究,得到了一系列数项级数的判别法。因而,判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时,常会有这些感觉:有时不知该选用哪种方法比较好;有时用这种或那种方法时,根本做不出来,也就是说,定理它本身存在着一些局限性。因此,我们便会去想,我们常用的这些定理到底有哪些局限呢?定理与定理之间会有些什么联系和区别呢?做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =,可 得推论:若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一(比较判别法的极限形式): 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数,且有lim n n n u l v →∞=,于是 (1)若0l <<+∞,则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 (2)若0l =,则当 1 n n v ∞ =∑收敛时,可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。(总结) 课程名称:高等数学(下) 专业班级: 成员组成 联系方式: 2012年5月18日 摘要:在学习数项级数的时候,对于单一的方法所出的例题,大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后,再给出题目,大家似乎一头雾水,不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法,虽然也可行。但是对于同一个级数,用不同的方法判断敛散性的难易程度不同,如果选用合适的方式,可以到到事半功倍的效果,但是如果悬选择了错误的方法,可能费了九牛二虎之力之后,得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法,了解它们的特性,才能更好地运用它们。 关键词:数项级数,敛散性,判断,方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言:以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理,并通过一些例题,讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 正项级数敛散性的判断及其应用 摘要 级数是高等数学教学中的一个重要内容,而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题,判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性. 关键词 正项级数;判别法;敛散性 The Convergence Tests and Application for Series of Positive Terms ! Abstract Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods. Key words positive terms series; judge methods; convergence n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题,是数学分析的一个重要部分.数项级数,从形式上看,就是无穷多个项的代数和,它是有限项代数和的延伸,因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起,其判别方法多样,技巧性也强,有时也需要多种方法结合使用,同时,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的工具,所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论,但由于求数列前 n 项和的问题比较困难,甚至可能不可求,因此,在实际问题中,应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ ( 1) 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛, 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛, 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的,若级数∑(cu n + dv n ) 收敛,则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注:特殊的,对于级数 ∑u n 与 ∑v n ,当两个级数都收敛时, ∑(u n ± v n ) 必收敛;当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛,另一个发散时, ∑(u n ± v n ) 一定发散;当两个都发散时, ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解:因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛,故级数 ∑( n n =1 ∞ 常数项级数敛散性判别法总结 摘要:本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多,学生判定级数选择判别法时比较困难,作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析,使学生更好的掌握级数判别法。 关键词:常数项级数;级数敛散性判别法;判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论,因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时,学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性,但是学习多种判别法后,选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉,本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un},称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数,简称常数项级数,记为.级数(1)的前n项之和记为Sn,即Sn=u1+u2+…+un,称它为级数(1)的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S,即,则称级数(1)收敛。若部分和数列{Sn}没有极限,则称级数(1)发散。 注意:研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限,因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念,也是学生比较熟系的概念,因此在研究级数收敛性时,联系极限概念,学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数,调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如,由性质(1)和当|q|0时,01,则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时,选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较,在实用上更为方便。 例2:判别级数的敛散性。 解:因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法 2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型,而且是考试的难点,为了便于同学们解题,文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论,希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛,则第三个收敛; 若其中一个收敛,另一个发散,则第三个发散; 若有两个发散,则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛,则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛,另一个条件收敛,则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛,则第三个收敛,但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。 1.林黛玉:三生石畔,灵河岸边,甘露延未绝,得汝日日倾泽。离恨天外,芙蓉潇湘,稿焚情不断,报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗:原以为金玉良缘已成,只待良辰,奈何君只念木石前盟,纵然艳冠群芳牡丹姿,一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春:贤孝才德,雍容大度,一朝宫墙春不再,一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息,红颜无罪,到底无常。 4.贾探春:虽为女流,大将之风,文采诗华,见之荡俗。诗社杏花蕉下客,末世悲剧挽狂澜,抱负未展已远嫁。 5.史湘云:醉酒卧石,坦荡若英豪,私情若风絮,嫁与夫婿博长安,终是烟销和云散,海棠花眠乐中悲。 6.妙玉:剔透玲珑心,奈何落泥淖,青灯古佛苦修行,高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云,玉碎冰裂,不瓦全。 7.贾迎春:沉默良善,见之可亲,深宅冷暖,累遭人欺,腹中无诗情风骚,膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名,可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春:高墙白曼陀,冷水伴空门。孤寒寂立一如霜,如何能得自全法?狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋,海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤:毒酒甘醇,罂粟灿艳,锦绣华衣桃花眼,眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心,只惜冷硬霜凝集。千机算尽,反误性命。 任意项级数敛散性判断 下列级数是否收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n 答 解:1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ ( 2 1 =p 的p 级数) 而原级数是交错级数 且: 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理,原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n正项级数敛散性地判别方法
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