苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题测试卷(解析版)

苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题测试卷（解析版）

一、压轴题

1．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；

（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

2．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ?

=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点

D ，使CD CF =，点

E 是射线B

F 与射线DA 的交点．

（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；

②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．

3．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以

1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移

动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．

（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？

（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

4．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，tan B ＝3

4

，OB ＝8． （1）求OA 、AB 的长；

（2）点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD ，QC ．

①当t 为何值时，点Q 与点D 重合？

②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．

5．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF

（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.

（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明. 6．如图，B 是

O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于

点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延

长交直线l 于点F.

（1）①依题意补全图形. ②求证：∠OFC=∠ODC ． （2）连接FB ，若B 是OA 的中点，O 的半径是4，求FB 的长.

7．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程

x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．

（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；

（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；

（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；

②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值．

8．抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交

于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；

②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求

c 的取值范围；

（3）若1c b =--，2727b -<

tan 2

α=

，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大

值．

9．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.

（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；

（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，

2AB =，6BD =，求CD 的长；

（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.

10．如图1，ABC ?是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；

（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE ?的值；②如图2，若AC BD ⊥，求

tan ACB ∠；

（3）若5

tan 2

CDE ∠=

，记AD x =，ABC ?面积和DBC ?面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.

11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：

如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．

（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．

①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；

②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4

x

（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，

D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

12．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，AC＝BD，点D在AB上，连接CO，并

延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝5，tan∠OBA＝1

2

．

（1）求证：∠OBA＝∠OCD；

（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；

（3）是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）点B（3，4），点C（﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；

（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；

（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作

⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝∠CDE

＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解． 【详解】

解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ， ∴OA ＝OC ＝5，

∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）， ∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1）， ∴5＝

()()

22

0+10a a -+-，

∴a ＝3， ∴点B （3，4）， ∴点C （﹣3，﹣4）；

（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0）， ∴BC ＝10，AB ＝45 ，AC ＝25， ∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100， ∴BC 2＝AB 2+AC 2， ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ； （3）过定点， 理由如下：

∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ， ∴CO ＝DO ， 又∵CO ＝BO ， ∴DO ＝BO ＝CO ， ∴△BCD 是直角三角形， ∴∠BDC ＝90°，

如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，

∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，

∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ， ∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°， ∵BC ＝10，

∴BH ＝CH ＝52，OH ＝OB ＝OC ＝5， 设点H （x ，y ）， ∵点H 在第四象限， ∴x ＜0，y ＞0，

∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50， ∴x ＝4，y ＝3， ∴点H （4，﹣3），

∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）． 【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

2．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析 【解析】 【分析】

（1）①证明△ACD ≌△BCF ，得到∠CAD=∠CBF 即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可； ②根据已知条件画图即可；

（2）取AB 的中点M ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆M 上，再利用圆周角定理即可证明． 【详解】

解：（1）①∵,90AC BC ACB ?

=∠=，CD CF =

∴在△ACD 与△BCF 中，

AC BC ACD ACB CD CF =??

∠=∠??=?

∴△ACD ≌△BCF （SAS ） ∴∠CAD=∠CBF 又∵∠AFE=∠BFC ∴∠AEF=∠BCF=90°， ∴BE ⊥AD ②图如下所示：

猜想∠BEC=45°， （2）选择图1证明，

连接CE ，取AB 的中点M ，连接MC ，ME ∵△ABC 和△ABE 都是直角三角形 ∴1

2

MC ME AB AM BM ==

==， ∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆M 上， ∴∠BEC=∠BAC=45°， ∴∠BEC=45°

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．

3．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点

B 开始沿边B

C 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .

（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22

(5)(2)t t -+＝

25据此求出t 值.

（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形

ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.

【详解】

解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.

（2）由题意得：22

(5)(2)t t -+＝25，

解得：1t ＝0，2t ＝2；

当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；

（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下： 长方形ABCD 的面积是：56?＝(

)2

30cm

，

使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝(

)2

4cm

，

()1

5242

t t -??

=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．

即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ． 【点睛】

本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值. 4．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）3011；（3）0

30

11

（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝

3

4

，OB ＝8，即可求解； （2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解；

（3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可． 【详解】

解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝3

4

，OB ＝8， ∴

3

4

OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10； （2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，

∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ， ∴△ACD ∽△ABO ，∴AC AD AB AO = ，即： 2,106

t AD

= ∴AD ＝

6

5

t ， 当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴

66,5t t += 30.11

t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°， ∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ， ∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ， ∴△AQC ∽△ABO ，∴

,AQ AC

AB AO

=

即：62

106

t t

-

=，

18

.

13

t

∴=

∴当

18

13

t<≤时，圆P与QC只有一个交点，

当QC⊥OA时，D、Q重合，由（1）知：

30

.

11 t=

∴30

5

11

t<≤时，圆P与线段QC只有一个交点，

故：当圆P与线段只有一个交点，t的取值范围为：

18

13

t<≤或

30

5

11

t<≤.

【点睛】

本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC和圆及线段的位置关系分类求解．

5．（1）45°+α；（2）证明见解析；（3）BF+CF.

【解析】

【分析】

（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，

根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=1

2

∠BAD=45°，

∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；

（2）由（1）可得∠FAG=1

2

∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可

得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；

（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，

可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】

（1）过点A作AG⊥DF于G，

∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，

∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，

∴AE=AD，

∵AG⊥FD，

∴∠EAG=∠DAG，

∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，

∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，

∴∠DAG=45°-α，

∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.

（2）由（1）得∠GAF=45°，

∵AG⊥FD，

∴∠AFG=45°，

∵点E、B关于直线AF对称，

∴∠AFB=∠AFE=45°，

∴∠BFG=90°，

∴BF⊥DF.

（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，∵∠BFD=∠BCD=90°，

∴B、F、C、D四点共圆，

∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，

∵CH//FD，

∴∠DCH=∠FDC，

∴∠FBC=∠DCH，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，

∵点E、B关于直线AF对称，

∴BF=EF，

∵∠BFE=90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BEF=45°，2BF，

∴∠BEF=∠DFC，

∴FC//BH，

∴四边形EFCH是平行四边形，

∴EH=FC，CH=BF，

在△ABF和△BCH中，

AB BC

ABF BCH

BF CH

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴2BF+CF.

【点睛】

本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B、F、C、D四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.

6．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=221.

【解析】

【分析】

（1）①根据题意，补全图形即可；

②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC

=，利用等量代换可得AD CE

=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得

∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；

（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=1

2

OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC

的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.

【详解】

（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，

②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，

∴AD AC

=，

∵CE CA

=，

∴AD CE

=，

∴∠EOC=∠AOD，

∵FC是⊙O的切线，

∴OC⊥FC，

∴∠OFC+∠FOC=90°，

∴∠OFC=∠ODC.

（2）连接BF，作BG⊥l于G，

∵B是OA的中点，⊙O半径为4，

∴OB=1

2

OA=

1

2

OC=2，

∵OA⊥CD，

∴∠OCD=30°，BC=22

OC OB

-=22

42

-=23，∴CD=2BC=43，

由（1）可知∠OFC=∠ODC，

∴FC=CD=43，

∵BG⊥l，OC⊥l，

∴OC//BG，

∴∠CBG=∠OCD=30°，

∴CG=1

2

BC=3，BG=22

BC CG

-=3，

∴FG=FC+CG=53，

∴BF=22

FG BG

+=221.

【点睛】

本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

7．（1）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（2）S=3；（3）①y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；②t＝﹣1或t＝2

【解析】

【分析】

（1）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可

得BDC ?三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=?，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；

②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 【详解】

解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <， 用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，

11x ∴=-，23x =，

1m ∴=-，3n =，

(1,0)A ∴-，(0,3)B ，

把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=??=?，解得2

3b c =??=?

，

∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．

（2）令2

230y x x =-++=，即2230x x --=，

解得11x =-，23x =，

∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，

1OA ∴=，3OC =，

∴对称轴为13

12

x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，

∴

BC = BD ==DC ==

222CD DB CB =+，

BCD ∴?是直角三角形，且90DBC ∠=?，

∴11

2322

S BCD BD BC =

=??=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4）， ①在0≤x ≤3范围内，

当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；

②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值

223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，

令22

(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．

2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；

3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，

此时4p =，令2

4(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，

21t = )；

或者2

4[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =

4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；

5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值

223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，

令22

23[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．

综上，1t =-或2t =． 【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．

8．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，

2

=

CD 【解析】 【分析】

（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2

y a x k h =-+，又

4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值；

（2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，

②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；

（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解． 【详解】

解：（1）根据题意可知1二次函数2

y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），

故二次函数顶点式为()2

y a x k h =-+，

又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4， ∴a=1； 故答案为：a=1．

（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222

b b

x a =-

=-= ∴4b =-

故答案为：4b =-．

②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R 当2c =时，2

42y x x =-+ 令2y =，则2242x x =-+ 解得14x =，20x =

此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR == ∵4QM QN +=∵QM NR = ∴4QN NR QR +==

∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上 设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+

2242(2)6c m m m =-++=--+

∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤< ∴c 随着m 的增大而增大 ∴26c ≤<

故答案为：26c ≤<．

（3）∵1c b =--∴2

1y x bx b =+--

将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线

l ，且tan 2α=，

∴l 的解析式为2y x =

2

21

y x y x bx b =??=+--?∴2

(2)10x b x b +---= ∴2

2

2

4(2)448b ac b b b ?=-=-++=+

∴22

b x -+±=

∴12D b -++??

22244124442444

AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++

124224AB D b y y b b ??-+-=-++-++=

??

?∵20b ≥

∴1

4104

D AB

y y -=≥==>

∴点1D 始终在直线AB 上方

∵222b C b ?-+--+-

??

∴22442244B

C A b b y y b b ??-+---=-+--++=

???

∴AB C y y -==

)

2

216

4

-

+=

∵b -<<2028b ≤<，

∴4≤<

设n

，4n ≤<

∴2(2)16

4

AB C n y y --+-=

∵1

04

-

<，对称轴为2n =

∴当4n ≤<时，AB C y y -随着n 的增大而减小 ∴当4n =时，0AB C y y -=

∴当4n ≤<时，AB C y y > ∴区域S 的边界与l 的交点必有两个 ∵1D AB y y >

∴区域S 的边界与l 的交点D 一定在线段AB 上 ∴D AB y y =

∴2(2)16

4

D C C AB n y y y y --+-=-=

∴当n =D C y y -

有最大值1+

此时12

D C x x +-=

由勾股定理得：

2

CD =

=

，

故答案为：510

2

=CD ． 【点睛】

本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键． 9．（1）详见解析；（2）333CD =或3；（3）详见解析. 【解析】 【分析】

（1）只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题；

（2）如图3中，作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，分两种情形构建方程求解即可；

（3）①当△AFE ∽△EFC 时，连接BC ，AC ，BD ．②当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．③当△AFE ∽△CEF 时，分别求解即可，注意答案不唯一． 【详解】

解：（1）如图1，∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===，90A D ∠=∠=，E 为AD 中点

∴2AE ED ==，∵1AF DH ==，∴1

2

AF DE AE CD == ∴AEF DCE ??∽

∴AEF DCE ∠=∠，AFE DEC ∠=∠ ∵//AF DH ，∴四边形AFHD 为平行四边形

∴AD FH ，∴AEF EFG ∠=∠，DEC EGF AFE ∠=∠=∠ ∴AEF EFG ??∽

∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.

（2）如图2，过点D 作DE BA ⊥，垂足为E ，设AE a = ∵120A CBD ∠=∠=，∴60EAD ∠=，∴3DE a =

∵2AB =，6BD =

∴()2

2236a a ++=

31

a -=

∴31AD =-

分为两种情况：

①如图3，当ABD BCD ??∽时，AD BD

BD CD

= ∴

(

)

316CD -=，∴333CD =+

②如图4，当ABD BDC ??∽时，AB BD

BD CD

= ∴26CD =，∴3CD = 综上，333CD =+或3

（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ， ∴AFE BEC ∠=∠，

AF EF AF

AE EC BE ==，∴AFE BEC ??∽，∴90B ∠= 由“一线三等角”得83

AF =

.

②如图，当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．

∵△AFE ∽△FEC ， ∴∠AFE=∠FEC ， ∴AD ∥EC ， ∴∠CEB=∠DAB=90°， ∵∠OMA=∠AHC=90°，

∴四边形AEOM ，四边形AECH 都是矩形， ∵OM ⊥AD ， ∴AM=MD=3， ∴AM=OE=3， ∵OE ⊥AB ， ∴AE=EB=4， ∴OA=2234+=5，

∴CE=AH=8，设AF=x ，则FH=8-x ，CH=AE=4， 由△AEF ∽△HFC ，可得

AF CH =AE FH

， ∴

448x x =-， 解得x=4，

经检验x=4是分式方程的解， ∴AF=4．

③如图当△AFE ∽△CEF 时易证四边形AECF 是矩形，AF=EC=8．

综上所述，满足条件的AF 的长为8

3

或4或8．（答案不唯一） 【点睛】

本题属于圆综合题，考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

10．(1)证明见解析；（2）①215（3）2

1029

y x =